小學(xué)教育專業(yè)微積分教學(xué)設(shè)計(jì)探討
——以《微分的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)為例*

廖翔（廣西師范學(xué)院初等教育學(xué)院，廣西　南寧　530003）

小學(xué)教育專業(yè)微積分教學(xué)設(shè)計(jì)探討
——以《微分的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)為例*

廖翔
（廣西師范學(xué)院初等教育學(xué)院，廣西南寧530003）

摘要：本文在明確小學(xué)教育專業(yè)微積分課程目標(biāo)及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，提出了教學(xué)設(shè)計(jì)的原則，并據(jù)此對《微分的概念》一課做了課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì)；微積分；小學(xué)教育；微分的概念

*2015年度廣西師范學(xué)院科研立項(xiàng)項(xiàng)目：小學(xué)教育專業(yè)微積分課程價(jià)值取向與實(shí)現(xiàn)研究。

Abstract:Based on the course objectives of calculus in elementary education specialty and the students' learning capacity , this paper puts forward some principles of teaching design and makes the teaching design of "the concept of differential" accordingly.

Keywords:teaching design; calculus; elementary education; the concept of differential

《微積分》作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，已成為眾多專業(yè)所開設(shè)的必修課程，不同專業(yè)的微積分課程在目標(biāo)設(shè)置、內(nèi)容選材及教學(xué)策略上應(yīng)有自身的特色。教學(xué)設(shè)計(jì)是教師開發(fā)課程的首要環(huán)節(jié)，小學(xué)教育專業(yè)的微積分教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)在明確課程目標(biāo)的基礎(chǔ)上，從學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)出發(fā)，使設(shè)計(jì)的各環(huán)節(jié)凸顯出本專業(yè)特有的“師范性和基礎(chǔ)性”。

一、小學(xué)教育專業(yè)微積分課程目標(biāo)

首先，學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得微積分的基礎(chǔ)理論和基本技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深造做好必要的知識儲(chǔ)備；其次，學(xué)習(xí)以運(yùn)動(dòng)、變化、無窮的觀點(diǎn)看待事物，體會(huì)微積分解決問題的神奇力量。這將使學(xué)生懂得微積分的價(jià)值，同時(shí)獲得現(xiàn)代高素質(zhì)人才必有的辯證、廣闊的思維；最后，要借助微積分的學(xué)習(xí)，加深對數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)內(nèi)容不同，但研究的思想和方法是一致的，學(xué)生在微積分學(xué)習(xí)中的思維方式方法必將對其今后的數(shù)學(xué)教學(xué)工作產(chǎn)生重大影響。

二、小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

小學(xué)教育專業(yè)的微積分課程是專業(yè)必修的核心課程，在一年級開設(shè)，學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)有以下幾方面。

（一）知識技能方面

微積分的研究對象是函數(shù)，而小學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生已在中學(xué)階段學(xué)習(xí)了函數(shù)的有關(guān)概念、公式、定理及性質(zhì)，懂得基本初等函數(shù)的運(yùn)算和作圖，具備了學(xué)習(xí)微積分的知識技能基礎(chǔ)，但這些知識的清晰度和可利用程度較低，相關(guān)技能并不嫻熟，需要在教學(xué)過程中幫助其辨認(rèn)和再回憶，以加快其思考速度，提高課堂教學(xué)效率。

（二）數(shù)學(xué)思考方面

學(xué)生能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的抽象、推理和建模，但多數(shù)學(xué)生的抽象邏輯思維能力較低，不能自覺、合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，鮮能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。同時(shí)，受高考前“題海戰(zhàn)術(shù)”的影響，存在“重技巧輕思路，重答案輕過程”的傾向，在微積分的學(xué)習(xí)中缺乏思考的主動(dòng)性和條理性。在教學(xué)中，教師勢必要關(guān)注學(xué)生的思維過程。

三、小學(xué)教育專業(yè)微積分教學(xué)設(shè)計(jì)原則

（一）重視各概念間的意義建構(gòu)

微積分是一個(gè)龐大的知識體系，各基本概念（增量、極限、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)、定積分、不定積分等）相互聯(lián)系生長形成了微積分的主要脈絡(luò)，進(jìn)而生成附屬的性質(zhì)、定理、公式等。從專業(yè)培養(yǎng)和課時(shí)量考慮，小學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生不可能也無必要學(xué)完其中的各個(gè)知識點(diǎn)，但他們必須認(rèn)識微積分基本框架結(jié)構(gòu)中最基礎(chǔ)最重要的部分：概念。學(xué)生頭腦中建立起概念間實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系就能把握微積分的知識生長點(diǎn)和重要思想方法，同時(shí)清晰穩(wěn)定的概念是學(xué)生進(jìn)行判斷推理的的依據(jù)。學(xué)生獲得概念是同化和順應(yīng)的相互交替過程，在講授新概念時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生明確新舊概念的關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)概念的同化；提供具體直觀的材料引導(dǎo)觀察、作圖、演算、猜測、推理等活動(dòng)幫助學(xué)生理清概念中各要素之間的關(guān)系，澄清概念本質(zhì)，從而擴(kuò)大和重組其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加快概念的順應(yīng)過程。

（二）注重問題的解決過程

沒有固定模式可套用解決的數(shù)學(xué)題就是數(shù)學(xué)問題，一旦掌握了該類問題解決的固定方法，形成模型后，遇到此類問題只需套模式解答就行了，就是做練習(xí)。問題解決的過程是學(xué)生建立模型的基礎(chǔ)，教師應(yīng)充分利用問題引發(fā)學(xué)生的思考，以問題解決為平臺(tái)通過講授、演示、啟發(fā)式談話等方法引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考，通過反問、質(zhì)疑、點(diǎn)評等手段提高學(xué)生思維的條理性、邏輯性和深刻性，從而實(shí)現(xiàn)抽象和建模。做練習(xí)可以加深對模型的認(rèn)識，體會(huì)模型的高效便捷。練習(xí)是必不可少的，但應(yīng)注意練習(xí)的典型性減少重復(fù)性，同時(shí)要關(guān)注學(xué)生能否正確判斷出練習(xí)與模型的匹配，如設(shè)置一些糾錯(cuò)練習(xí)：（猿x）'=x.3x-1是否正確，為什么？

（三）加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，減輕邏輯論證的過程性

數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下解決問題的步驟程序，數(shù)學(xué)思想抽象概括，而數(shù)學(xué)方法則是思想的具體表達(dá)。理解數(shù)學(xué)思想必需經(jīng)過數(shù)學(xué)方法的長期實(shí)踐運(yùn)用。如極限的思想，學(xué)生要通過“無限分割、無限逼近、化曲為直”等方法解決問題才能逐步領(lǐng)悟。同時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、證明都離不開數(shù)學(xué)方法，學(xué)生只有懂得其中的方法才能理解結(jié)論的意義及其正確性。對于小學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生來說，他們應(yīng)當(dāng)懂得微積分結(jié)論的來龍去脈而不必過于關(guān)注細(xì)枝末節(jié)。因此，教師要關(guān)注的是如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論及尋求證明的路徑，對于證明結(jié)論過程，則應(yīng)降低要求，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募?xì)節(jié)，可以直接提示或演示給學(xué)生看，達(dá)到“知曉”的目的即可。在教學(xué)過程中，對于學(xué)生未曾接觸過的數(shù)學(xué)方法，教師可以通過演示和講解使之接受，對于學(xué)生較為生疏尚不能自覺運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，教師應(yīng)適時(shí)提示或幫助其回憶，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生效仿、操作和反思。長此以往，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識及思維品質(zhì)都會(huì)得到提高。

四、《微分的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容

微分定義的背景材、微分定義、函數(shù)可微的條件。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷求解實(shí)際問題中函數(shù)增量近似值的過程：

（1）抽象出函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的微分定義；

（2）能理解并記憶表達(dá)式：Δy=AΔx+O(α)Δy=dy+O(α)Δy≈dy；

（3）初步體會(huì)微分的應(yīng)用性。

2.通過對比導(dǎo)數(shù)和微分概念中的表達(dá)式及觀察實(shí)際問題中的A值，能猜測出A=f'(x0)。

（三）教學(xué)重點(diǎn)

Δy、dy、f'(x)的關(guān)系。難點(diǎn)：微分定義的構(gòu)造性表述方式。

（四）學(xué)情分析

無窮小量及高階無窮小量的概念是學(xué)生解決新問題，理解Δy≈dy的必要的知識，這一知識點(diǎn)大多數(shù)學(xué)生達(dá)到理解水平；導(dǎo)數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是學(xué)生將導(dǎo)數(shù)與微分建立聯(lián)系的知識基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生能大致回憶導(dǎo)數(shù)的概念公式，能快速計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（五）教學(xué)方法

啟發(fā)式談話法與講解演示法、閱讀法相結(jié)合。

（六）學(xué)習(xí)方式

有意義的接受學(xué)習(xí)和有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)相結(jié)合，獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合。

（七）教學(xué)過程

課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念、幾個(gè)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式。

（設(shè)計(jì)意圖：通過簡單復(fù)習(xí)，使學(xué)生獲得將導(dǎo)數(shù)與微分建立聯(lián)系的知識準(zhǔn)備和心理傾向。）

1.問題驅(qū)動(dòng)

（1）出示問題一：一個(gè)正方形金屬薄片受溫度變化影響，邊長由x0變到x0+Δx，問它的面積改變了多少？面積估計(jì)改變多少？

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，提示：若x0=10，Δx=0.0001時(shí)，面積估計(jì)改變多少？

提示：Δx很微小，即Δx→0）

（設(shè)計(jì)意圖：提示一旨在使學(xué)生體驗(yàn)“特殊化”方法的作用，這時(shí)學(xué)生易得出Δs≈2x0Δx。

提示二旨在提示學(xué)生用“一般化”方法論證結(jié)果，指出了論證Δs≈2x0Δx的路徑。）

（2）出示問題二：一個(gè)正方體金屬受到溫度變化的影響，邊長由x0變化到x0+Δx，問它的體積改變了多少？體積估計(jì)改變多少？

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算求Δv=？，同桌討論Δv≈？說明理由。）

（設(shè)計(jì)意圖：問題一和二作為引導(dǎo)性材料，其涉及的運(yùn)算簡便，結(jié)果特征明顯，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的共同點(diǎn)和特征。在學(xué)生能力范圍內(nèi)的獨(dú)立思考和討論可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。）

2.抽象、建立模型

（1）提問：兩個(gè)例子的已知條件、問題有何相同之處？結(jié)果表達(dá)式有何特點(diǎn)？

（梳理、完善學(xué)生的回答，指出拋開實(shí)際問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量上的共性，就是微分的定義。）

（2）提問：微分和增量之間的關(guān)系？（要求學(xué)生說明理由）

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)、特點(diǎn)的過程就是對具體問題概括抽象的過程，在此基礎(chǔ)上給出微分的定義，學(xué)生易于接受，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。提問“微分和增量的關(guān)系”又促使學(xué)生回顧微分的定義過程，頭腦中建立起微分和增量的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系）

（3）記憶：微分定義中包含的重要等式：Δy=AΔx+O(Δx)；dy= AΔx；Δy≈dy

（設(shè)計(jì)意圖：培根說過：“一切知識，不過是記憶”。學(xué)生記憶重要等式就是對先前學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的加工存儲(chǔ)，頭腦中微分概念各要素的關(guān)系更為穩(wěn)定清晰，同時(shí)為后繼的思考準(zhǔn)備原材料。）

3.猜想、驗(yàn)證

（1）猜想A是f(x)的？（要求學(xué)生說明是怎么猜的）

（設(shè)計(jì)意圖：猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要步驟，鼓勵(lì)猜想并說明理由可以讓學(xué)生體會(huì)猜想所帶來的探索意義并獲得一些合情推理的數(shù)學(xué)方法）

（2）證明猜想A=f'(x)

（設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)重在引導(dǎo)學(xué)生用觀察分析及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法尋找證明的路徑，閱讀證明過程旨在向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)避免學(xué)生機(jī)械記憶等式）

4.練習(xí)

設(shè)x的值從x=1變到x=1.01，試求函數(shù)y=2x2-x的增量和微分。

（設(shè)計(jì)意圖：通過求具體函數(shù)在某個(gè)確定點(diǎn)的增量和微分，鞏固Δy、dy、f'(x)的關(guān)系，同時(shí)學(xué)生可以直接體驗(yàn)到公式dy|x=x0=f' (x0)Δx在求函數(shù)微分計(jì)算中的價(jià)值和微分近似代替增量的優(yōu)越性。）

5.總結(jié)

提問微分和增量的關(guān)系？微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？dy近似代替Δy的優(yōu)點(diǎn)？

（設(shè)計(jì)意圖：最后提問的答案，是從練習(xí)的具體問題到一般化的概括，最終實(shí)現(xiàn)微分概念的意義建構(gòu)。）

參考文獻(xiàn)

[1]姚紹義.大學(xué)數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2002：160-161.

中圖分類號：G652

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）03-0090-02

作者簡介：廖翔，女，廣西師范學(xué)院初等教育學(xué)院講師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)。