以線性空間為主線的高等代數(shù)教學探討

李小朝, 劉秀華

(1.黃淮學院 數(shù)學系，河南 駐馬店 463000； 2.黃淮學院 社管系，河南 駐馬店 463000)

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以線性空間為主線的高等代數(shù)教學探討

李小朝1, 劉秀華2

(1.黃淮學院 數(shù)學系，河南 駐馬店 463000； 2.黃淮學院 社管系，河南 駐馬店 463000)

摘要：探討以線性空間為主線的高等代數(shù)教學模式，提高教學的有效性.

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；線性空間；教學模式

0引言

高等代數(shù)是本科院校數(shù)學系最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，其中很多理論尤其是線性空間理論對后續(xù)課程的學習非常重要. 由于高等代數(shù)相對抽象，很多教材都是先從行列式、矩陣和線性方程組入手，然后再安排線性空間和線性變換理論[1-2]. 這樣當然使學生學起來更容易接受，讓學生更好地過渡到大學的學習，但也會使一些學生認為線性空間理論不是那么重要，沒有進一步理解高等代數(shù)的精髓——線性空間理論. 有些表面上完全沒有聯(lián)系的研究對象，都可以歸結(jié)為線性空間的范疇進行研究. 因此線性空間是數(shù)學中一個極其重要且應用廣泛的概念，是高等代數(shù)的一個主要研究對象.林翠琴教授對高等代數(shù)的教學內(nèi)容改革進行研究，探討了以線性空間和線性映射為核心的教學體系[3]. 還有一些學者對高等代數(shù)的教學改革及線性空間等內(nèi)容進行了較好的研究[4-5]. 本文結(jié)合教學實踐和教材[1]，提出以線性空間為主線的教學模式，把高等代數(shù)的很多重要內(nèi)容，比如多項式、矩陣、線性方程組解的理論等都融合到線性空間理論中. 在線性空間理論中研究這些內(nèi)容的運算規(guī)律和性質(zhì)，把它們抽象統(tǒng)一起來，進而使學生更好地理解高等代數(shù)的內(nèi)容. 最后再考慮把多項式和矩陣的乘法運算結(jié)合起來，它們可以做成結(jié)合代數(shù)，拓展了線性空間的研究范疇.

1線性空間的概念及例子

線性空間的概念不再贅述，詳見文獻[1-2]. 簡言之，就是在數(shù)域P與非空集合V之間定義數(shù)乘運算，V上定義加法運算，它們滿足8條運算規(guī)律. 看似抽象的數(shù)學概念，卻深刻地展示代數(shù)對象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運算規(guī)律，把很多高等代數(shù)的教學內(nèi)容作為一個例子給出，既可以使這些內(nèi)容聯(lián)系為一個整體，又能統(tǒng)觀全局. 下面作為特殊例子給出這些教學內(nèi)容.

1.1多項式空間P[x]及P[x]n

形式表達式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,其中a0,a1,…,an∈P，n是一非負整數(shù)，稱為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式，或者簡稱為數(shù)域P上的一元多項式；所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式的全體，稱為數(shù)域P上的一元多項式環(huán)，記為P[x].

在P[x]上，定義多項式的加法和數(shù)域P中數(shù)與多項式的乘法. 可以驗證多項式的加法運算滿足交換律和結(jié)合律，P[x]中有零多項式且每個多項式都有負元，然后可以驗證數(shù)與多項式的乘法，滿足乘法對加法的分配率等. 因此P[x]是數(shù)域P上的一個線性空間，注意這里沒有用到多項式的乘法.

接下來把多項式乘法也考慮進來，則P[x]是數(shù)域P上的交換結(jié)合代數(shù)[6]. 同樣類似考慮P[x]n作為線性空間的例子. 這樣既給出了多項式的運算，也給出線性空間的具體例子，加深這些代數(shù)對象的聯(lián)系.

1.2向量空間Pn

由數(shù)域P中n個數(shù)組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)，稱為數(shù)域P上一個n維向量，P上n維向量的全體記為Pn. 向量的加法定義為對應分量分別相加，數(shù)與向量的乘法定義為數(shù)與各分量分別相乘. 可以驗證這些運算也滿足線性空間的定義，給出線性空間的一個易于理解和計算的實例.

1.3齊次線性方程組的解空間

線性方程組是高等代數(shù)的主要研究內(nèi)容，線性方程組的求解尤為重要. 對應齊次線性方程組，它的解的全體到底滿足哪些性質(zhì)？怎樣把它們都表示出來？當然很有必要研究清楚.

齊次線性方程組的一組解稱為解向量，它滿足兩個性質(zhì)：兩個解的和還是方程組的解；一個解的倍數(shù)還是方程組的解. 剛好對應出解向量的加法和數(shù)乘仍然在解集里面，這樣齊次方程組的解集也能做成一個線性空間，基礎(chǔ)解系則為解空間的一組基.

1.4矩陣空間Pm×n

許多問題的研究都提出矩陣的概念，這些研究常反映為矩陣的研究，因此矩陣的運算及性質(zhì)顯得特別重要. 把數(shù)域P上m×n矩陣的全體記為Pm×n，在Pm×n中定義矩陣A,B的和為兩個矩陣對應元素分別相加；數(shù)域P中數(shù)字k與矩陣A的積定義為用k乘矩陣的每一個元素. 可以驗證這兩種運算滿足線性空間的概念，Pm×n是數(shù)域P上m×n維的線性空間，當然它也具有線性空間的其他性質(zhì).

上面沒有考慮矩陣的乘法，如果把n級方陣的全體記為Pn×n，Pn×n中矩陣A,B的乘法定義為：A的第i行與B的第j列對應元素乘積的和作為A與B積的(i,j)元. 這樣考慮Pn×n中方陣的加法、方陣與P中元素的乘法和方陣與方陣的乘法，Pn×n進一步是數(shù)域P上n2維結(jié)合代數(shù)[6].

這些例子既展示了矩陣、多項式等的基本運算，又作為線性空間或其他代數(shù)范疇的例子出現(xiàn)，具有統(tǒng)攬全局，高屋建瓴之感.

2線性空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

線性空間自身的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)需要研究清楚，這里主要給出以下兩點.

2.1維數(shù)、基與坐標

維數(shù)、基與坐標等是線性空間最基本的性質(zhì)，是刻畫線性空間結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ). 在給出這些概念之前需要先學習向量組的線性相關(guān)性等知識點，這樣線性空間的所有元素(無限多個)都可以由有限個元素線性表示出來. 再以線性空間的具體例子，比如多項式空間P[x]及P[x]n，向量空間Pn和矩陣空間Pm×n分別作為研究對象，給出它們的基、維數(shù)、坐標等，使這些不同的研究對象在線性空間的范疇得到理論上的高度統(tǒng)一.

2.2線性子空間

子空間是研究線性空間內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一個重要方面，其定義為：數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間)，如果W對于V的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間. 當然具體證明非空子集合W是子空間并不需要逐條驗證線性空間的8條運算規(guī)律，只需驗證W中元素對于線性空間V的兩種運算封閉即可. 線性子空間的和與交還是子空間，但是子空間的并一般不是子空間，這些性質(zhì)可以利用線性空間理論給出證明，也可以利用上面諸多例子給出驗證，加深結(jié)論的理解和記憶.

3線性空間中運算之間的聯(lián)系——線性變換

在研究了線性空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)之后，需要進一步研究線性空間中元素之間的聯(lián)系，這就需要給出線性空間上線性變換的概念. 線性變換是線性空間V到自身的一個映射，它保持線性空間V的加法和數(shù)乘運算，可以看到線性變換的研究事實上是在線性空間的范疇中進行的. 一個線性變換在線性空間的一組基下唯一對應一個矩陣，線性變換的運算對應矩陣的運算. 線性空間V上線性變換的全體關(guān)于線性變換的加法和數(shù)乘運算又能構(gòu)成數(shù)域P上一個線性空間. 線性變換屬于某個特征值的特征向量的全體加上零向量同樣能做成一個線性空間，稱為特征子空間. 線性變換的值域與核以及不變子空間等，都是新的線性空間，也都具有線性空間的諸多性質(zhì).

可以看到，線性變換的研究是在線性空間中進行的，它是和線性空間的研究融為一體、高度統(tǒng)一的.

4線性空間的特殊情形——歐氏空間

前面探討的是一般數(shù)域P上的線性空間，如果具體到實數(shù)域R上，則給出了實線性空間的概念. 在實線性空間上再賦予內(nèi)積運算，引出了歐幾里德空間的概念. 事實上歐幾里德空間是特殊的線性空間，它當然具有線性空間的基本性質(zhì).以前面的例子為基礎(chǔ)給出歐氏空間的例子，如在實線性空間Rn中,對于向量α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn),定義內(nèi)積(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn，則Rn就成為一個歐幾里德空間. 這樣可以把高等代數(shù)前后的很多內(nèi)容建立緊密聯(lián)系，加深高等代數(shù)概念和知識點的理解.

5線性空間的代數(shù)外延

在以線性空間為主線介紹了高等代數(shù)的基本知識之后，可以線性空間為基礎(chǔ)，給出其他代數(shù)對象，比如結(jié)合代數(shù)、李代數(shù)等，拓展學生的知識面，激發(fā)學習高等代數(shù)的興趣. 下面僅舉兩例作為參考.

5.1結(jié)合代數(shù)

設(shè)A是數(shù)域P上的線性空間,對?α,β,γ∈A,k∈P，在A上定義乘法運算(α，β)→αβ, 滿足乘法是雙線性的：α(β+γ)=αβ+αγ, (α+β)γ=αγ+βγ, (kα)β=α(kβ)=k(αβ)和乘法結(jié)合律α(βγ)=(αβ)γ, 則稱A為P上一個結(jié)合代數(shù). 可以看到結(jié)合代數(shù)首先是線性空間，它當然具有線性空間的基本性質(zhì)，無非比線性空間的運算多了元素之間的乘法運算，這里可以線性空間P[x]與Pn×n作為結(jié)合代數(shù)的例子進行研究.

5.2李代數(shù)

李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要研究分支，其定義為：設(shè)L是數(shù)域P上的一個線性空間, 且L上有一個雙線性運算L×L→L，記為(x,y)[xy]，它滿足[xx]=0和Jacobi等式[x[yz]]+[y[zx]]+[z[xy]]=0(?x,y,z∈L)，則稱L為P上的李代數(shù). 李代數(shù)首先也是一個線性空間，具有線性空間的基本性質(zhì)，當然它更是現(xiàn)代數(shù)學、物理等研究的重要方面.

6小結(jié)

高等代數(shù)的大部分內(nèi)容都可以歸結(jié)到線性空間的范疇進行研究. 以線性空間為主線展開教學，可以把高等代數(shù)的主要內(nèi)容有機聯(lián)系起來，統(tǒng)觀全局；又能引出現(xiàn)代數(shù)學中許多重要的代數(shù)對象，承前啟后. 因此，以線性空間為主線進行高等代數(shù)的教學是切實可行的，值得進一步探討研究.

參考文獻

[1]北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組．高等代數(shù)[M]．4版.北京：高等教育出版社,2013：1-394.

[2]張賢科，許甫華. 高等代數(shù)學 [M]．2版.北京：清華大學出版社，2004：1-320.

[3]林翠琴. 以線性空間和線性映射為核心的線性代數(shù)教學體系[J]. 工科數(shù)學，1997, 13(2):84-87.

[4]譚玉明. 關(guān)于高等代數(shù)中根子空間分解定理的教學[J]. 大學數(shù)學，2012,28(2): 152-154.

[5]余柏林，程虹，華洪波，等. 線性空間概念的教學方法研究[J]．高師理科學刊，2014, 34(1):104-107.

[6]孟道驥，王立云，史毅茜，等. 抽象代數(shù)Ⅱ：結(jié)合代數(shù)[M]. 北京：科學出版社，2011：1-4.

Discussion on Higher Algebra Teaching Based on Linear Space

LI Xiaochao1, LIU Xiuhua2

(1.Department of Mathematics, Huanghuai University, Zhumadian 463000, China;2.DepartmentofSocialManagement,HuanghuaiUniversity,Zhumadian463000,China)

Abstract:Explores the teaching model based on linear space in higher algebra to improve the teaching effectively.

Key words:higher algebra; linear space; teaching model

收稿日期：2015-11-23

基金項目：河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項目(142300410449);黃淮學院教育教學改革研究項目(2014XJGLX0426)

作者簡介：李小朝(1981—)，男，河南駐馬店人，黃淮學院數(shù)學系副教授，博士，主要研究方向：基礎(chǔ)代數(shù).

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.013

中圖分類號：G642.0

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0056-03