函數(shù)的奇偶性在高等數(shù)學(xué)中的若干討論

劉太崗 王春華

摘要：介紹了函數(shù)奇偶性的定義和圖形特征，分析了奇偶函數(shù)的性質(zhì)，并討論了函數(shù)奇偶性在高等數(shù)學(xué)中的若干應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；奇偶性；高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0169-02

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一。函數(shù)的奇偶性在高等數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用，如利用奇偶函數(shù)圖形的對稱性縮減函數(shù)作圖的步驟、利用被積函數(shù)的奇偶性化簡定積分的計算以及奇偶函數(shù)的麥克勞林級數(shù)和傅里葉級數(shù)的展開都可簡化。

一、函數(shù)奇偶性的定義

定義：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱。若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。例如，y=cosx是偶函數(shù)，y=sinx是奇函數(shù)。

由定義易知：①常函數(shù)y=C是偶函數(shù)，特別地，當(dāng)C=0時，即常函數(shù)y=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；②偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱；③偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；④奇函數(shù)f（x）若在x=0處有定義，則f（0）=0。

二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)

（一）奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)所考慮函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且不恒取零值，則有以下結(jié)論成立：

兩個奇函數(shù)的和（或差）為奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積（或商）為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和（或差）為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積（或商）為偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（或商）為奇函數(shù)。

（二）奇偶函數(shù)的反函數(shù)

1.偶函數(shù)在定義域內(nèi)不存在反函數(shù)；

2.奇函數(shù)若在定義域內(nèi)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也必為奇函數(shù)。

（三）奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f [g （x）]是由函數(shù)y=f（u）和u=g（x）復(fù)合得到，且它們的定義域均關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有以下結(jié)論成立：

1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函數(shù)，則y=f [g （x）]是奇函數(shù)；

2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一個是偶函數(shù)，則y=f [g （x）]是偶函數(shù)。

（四）奇偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f（x）在其定義域上可導(dǎo)，則有以下結(jié)論成立：

1.若f（x）是奇函數(shù)，則f ′（x）是偶函數(shù)；

2.若f（x）是偶函數(shù)，則f ′（x）是奇函數(shù)。

即求導(dǎo)改變函數(shù)的奇偶性。

（五）奇偶函數(shù)的原函數(shù)

1.若f（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，則其所有的原函數(shù)均為偶函數(shù)；

2.若f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，則其必有一個原函數(shù)為奇函數(shù)。

特別地，設(shè)f（x）是在對稱區(qū)間[-a，a]，上連續(xù)，？覬（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，則有以下結(jié)論成立：

3.若f（x）是奇函數(shù)，則？覬（x）是偶函數(shù)；

4.若f（x）是偶函數(shù)，則？覬（x）是奇函數(shù)。

三、函數(shù)的奇偶性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）奇偶函數(shù)在定積分中的應(yīng)用

設(shè)f（x）是在對稱區(qū)間[-a，a]上連續(xù)，則有以下結(jié)論成立：

1.若f（x）是奇函數(shù)，則f（x）dx=0；

2.若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）dx=2f（x）dx。

（二）奇偶函數(shù)在重積分中的應(yīng)用

設(shè)二重積分I=f（x，y）dxdy，則有以下結(jié)論成立：

1.若積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y）關(guān)于x為奇函數(shù)時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y）關(guān)于x為偶函數(shù)時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；

2.若積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y）關(guān)于y為奇函數(shù)時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y）關(guān)于y為偶函數(shù)時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。

設(shè)三重積分I=f（x，y，z）dxdydz，則有以下結(jié)論成立：

①若積分區(qū)域Ω關(guān)于xOy坐標(biāo)面對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y，z）關(guān)于z為奇函數(shù)時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y，z）關(guān)于z為偶函數(shù)時，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；

②當(dāng)積分區(qū)域Ω關(guān)于yOz坐標(biāo)面對稱，且被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于x有奇偶性，或當(dāng)積分區(qū)域Ω關(guān)于zOx坐標(biāo)面對稱，且被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于y有奇偶性時有完全類似的結(jié)論，本文不再贅述。

（三）奇偶函數(shù)在第一類曲線積分中的應(yīng)用

設(shè)第一類曲線積分I=f（x，y）ds，則有以下結(jié)論成立：

1.若積分曲線L關(guān)于y軸對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y）關(guān)于x為奇函數(shù)時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y）關(guān)于x為偶函數(shù)時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；

2.若積分曲線L關(guān)于x軸對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y）關(guān)于y為奇函數(shù)時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y）關(guān)于y為偶函數(shù)時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。

本文只討論了平面曲線的積分，空間曲線的積分有完全類似的結(jié)論。

（四）奇偶函數(shù)在第一類曲面積分中的應(yīng)用

設(shè)第一類曲面積分I=f（x，y，z）dS，則有以下結(jié)論成立：

1.若積分曲面∑關(guān)于xOy坐標(biāo)面對稱，則

（i）當(dāng)f（x，y，z）關(guān)于z為奇函數(shù)時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）當(dāng)f（x，y，z）關(guān)于z為偶函數(shù)時，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。

2.當(dāng)積分曲面∑關(guān)于yOz坐標(biāo)面對稱，且被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于x有奇偶性，或當(dāng)積分曲面∑關(guān)于zOx坐標(biāo)面對稱，且被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于y有奇偶性時有完全類似的結(jié)論，本文不再贅述。

（五）奇偶函數(shù)在級數(shù)展開中的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處可以展開為麥克勞林級數(shù)，則有以下結(jié)論成立：

1.若f（x）是奇函數(shù)，則其麥克勞林級數(shù)展開式中只含有x的奇次冪項(xiàng)，即

f（x）=x+x+…+x+…；

2.若f（x）是偶函數(shù)，則其麥克勞林級數(shù)展開式中只含有x的偶次冪項(xiàng)，即

f（x）=f （0）+x+…+x+…。

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上可以展開成傅里葉級數(shù)，則有以下結(jié)論成立：

①若f（x）是奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)，即

bsinnx，其中系數(shù)b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；

②若f（x）是偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)展開式中只含有余弦項(xiàng)，即

+acosnx，其中系數(shù)a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。

四、結(jié)語

奇偶性是研究函數(shù)性態(tài)的重要知識，在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛.本文對奇偶函數(shù)的有關(guān)結(jié)論進(jìn)行較為全面的歸納總結(jié)，以促進(jìn)學(xué)生對奇偶函數(shù)的認(rèn)識和理解，提高其解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.