數(shù)學(xué)思想解決物理問題的“謬用”

郭華初

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。任何物理問題的分析、解決過程，都是數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用過程。正如愛因斯坦所說：“數(shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù)，受到特殊的尊重，一個(gè)理由是數(shù)學(xué)的命題具有可靠性，另一個(gè)理由是數(shù)學(xué)給予自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，科學(xué)是達(dá)不到可靠性的?！彼阅苁炀毜剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想處理物理問題，是學(xué)好物理的必要條件。

但是物理問題并不等同于數(shù)學(xué)問題，純粹的物理問題數(shù)學(xué)化，將使數(shù)學(xué)計(jì)算失去物理意義。在物理學(xué)科學(xué)習(xí)中，運(yùn)用物理思維解決物理問題是不可替代的。我們應(yīng)該注意物理知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的有機(jī)結(jié)合，防止物理問題數(shù)學(xué)化。

1.“謬用”理論代替實(shí)際

應(yīng)用物理知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，總是或多或少應(yīng)用到數(shù)學(xué)思想進(jìn)行推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思想和物理情境的有機(jī)結(jié)合是解決物理問題的有效途徑。但是在解題過程中常常會(huì)遇到數(shù)學(xué)思想替代物理情境，理論與實(shí)際脫離的情形。

例1.如圖1，一根長(zhǎng)L，質(zhì)量為m的均勻長(zhǎng)方形木料，放在水平桌面上，木料與桌面之間的動(dòng)摩擦因素為μ，現(xiàn)用水平力推木料，當(dāng)木料有■伸出桌面時(shí)，桌面對(duì)它的摩擦力大小為多少？

圖1

很多學(xué)生不假思索就回答為■μmg，認(rèn)為伸出桌面的■對(duì)桌面沒有壓力，壓力減小為原來的■。錯(cuò)解原因在于學(xué)生全憑直覺和算術(shù)加減分析這一問題，錯(cuò)誤地以為面積減少■，壓力也減少■，變?yōu)樵瓉淼摹?。沒有進(jìn)行必要的受力分析，沒有分析出木料在豎直方向上受到重力和彈力作用，二力平衡，故彈力F■=mg，由滑動(dòng)摩擦力公式知，摩擦力大小為F■=μF■=μmg。

例2.汽車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛剎車后經(jīng)2秒速度變?yōu)?m/s求：（1）剎車后前進(jìn)9m所用的時(shí)間？（2）剎車后8s內(nèi)前進(jìn)的距離？

解析：（1）由公式x=v■t+at■代入數(shù)據(jù)，解得t■=1s，t■=9s，這兩個(gè)結(jié)果是否都正確呢？從數(shù)學(xué)的角度看一個(gè)一元二次函數(shù)，有兩個(gè)解是很正常的事情。但是這個(gè)結(jié)果是否符合物理實(shí)際呢？將t■=9s代入公式V■=V■+at得：Vt=-8m/s，即汽車剎車后又向反方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)位移9m處，顯然這是不可能的。所以剎車后前進(jìn)9m所用時(shí)間應(yīng)為1s。

（2）由公式x=v■t+at■代入數(shù)據(jù)可得x=16m，但參考答案x=25m.問題出在哪里呢？我們重新分析試題，根據(jù)V■=V■+at代入數(shù)據(jù)可得汽車經(jīng)過t=5s速度為0，已經(jīng)靜止不動(dòng)了。而代入t=8s時(shí)，后面靜止的3s也當(dāng)做汽車在運(yùn)動(dòng)，顯然這與實(shí)際情況是不符的。因?yàn)槠囀?dòng)力以后，停下來就不會(huì)再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)了?？梢娭苯哟霑r(shí)間8s進(jìn)行計(jì)算是錯(cuò)誤的。最后應(yīng)該代入停車前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=5s可以得出x=25m。

可見，在求解中，如果把一個(gè)物理過程單純作為一個(gè)數(shù)學(xué)問題解答，那就會(huì)出現(xiàn)很多明顯與物理事實(shí)或生活實(shí)際不相符合的事情。需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中全面認(rèn)識(shí)事物，理論聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行分析。

2.“謬用”公式的適用條件

在物理學(xué)習(xí)過程中，我們要掌握很多概念、定律，對(duì)于這些概念、定律需要有完整認(rèn)識(shí)。如果不了解它們反映出來的物理本質(zhì)特征，不了解它們的內(nèi)涵和外延，沒有掌握它們的適用條件，單純從數(shù)學(xué)角度理解這些概念和定律，就會(huì)出現(xiàn)一些生搬硬套、文不對(duì)題的錯(cuò)誤。

例3.下列關(guān)于萬有引力定律的說法中正確的是（ ）

A.萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的

B.F=G■中的G是一個(gè)比例常數(shù)，它和動(dòng)摩擦因數(shù)一樣是沒有單位的

C.萬有引力定律公式在任何情況下都是適用的

D.由F=G■公式可知，當(dāng)r→0時(shí)，F(xiàn)→∞

錯(cuò)解：萬有引力定律公式F=G■，當(dāng)r趨近于0時(shí)，因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)的分母趨近于0時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)值趨近于無限大”，所以F趨近于無限大，答案D應(yīng)該是正確的。

分析：萬有引力定律適用的條件是“任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)“。m■和m■是指相互作用的兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r是兩質(zhì)點(diǎn)間距離。當(dāng)r趨近于0時(shí)，物體的大小和形狀就不能忽略，m■和m■就不能看做質(zhì)點(diǎn)了，此時(shí)萬有引力定律公式也就不再適用了，所以答案D錯(cuò)誤。

例4.兩相同帶電小球水平放置，帶有等量的同種電荷，當(dāng)兩小球相距為d時(shí)，兩小球的庫侖力大小為F，若將兩小球的電量同時(shí)各減少一半，而保持兩小球間的距離d不變，則兩小球的庫侖力大小為（ ）

A.大于F/4

B.等于F/4

C.小于F/4

D.無法確定

學(xué)生選擇答案較多的是B項(xiàng)，在解答中學(xué)生直接應(yīng)用庫侖公式F=k■進(jìn)行運(yùn)算，卻忽略了庫侖公式的適用范圍，即真空中的點(diǎn)電荷。在此題中由于小球并非點(diǎn)電荷，因此當(dāng)兩小球的電量發(fā)生變化時(shí)，小球帶的電荷在斥力的作用下要發(fā)生轉(zhuǎn)移，小球的電荷中心發(fā)生了變化，致使電荷中心距離也發(fā)生改變，距離要較前者變小，因此正確選項(xiàng)應(yīng)該是A。

例5.如圖3所示，在鐵芯上、下分別繞有匝數(shù)n■=800和n■=200的兩個(gè)線圈，上線圈兩端與u=51sin314tV的交流電源相連，將下線圈兩端接交流電壓表，則交流電壓表的讀數(shù)可能是（ ）

A.2.0V

B.9.0V

C.12.7V

D.144.0V

錯(cuò)解：因?yàn)榻涣麟娫措妷旱挠行е禐閁■=■V，由變壓器原副線圈電壓和匝數(shù)的關(guān)系有：■=■、n■=800、n■=200，解得U■=9.0V，因?yàn)榻涣麟妷罕碇甘镜氖怯行е担蔅正確。

分析：除非是理想變壓器，實(shí)際變壓器都存在漏磁等現(xiàn)象，特別是本題的非閉合鐵芯，漏磁現(xiàn)象會(huì)更明顯。所以通過原線圈的磁通量大于通過副線圈的磁通量，故實(shí)際副線圈的輸出電壓肯定小于9v，答案A正確。

通過上面三道例題，我們可以看出，在物理公式中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)算時(shí)，一定要弄清物理公式所表示的物理意義及適用條件，不能單純地從抽象出來的數(shù)學(xué)意義理解物理問題。要防止單純從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)將物理公式“純數(shù)學(xué)化”，也不要把物理意義淹沒在數(shù)學(xué)表述式中。

3.“謬用”圖像的物理意義

例5.一實(shí)驗(yàn)小組準(zhǔn)備探究某種元件Q的伏安特性曲線，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的電路圖。請(qǐng)回答下列問題：

（1）實(shí)驗(yàn)測(cè)得表格中的7組數(shù)據(jù)。請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)紙上作出該元件的I-U圖線。

圖4

圖5 圖6

（2）為了求元件Q在I-U圖線上某點(diǎn)的電阻，甲同學(xué)利用該點(diǎn)的坐標(biāo)（U、I），由R=■求得。乙同學(xué)作出該點(diǎn)的切線，求出切線的斜率k，由R=■求得。其中？搖？搖 ？搖？搖（選填“甲“或“乙”）同學(xué)的方法正確。

解析：（1）如圖7所示。

圖7

（2）甲同學(xué)利用了歐姆定律R=■，乙同學(xué)利用了斜率的知識(shí)，從數(shù)學(xué)的角度上看都沒有問題。但從實(shí)際情況說，甲同學(xué)的方法才是正確的。

根據(jù)歐姆定律寫出自變量I和函數(shù)U的關(guān)系式為：U=IR，其中R表示元件Q的阻值。因?yàn)殡娏鱅增大時(shí)，元件Q的溫度升高，電阻率變大，電阻R也就增大，所以不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為U與I成正比。從圖像可以看出，此時(shí)的函數(shù)U=f（R，I）是包含兩個(gè)自變量的，其斜率也就不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為等于R了，即斜率k=ΔU/ΔI≠R。

那么其斜率表示什么物理意義呢？過該點(diǎn)的切線斜率k=ΔU/ΔI，在電子技術(shù)中表示該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)電阻。而我們中學(xué)階段所說的電阻為靜態(tài)電阻，等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直流電壓U和電流I的比值，也等于過坐標(biāo)原點(diǎn)和該點(diǎn)直線的斜率。在本題的U-I圖像中兩線的斜率明顯是不等的，即動(dòng)態(tài)電阻不等于靜態(tài)電阻，也就不能把這兩種電阻值混為一談了。如果是線性元件，U-I圖像是直線，那么二者的斜率是一樣的，這兩個(gè)電阻值才會(huì)相等。

所以運(yùn)用物理圖像解決實(shí)際問題時(shí)，一定要使學(xué)生在明確物理概念的基礎(chǔ)上，弄清圖像表示的物理意義。而不能只是機(jī)械地記住物理公式或圖像，錯(cuò)誤地套用圖像的物理涵義。

恩格斯說：“任何一門科學(xué)的真正完善在于數(shù)學(xué)工具的廣泛應(yīng)用。”數(shù)學(xué)是幫助我們解決物理問題的工具，數(shù)學(xué)并不是物理的全部。我們?cè)诜治鑫锢磉^程時(shí)，應(yīng)該從物理思維的角度理解物理情境，物理思維才是學(xué)習(xí)物理的核心理念。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅吉勇.學(xué)習(xí)物理的核心思維是物理思維[J].物理教學(xué)探討，2014.12.