n分支DNA多面體鏈環(huán)的虧格探討

彭曉剛,趙臨龍

(安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,陜西 安康　725000)

?

n分支DNA多面體鏈環(huán)的虧格探討

彭曉剛,趙臨龍

(安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,陜西 安康725000)

摘要利用可視化方法對n分支DNA多面體鏈環(huán)的虧格進(jìn)行分析,然后結(jié)合歐拉公式對這一類DNA多面體鏈環(huán)的虧格給出結(jié)論。運(yùn)用了扭結(jié)可視化方法將扭結(jié)變成可視的立體圖形對其研究,得出一個更為簡單的計算虧格的方法。

關(guān)鍵詞DNA扭結(jié);虧格;可視化;歐拉公式

多種DNA多面體已經(jīng)被實驗合成,例如DNA四面體、DNA立方體,近幾年又合成出結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的多面體。多面體鏈環(huán)能夠在一定程度上揭示DNA多面體的拓?fù)湫再|(zhì)[1]。在我國,He等[2]小組對DNA多面體鏈環(huán)的構(gòu)造提出多種設(shè)計,其中Lu等[3]提出了對于n分支偶交錯的DNA多面體鏈環(huán)的新歐拉公式s+u-c=2。當(dāng)前,DNA多面體鏈環(huán)的虧格[4]成為討論的問題之一,研究就n分支偶交錯DNA多面體鏈環(huán)用一種可視化的方法探討其虧格。

1基本概念

1.1n-分支曲線-m-扭曲雙線的構(gòu)筑

n-分支曲線是根據(jù)多面體的頂點進(jìn)行的一種來覆蓋多面體的頂點的結(jié)構(gòu),n的值就是頂點度數(shù)的值。用 n-分支曲線覆蓋多面體的頂點；用 m-扭曲雙線覆蓋多面體的邊。這樣我們就構(gòu)筑成“n-分支曲線—m-扭曲雙線”的DNA多面體鏈環(huán)了[5]。

n=3,m=2的扭曲雙線的構(gòu)筑如圖1所示。

1.2Seifert環(huán)

1934年,德國數(shù)學(xué)家Seifert首先提出Seifert環(huán)[6]。通過對圖像投影圖定向,消去投影圖中的交叉點,所得到的圓圈,就稱為Seifert環(huán)。扭結(jié)的投影圖,如圖2所示,一條簡單閉曲線有兩個方向相反的繞行方向,圖中定向是順時針方向,同樣我們也可以定向為逆時針方向。

消去投影圖中交叉點的過程如圖3所示。在每個交叉點處,不改變每條邊原來的方向,把一條邊連接到另一條邊上。

消去交叉點后形成的兩個Seifert環(huán)如圖4所示,得到Seifert環(huán),這些環(huán)對應(yīng)成為曲面一樣的盤子。

1.3Seifert 曲面

給定一個扭結(jié),構(gòu)造一個以扭結(jié)為邊界的定向曲面,這樣的曲面為Seifert曲面。在原來的交叉點處用旋轉(zhuǎn)180°的帶子連接,如圖5所示。

盤子和帶子互相連接起來,經(jīng)過這樣的變化,最后就形成了如圖6所示的Seifert曲面[7]。

2虧格的計算

對于扭結(jié)和鏈環(huán)虧格的計算有下面這樣一個公式[8]:

g=1-(s+u-c)/2,

其中:g代表扭結(jié)或者鏈環(huán)的虧格;s表示Seifert環(huán)數(shù);u表示分支數(shù);c表示交叉點數(shù)。但是由于扭結(jié)和鏈環(huán)的復(fù)雜性,這個公式在實際應(yīng)用中存在難題。為了解決這個問題,我們用可視化的方法來探討這類多面體鏈環(huán)的虧格。

將多面體鏈環(huán)通過膨脹的方法使其可視化,然后通過結(jié)合上面的扭結(jié)公式和傳統(tǒng)的歐拉公式,進(jìn)行證明可以得出:對于n分支偶交錯DNA多面體鏈環(huán)其虧格數(shù)為零。

具體過程如下:

(1)對DNA四面體鏈環(huán)進(jìn)行Seifert構(gòu)造,得到DNA四面體鏈環(huán)的Seifert曲面,如圖7所示[9]。

(2)我們假想DNA四面體鏈環(huán)形成的Seifert曲面是雙層的,然后給它充氣,讓它膨脹起來,形成閉合的可視化的曲面,如圖8所示。

當(dāng)DNA四面體鏈環(huán)的可視化封閉曲面完全同胚變形成相應(yīng)的多面體形狀后(見圖9),將這個多面體任選一個其中的面,將其壓縮到一個平面上,根據(jù)每一個凸多邊形都有可平面可知[8],可以將其完全壓縮成一個平面圖。六面體和八面體鏈環(huán)的同胚變形如圖10所示。

對于可視化之前的DNA多面體鏈環(huán)的Seifert曲面,有

χs=2-2gs-μ,

(1)

其中:χs為Seifert曲面的歐拉示性數(shù);gs為Seifert曲面的虧格;μ為多面體鏈環(huán)的分支數(shù),同時也等于Seifert曲面的邊界數(shù)。

而經(jīng)過可視化封閉后得到的曲面的歐拉示性數(shù)為

χc=2-2gc,

(2)

其中:χc為可視化后曲面的歐拉示性數(shù);gc為可視化后曲面的虧格。

由于Seifert曲面經(jīng)過可視化封閉后,點、面和邊的數(shù)目都增加一倍,而邊界處點和邊同時消去相同的數(shù)量,因此可視化封閉后的曲面歐拉示性數(shù)是原來Seifert曲面的2倍[8],即

χc=2χs。

(3)

將式(3)代入式(2),并與式(1)聯(lián)立,可得

gc=2gs+μ-1,

(4)

而gc是可視化后閉合曲面的虧格數(shù),根據(jù)閉曲面虧格的定義,若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開,則稱該曲面虧格為n,然后結(jié)合上面所構(gòu)筑的DNA多面體鏈環(huán)的模型。分析這些模型的虧格數(shù)。由于這些模型是由可視化閉合曲面同胚變化而來,所以這些最后構(gòu)筑成的模型的虧格數(shù)和可視化閉合曲面的虧格數(shù)是一樣的。根據(jù)閉曲面虧格的定義和這些模型的特點,我們可以得出,每一個模型的虧格數(shù)正好是它們所構(gòu)成的多面體的面數(shù)減1,因為在一個平面內(nèi),它們可以取任意一個面畫出一條閉合曲線,而不將曲面分開[10],所以

gc=F-1。

(5)

又因n分支偶交錯DNA多面體鏈環(huán)中F=μ,故將式(5)帶入式(4)中,可得gs=0。故此類n分支偶交錯DNA多面體鏈環(huán)虧格為零。

由此從可視化的角度,解決了n分支偶交錯的DNA多面體鏈環(huán)扭結(jié)的虧格問題。

參考文獻(xiàn):

[1]P R Cromwell.Knots and Links[M].Cambridge University Press,2004.

[2]He Y,Ye T,Su M,et al.Hierarchical Self-assembly of DNA into Symmetric Supramolecular Polyhedral[J].Nature,2008,452:198-201.

[3]Lu D,Hu G,Qiu Y Y,et al.Topological Transformation of Dual Polyhedral Links.Match Commun[J].Math.Comput.Chem,2010,63(1):63-67.

[4]Hu G,Zhai X D,Lu D,et al.The Architecture of Platonic Polyhedral Links[J].Math.Chem,2009,46:592-603.

[5]Liu S Y,Cheng X S,Qiu W Y,et al.The Architecture of Polyhedral Links and Their Homfly Polynomials[J].Math Chem,2010,48(2):439-456.

[6]姜伯駒.繩圈的數(shù)學(xué)[M].長沙:湖南教育出版社,1998.

[7]伏·巴爾佳斯基,伏·葉弗萊莫維契.拓?fù)鋵W(xué)奇趣[M].裘光明,譯.北京:北京大學(xué)出版社,1987.

[8]Adams C C.The Knot Book[M].An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots,1994.

[9]Wijk Van J J,Cohen A M.Visualization of Seifert Surfaces[J].IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics,2006,12(4):485-496.

[10]江澤涵.多面形的歐拉定理和閉曲面的拓?fù)浞诸怺M].北京:科學(xué)出版社,2002.

[11]王立麗,張偉東,凌昭昭,等.關(guān)于圖Wm×Wn的鄰點可區(qū)別E-全染色的兩個界[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2014,26(6):1-5.

Discussion on Genus of n Branch and DNA Polyhedral Link

Peng Xiaogang,Zhao Linlong

(Mathematics and applied mathematics,Ankang University,Ankang 725000,China)

Key wordsDNA kinks;Genus;Visualization;Euler formula

AbstractAn analysis on genus of n branch and DNA polyhedral link is conducted by visualization method,then by integrating the conclusion given from genus of polyhedral link of this DNA type with euler formula.Thereinto,kinks become visual and solid figures by applying kink visualization method.After a further research,a simpler method for calculating genus is concluded.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.004.

收稿日期:2015-09-16;修回日期:2015-10-28.

基金項目:安康學(xué)院科研項目(2014AYPYZR04).

作者簡介:彭曉剛(1985-),男,河北邯鄲人,碩士,研究方向為拓?fù)鋵W(xué).E-mail:aktczll@163.com.

中圖分類號:O189

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)03-0016-04

引用格式:Peng Xiaogang,Zhao Linlong.Discussion on Genus of n Branch and DNA Polyhedral Link[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):16-19.[彭曉剛,趙臨龍.n分支DNA多面體鏈環(huán)的虧格探討[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(3):16-19.]