巧借數(shù)學(xué)反例，提高學(xué)生思維品質(zhì)

江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵高級(jí)中學(xué) 唐 健

巧借數(shù)學(xué)反例，提高學(xué)生思維品質(zhì)

江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵高級(jí)中學(xué) 唐 健

本文從引入反例，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用；巧借反例，在復(fù)習(xí)鞏固中溫故知新；運(yùn)用反例，幫助學(xué)生快速判定命題的正確與否；借助反例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力四方面出發(fā)，探討了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)反例教學(xué)的開展策略，以期能引導(dǎo)學(xué)生從反面去思考、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高學(xué)習(xí)效率。

高中數(shù)學(xué) 反例教學(xué) 數(shù)學(xué)思維

波利亞說：“類比和反例是獲得發(fā)明的偉大源泉?！痹跀?shù)學(xué)發(fā)展史上，反例和證明同等重要。在高中數(shù)學(xué)中，若能充分利用反例，則會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的世界原來別有洞天。利用反例論證不但運(yùn)算量小，而且具有說服力強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度去思考和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。下面，筆者就結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例，從如下四方面對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例教學(xué)的開展策略略談淺見，以供同行參考。

一、引入反例，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用

精練的數(shù)學(xué)概念無疑濃縮著數(shù)學(xué)思想與方法的精華，不管是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，還是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，都離不開對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用。但在教學(xué)中，如果教師將這些抽象的概念、定義、法則等強(qiáng)制灌輸給學(xué)生，那么，失去了理解的基礎(chǔ)，死記硬背的方式只能是短時(shí)間的記憶，更別談將知識(shí)內(nèi)化了。運(yùn)用反例教學(xué)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，避免理解上的混淆，更好地強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用。

例如正切函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：“在每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)”，由于正切函數(shù)的定義域也是Z），因此有部分學(xué)生認(rèn)為：“正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)”這個(gè)命題是正確的。為此，我們不妨引入反例，如果要想檢驗(yàn)一句話正確與否，我們可以列舉出一個(gè)滿足該命題條件的反面例子來證明這句話是錯(cuò)誤的。如圖所示，x取0，與x取π時(shí)，函數(shù)的值是相等的。第一個(gè)周期里的 tan45°與另外一個(gè)周期里的tan225°是相等的，這樣說明“正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)”這個(gè)命題就是錯(cuò)的。正切函數(shù)的單調(diào)性只能在某一個(gè)周期內(nèi)討論，在（-π/2+kπ，π/2+kπ）（k∈Z）上是單調(diào)的，但是在整個(gè)定義域R上不具有單調(diào)性。

可見，在數(shù)學(xué)概念、定理、法則的運(yùn)用過程中，通過運(yùn)用反例，可以避免繁瑣、抽象的推理論證過程，不僅大大節(jié)省了做題時(shí)間，也能給學(xué)生留下較為深刻的印象。

二、巧借反例，在復(fù)習(xí)鞏固中溫故知新

對(duì)命題的真假，學(xué)生往往習(xí)慣了從正面去證明，有時(shí)需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力去給予嚴(yán)密的證明，而面對(duì)假命題時(shí)，運(yùn)用反例則能做到迅速鑒別，這是更正錯(cuò)誤、否定謬誤結(jié)論的有效武器。課堂時(shí)間畢竟有限，而高中數(shù)學(xué)知識(shí)面廣泛，課堂安排緊密，運(yùn)用反例教學(xué)則可以大大提高解題速度，又能幫助學(xué)生在反例的列舉中達(dá)到溫故而知新的效果。

例如有一道判斷題：“方程的解即為方程的根”，很多同學(xué)都認(rèn)為這句話是對(duì)的，根就是解。為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解與根是有區(qū)別的，我列舉學(xué)生在初中時(shí)學(xué)過的一元一次方程和高中才學(xué)的多元方程，對(duì)于一元一次方程來說，解與根沒有區(qū)別，方程的根也叫方程的解。而對(duì)于多元方程來說，方程的解就不能說成是方程的根，這時(shí)解與根是有區(qū)別的，根可以不成立，但解不可以。

可見，一些經(jīng)典的反例教學(xué)題的運(yùn)用能有效鞏固學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)新知識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解度。引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，提高學(xué)生思維的縝密性。

三、運(yùn)用反例，幫助學(xué)生快速判定命題的正確與否

判斷一個(gè)命題是否成立，一般的做法往往是直接從正面去證明。但有時(shí)候，如果直接從正面證明的話費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還容易出錯(cuò)，尤其是在證明這個(gè)命題為假命題時(shí)，如果通過反例來證明，反而更快速，也更容易讓學(xué)生接受，大大提高學(xué)生的解題速度。

例如，判斷命題“無理數(shù)的無理數(shù)次冪仍為無理數(shù)”是否成立。

對(duì)于這道判斷題，如果從正面去證明，短時(shí)間內(nèi)是很難講得明白的。但如果讓學(xué)生以“挑毛病”的形式去舉出一個(gè)具體的反例來，反而更具說明力。在這個(gè)命題中，以無理數(shù)為例，如果是無理數(shù)，那么（等于2是有理數(shù)，這不就是一個(gè)最好的反例證明嗎？

再比如：判斷“子集是由原來集合中的部分元素所組成的集合”這句話是否正確。有些同學(xué)容易把全集理解為“全體”，子集理解為“部分”，誤認(rèn)為此命題正確。但如果運(yùn)用反例，我們只要舉例空集，空集是任意集合的子集，但空集中并不含有命題中所說的“部分元素”，一下子就能判斷命題是假命題。

可見，反例是否定謬論最直接的武器。學(xué)生列舉反例的過程，也正是學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)能力的過程。

四、借助反例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力

發(fā)散思維又稱求異思維，其思維特點(diǎn)是具有逆向性、側(cè)向性和多向性，現(xiàn)為思維視野廣闊。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維有利于學(xué)生多方向、多角度地去思考、分析和解決問題。而反例教學(xué)，需要學(xué)生分清條件的充分性與必要性，且造反例帶有一定的技巧性，正是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一種很好的教學(xué)方式。

例如：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足f(ab)=af(b)+bf(a)，請(qǐng)問f(x)是否一定為常數(shù)函數(shù)？為什么？

對(duì)于此題，我們很容易想到f(x)=0是滿足題意的一個(gè)函數(shù)，但如果認(rèn)為f(x)一定是常數(shù)函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)證明很困難。于是我們就嘗試從另一個(gè)角度來思考，即f(x)不一定必須是常數(shù)函數(shù)。為了支撐這個(gè)觀點(diǎn)，那就必須找出能夠證明這一觀點(diǎn)存在的反例。通過觀察本題中給出的式子構(gòu)造，f(ab)=af(b)+bf(a)，具有一定的對(duì)稱性，所以我們可以嘗試對(duì)本式進(jìn)行變形處理。當(dāng)ab≠0時(shí)，我們可以令式子兩端分別除以ab，得到如下結(jié)果：我們?nèi)∧敲瓷鲜阶優(yōu)镕(ab)=F(a)+F(b)，這個(gè)式子恰恰就是我們學(xué)過的對(duì)數(shù)函數(shù)的模型，顯然對(duì)數(shù)函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，我們找到了反例，從而得出結(jié)論，f(x)不是一定為常數(shù)函數(shù)。

我們還需要將F(x)的具體形式構(gòu)造出來，并代入題意驗(yàn)證。取F(x)=logax(a＞0，a≠1)，從形式上看，F(xiàn)(x)滿足題目中的條件，但是題目中的定義域是x∈R，目前我們的F(x)的定義域是x＞0，我們需要作出一些改變，取1)，此時(shí)，我們還有一種情況沒有考慮到，即x=0時(shí)，結(jié)合題目條件，我們可以令x=0時(shí)，f(x)=0，此時(shí)我們得到：

上述f(x)就是符合題目條件的反例，事實(shí)上，我們可以發(fā)現(xiàn)只要滿足下面式子的f(x)都是符合題目條件的反例。

c是任意非零常數(shù)。

可見，在上述案例中，不局限于既定的理解，能夠換個(gè)思考的角度去探索和解決問題，思維上的變通和開放反而讓我們的解題思路別有洞天！

綜上所述，反例是幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念、掌握定理、公式、提高數(shù)學(xué)思維能力的有效武器。我們教師不能簡(jiǎn)單地視“反例”僅僅為“反例”，而忽視了反例在數(shù)學(xué)中應(yīng)有的積極作用，只要我們能根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，引入恰當(dāng)?shù)姆蠢?，換一個(gè)角度往往別有洞天！拋磚引玉，希望大家能從這篇小文章中有所收獲。

[1]林美娟.注重反例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力[J].科技信息.2008.31

[2]黃艷玲.主動(dòng)發(fā)揮反例的作用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué).2009.7

[3]馮凌.反例在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的作用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2014.21

[4]楊昌海.反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].考試周刊.2012.17