ADOP可觀測性分析方法在旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)中的應(yīng)用

胡華峰， 劉 明， 李 旦， 羅 偉

(湖北航天技術(shù)研究院總體設(shè)計所，武漢 430040)

ADOP可觀測性分析方法在旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)中的應(yīng)用

胡華峰， 劉 明， 李 旦， 羅 偉

(湖北航天技術(shù)研究院總體設(shè)計所，武漢 430040)

針對旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)多位置初始對準(zhǔn)可觀測性的問題，對可應(yīng)用于初始對準(zhǔn)方案選擇的姿態(tài)精度因子(ADOP)可觀測性分析方法進行了研究。以慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)33維狀態(tài)誤差方程為研究對象，分析ADOP方法在旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)的轉(zhuǎn)動順序、停留時間及模型降階方面的應(yīng)用。理論分析和仿真結(jié)果均表明該方法控制靈活、直觀有效，能夠為旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)應(yīng)用中最佳方案選擇提供依據(jù)。

ADOP；可觀測性；旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)；初始對準(zhǔn)

0 引言

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Inertial Navigation System,INS)中一個十分重要的問題就是其初始對準(zhǔn)問題。實踐證明應(yīng)用卡爾曼濾波器實現(xiàn)INS的初始對準(zhǔn)具有較好的效果?？柭鼮V波器對系統(tǒng)狀態(tài)估計的收斂速度和精度決定著系統(tǒng)初始對準(zhǔn)的速度和精度，而這在很大程度上是由系統(tǒng)的可觀測性所決定的。因此，在設(shè)計卡爾曼濾波器之前想要研究系統(tǒng)狀態(tài)的可估計性和初始對準(zhǔn)的速度和精度，必須首先分析系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測性[1-2]。

為了實現(xiàn)慣導(dǎo)系統(tǒng)快速精確對準(zhǔn)，有效改善系統(tǒng)的可觀測性，J.G.Lee和C.G.Park等研究發(fā)現(xiàn)，等效地轉(zhuǎn)動慣性測量單元(IMU)能夠巧妙地變換導(dǎo)航系統(tǒng)誤差模型中的系統(tǒng)矩陣，從而改善導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測性，實現(xiàn)快速精確對準(zhǔn)[3]。因此，對于具有旋轉(zhuǎn)功能的慣導(dǎo)系統(tǒng)，弄清轉(zhuǎn)動對系統(tǒng)可觀測性和可觀測度的影響，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的對準(zhǔn)方案，對提高捷聯(lián)慣性系統(tǒng)初始對準(zhǔn)的速度和精度具有重要的意義。

目前，常用的可觀測性和可觀測度分析方法很多，但都是優(yōu)缺點并存[4-6]。實際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)需要選擇合適的分析方法，Carl Johnson提出一種姿態(tài)精度因子(Attitude Dilution of Precision，ADOP)方法來分析狀態(tài)變量的可觀測度，這種方法生成的ADOP圖形象直觀，而且可以用來設(shè)計特定的軌跡以增強狀態(tài)的可觀測度[7-8]。本文在充分分析ADOP可觀測性分析方法的基礎(chǔ)上，介紹了如何利用ADOP方法確定初始對準(zhǔn)中的旋轉(zhuǎn)方案及系統(tǒng)模型的降階。

1 ADOP可觀測性分析法

1.1 ADOP可觀測性分析

xn=Φn,n-1xn-1+wn-1

(1)

其中，wn是白噪聲序列，其協(xié)方差陣為Qn。

這里n時刻的狀態(tài)量還可以表達如下

xn=Φn,0x0+an-1

(2)

其中

an-1=wn-1+Φn,n-1wn-2+Φn,n-2wn-3+…+

Φn,2w1+Φn,1w0

量測序列為

zn=Hnxn+vn

(3)

其中,vn是量測噪聲，Hn為n時刻的量測矩陣。

將式(2)帶入式(3),則量測序列寫為如下形式

zn=Hn(Φn,0x0+an-1)+vn

=HnΦn,0x0+un

(4)

其中:

un=Hnan-1+vn

(5)

注意，a與v是不相關(guān)的。

定義:

(6)

有

Z=Hx0+U

(7)

定義協(xié)方差陣如下：

(8)

由于a與v不相關(guān)，所以由式(5)和式(8)得

(9)

又有an=wn+Φn+1,nan-1，且an-1與wn不相關(guān)，所以

(10)

又有

(11)

R =cov(U)

=diag(R1,R2,…,RN)

(12)

實際應(yīng)用中，考慮與量測量相關(guān)的狀態(tài)所對應(yīng)的系統(tǒng)噪聲項較小(如加速度計隨機游走)，式(11)計算值的量級小于Rn，因此可以忽略R矩陣非對角塊的值，即式(12)成立。

因此，上述問題轉(zhuǎn)換為一個典型的最小二乘問題，根據(jù)給定的量測值Z和噪聲項U估計系統(tǒng)狀態(tài)x0。

加權(quán)最小二乘估計的指標(biāo)是[7]

=min

(13)

其解為

(14)

(15)

將式(6)和式(12)代入式(14)，可以獲得如下關(guān)系式

P=(HTR-1H)-1

(16)

其中,n表示第n次量測。

如果要研究最優(yōu)估計時每個狀態(tài)變量的可觀測性，取P的每個對角線元素作為對應(yīng)狀態(tài)可觀測性的度量，由于P的對角線元素描述了對應(yīng)狀態(tài)的誤差方差，所以P的對角線元素值收斂的越小，代表對應(yīng)狀態(tài)變量的可觀測性越高。

(17)

因此,可以加入一個量測方程

(18)

將式(18)與式(7)組合成為一個新的最小二乘問題，即：

(19)

因此，由馬爾可夫估計的均方誤差可知狀態(tài)變量的協(xié)方差矩陣可以表示為

(20)

1.2 P陣規(guī)范化

如果直接計算P陣，給出各個狀態(tài)的收斂大小，不進行規(guī)范化處理，那么各狀態(tài)的取值范圍可以是任意的，使得各個狀態(tài)之間不具有可比性，不能有效判斷各個狀態(tài)的收斂程度，因此，有必要對P陣進行規(guī)范化處理[9]。

通常，在進行卡爾曼濾波之前都要設(shè)定P0，在此認為P0是確切已知且為對角陣。利用P0將P全等變換為P′，變換等式如式(21)所示

(21)

2 基于ADOP的轉(zhuǎn)動方案選擇

下面將介紹如何利用ADOP方法來確定地面初始對準(zhǔn)的方案。

2.1 系統(tǒng)說明

理論研究表明，當(dāng)IMU繞方位軸從初始位置旋轉(zhuǎn)180°到第2位置時，等效東向和北向陀螺漂移的符號由正變負，若在2個位置停留時間相同則可以抵消2個陀螺儀的常值漂移誤差，從而提高方位失準(zhǔn)角的精度。因此優(yōu)先考慮繞方位軸(本文約定為Z軸)轉(zhuǎn)動的方案。

另外，在繞方位軸旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上，繞另外任意一軸旋轉(zhuǎn)90°，可以有效提高方位陀螺漂移的估計精度，因此，為了對比，將這種組合方案作為待選轉(zhuǎn)動方案。另外，選擇靜止不動作為參考方案進行對比。

因此，總結(jié)上述方案如表1所示(初始時刻XYZ的指向為北東地)。

表1 轉(zhuǎn)動方案

慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型設(shè)定為33維，包含6個系統(tǒng)狀態(tài)(速度、姿態(tài)各三維)，15個加速度計狀態(tài)及12個陀螺狀態(tài)，詳細方程可參考P.G.Savage的書[10]。加速度計零偏30μg，標(biāo)度因數(shù)誤差1×10-4，失準(zhǔn)角誤差100μrad，二次項系數(shù)誤差3×10-6/g；陀螺零偏差0.01(°)/h，標(biāo)度因數(shù)誤差3×10-5，失準(zhǔn)角誤差100μrad。

2.2 最優(yōu)轉(zhuǎn)動順序

目前，加速度計的水平已經(jīng)達到很高的精度，慣導(dǎo)系統(tǒng)的水平對準(zhǔn)精度已經(jīng)能夠滿足用戶需要，因此本文以考察初始對準(zhǔn)的方位對準(zhǔn)精度為目標(biāo)，設(shè)對準(zhǔn)時間為5min，轉(zhuǎn)動速度為9(°)/s，則仿真計算得各轉(zhuǎn)動方案的方位對準(zhǔn)精度結(jié)果如表2所示。

表2 各轉(zhuǎn)動方案的方位對準(zhǔn)精度

從表2數(shù)據(jù)可以看出，繞Z轉(zhuǎn)動的方式為最優(yōu)方式，5min的方位對準(zhǔn)精度為0.462′；繞Z軸和X軸的組合方式效果最差，繞Z軸和Y軸的組合方式效果居中，主要是在繞Y軸的轉(zhuǎn)動過程中，該軸保持不動，保證了繞Z軸轉(zhuǎn)動的方位對準(zhǔn)精度。需要強調(diào)的是此處僅以方位誤差的大小衡量效果的好壞。

由于篇幅所限，此處僅列出方案2姿態(tài)誤差的曲線圖，如圖1所示。

圖1 方案2姿態(tài)誤差曲線圖Fig.1 Attitude error of scheme 2

圖1中第4、5、6狀態(tài)分別為東向、北向和天向姿態(tài)誤差。從圖1中可以看，在沒有轉(zhuǎn)動時水平姿態(tài)誤差也能較快地收斂到一定程度，而方位收斂較慢，且一定時間后保持在一定水平上；在轉(zhuǎn)動之后，水平姿態(tài)和方位均能有效收斂到更高，增強了各個系統(tǒng)的可觀測度。

2.3 最優(yōu)時間分配

從2.2節(jié)的分析可知，繞Z軸轉(zhuǎn)動的方案為較優(yōu)轉(zhuǎn)動方案。但是上述分析的過程中，是將整個對準(zhǔn)時間平均分配在各個停止段，理論證明基于轉(zhuǎn)動方式的初始對準(zhǔn)方案，只需要在對稱位置上停留相同時間即可，因此，有必要驗證轉(zhuǎn)動過程中最后一個位置停留時間長短對方位對準(zhǔn)精度的影響。具體時間分配及計算結(jié)果如表3所示。

表3 不同轉(zhuǎn)動時間分配的方位對準(zhǔn)精度

從表3可以看出，對于轉(zhuǎn)動方案2，時間分配為[140 140]時最優(yōu)。

3 基于ADOP的模型降階

利用ADOP可觀測性分析方法進行模型降階，就是尋求可觀測度高的狀態(tài)分量，將這些狀態(tài)保留，刪除其他狀態(tài)量，獲得低階的對準(zhǔn)模型從而降低運算量。

由上述分析可知，基于ADOP的可觀測性分析方法可以直觀地描述各狀態(tài)分量本身的收斂情況，然而為有效地比較各狀態(tài)分量之間的收斂程度大小，需要進行歸一化。對時間分配為[140 140]的轉(zhuǎn)動方案進行歸一化處理后的結(jié)果如圖2所示。

圖2 ADOP歸一化后的結(jié)果Fig.2 The result of ADOP with normalization

從圖2中可以看出，可觀測性較高的狀態(tài)有6維系統(tǒng)狀態(tài)(1～6)，Z加速度計標(biāo)度因數(shù)誤差(12)、X陀螺零偏誤差(22)、Y陀螺零偏誤差(23)，另外，3個加速度計零偏誤差(7～9)，X加速度計相對Z軸失準(zhǔn)角誤差(14)、Y加速度計相對Z軸失準(zhǔn)角誤差(16)、X陀螺相對Z軸失準(zhǔn)角誤差(29)、Y陀螺相對Z軸失準(zhǔn)角誤差(31)也具有一定的可觀測性，上述狀態(tài)共16維狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文針對地面慣性導(dǎo)航系統(tǒng)初始對準(zhǔn)的實際需求，在詳細分析基于姿態(tài)精度因子可觀測性和可觀測度的基礎(chǔ)上，以最終方位對準(zhǔn)精度為目標(biāo)，提出了利用ADOP輔助確定IMU轉(zhuǎn)動方案(特別是在確定各轉(zhuǎn)動位置時間分配上)的分析方法，同時給出了利用ADOP可觀測性分析方法進行模型降階的具體實現(xiàn)。本文所述方法為工程實際應(yīng)用提供了依據(jù)，奠定了基礎(chǔ)。

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The Application of ADOP Observability Analysis Method in Rotating-INS Initial Alignment

HU Hua-feng, LIU Ming, LI Dan, LUO Wei

(Designing Institute of Hubei Aerospace Technology Academy, Wuhan 430040, China)

To study the observability of rotating inertial navigation system(INS)’s multi-position initial alignment, the ADOP (Attitude Dilution of Precision) observability analysis methods are discussed in this paper. In order to research the application of ADOP for the best rotation sequence, the best state duration and reduce model order in rotating-INS’s multi-position initial alignment, the 33-state error model of the INS is taken as its study object. The simulation of initial alignment observability is carried out, the results of theoretical analysis and simulation both show that the method proposed in this paper is intuitive, effective and easy to control, and able to provide the basis for optimal scheme selection.

ADOP; Observability; Rotating inertial navigation system; Initial alignment

10.19306/j.cnki.2095-8110.2016.05.007

2015-06-15；

2015-07-06。

胡華峰(1986-)，男，工程師，主要從事慣性技術(shù)研究。E-mail:h-hfeng@163.com

V249.32+2

A

2095-8110(2016)05-0033-08