對(duì)稱思想與數(shù)學(xué)解題

藺守臣

【摘要】對(duì)稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。本文通過歸納、列舉典型例題，其一說明對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)中存在的普遍性；其二在解題過程中，只要抓住這一特點(diǎn)，既可以提高學(xué)生解題的速度，掌握解題的技巧，又可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱思想 解題

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）01-0142-02

“對(duì)稱”一詞，起初是人們通過對(duì)自身的“臉部”結(jié)構(gòu)分析而產(chǎn)生的詞語(yǔ)。后來人們把它擴(kuò)充到現(xiàn)實(shí)世界中的圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線、平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

對(duì)稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)方面。本文通過歸納、列舉一些典型例題，其一，充分反應(yīng)“對(duì)稱思想”在數(shù)學(xué)中存在的普遍性；其二，抓住對(duì)稱關(guān)系，掌握對(duì)稱技巧，提高解題速度，確保解題的正確性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生解決問題和分析問題能力，筆者對(duì)此做了一些嘗試，供從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究者借鑒。

1.已知f（x）的間接關(guān)系式，求f（x）表達(dá)式的問題

例1：已知■，求f（x）的表達(dá)式。

解：∵■，把-x換成x，于是：

■ ①

■ ②

①×3-②×2得：■

∴■.

∵■，

∴■

故■，■

例2：設(shè)■滿足■，（其中abc≠0，且a≠±b）.求■的表達(dá)式。

解：用■代換x，得：

■，①

■②

由②×a-①×b得：■

∵a≠±b，

∴■

點(diǎn)評(píng)：例1利用-x與x的對(duì)稱性，反映了f（-sinx）與f（sinx）的對(duì)稱性；例2利用f（■）與f（x）的對(duì)稱性，使得解題思路開闊，以達(dá)到異曲同工之目的。

2.作函數(shù)圖形的問題

作函數(shù)圖形可充分利用：

（1）若■，則函數(shù)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；

（2）若■，則函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱；

（3）若■或■，則函數(shù)圖形關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

（4）■圖象則與■的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；

（5）■圖象則與■的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。

利用上述結(jié)論來作圖，既方便，又快捷。

3.等式或不等式的證明問題

例3：在銳角△ABC中，求證：

■

分析：在左右兩邊均是關(guān)于A、B、C的完全對(duì)稱式，只需比較其中對(duì)稱的任兩項(xiàng)之和的大小關(guān)系。

證明：∵■

■

若■則■矛盾。

∴■

又■

∴■

∴■

同理■

■

三式兩邊分別相加并除以2，即可得到要證明的不等式。

4.立體幾何中對(duì)稱性問題

立體幾何中，如多面體、旋轉(zhuǎn)體，其對(duì)稱性是最為普遍的，有點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱，還有面對(duì)稱，掌握這些對(duì)稱關(guān)系，能夠提高空間想象能力和解決問題的能力。

例4：已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，求證：B1EDF是菱形。

分析：如圖，應(yīng)有，

■

∴B1F=B1E=DE=DF.

又點(diǎn)E、F關(guān)于正方體中心對(duì)稱，線段DB1關(guān)于正方體的中心對(duì)稱，所以，EF與DB1是互相平分，由平面幾何知識(shí)可得B1EDF是菱形。

5.在有關(guān)弦的對(duì)稱點(diǎn)上的應(yīng)用問題

一般在圓錐曲線動(dòng)弦的弦長(zhǎng)及斜率問題中，對(duì)稱性思想出現(xiàn)較為頻繁。

例5：已知橢圓■和直線■，為使橢圓上存在關(guān)于直線的兩個(gè)不同的對(duì)稱點(diǎn)，求k的取值范圍。

解：若存在兩個(gè)不同的對(duì)稱點(diǎn)，則直線■和橢圓■有兩個(gè)交點(diǎn)，由

■

■

分析：

（1）當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)■為y=0（即x軸為對(duì)稱軸）.所以存在關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，假設(shè)MM'是橢圓上關(guān)于直線■的中點(diǎn)p0（x0，y0），所以根據(jù)定理，MM'的斜率：■。

∴直線■垂直平分MM'。

∴■∴■.

又p0（x0，y0）點(diǎn)在直線■上，

∴■

∵p0（x0，y0）是弦MM'的中點(diǎn)，p0在橢圓內(nèi)，

∴■.

化簡(jiǎn)得：■

∴■

6.函數(shù)極值問題的對(duì)稱原理

如果一個(gè)函數(shù)有若干個(gè)變量，而這些變量又具有對(duì)稱性，則這個(gè)函數(shù)的極值往往是在這些變量都相等時(shí)取得，至于究竟是極大值還是極小值，由實(shí)際問題決定或靠理論做出判別，這就是極值問題的對(duì)稱原理。

7.求極限、定積分時(shí)對(duì)稱性的問題

微積分中，在求有些函數(shù)的極限、有些函數(shù)的定積分問題，可利用這些函數(shù)的一些特殊性質(zhì)（如函數(shù)的奇偶性），使問題的解決得以簡(jiǎn)化。

例6：如圖所示，證明：（1）若■在■上連續(xù)，且為奇函數(shù)，則■；

（2）若■在■上連續(xù)，且為偶函數(shù)，則■。

■為偶函數(shù) ■為奇函數(shù)

證明■

對(duì)積分■作變量代換■，則有

■

所以■

（1）若■為奇函數(shù)，即■，■0故

■

（2）若■為偶函數(shù)，即■，則■■，從而有■

從本例可以得出：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分為零，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分等于半個(gè)區(qū)間上積分值的兩倍。因此我們可以用該結(jié)論去簡(jiǎn)化計(jì)算奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分。

幾何解釋：從圖上看，對(duì)于在[-a，a]上連續(xù)的偶函數(shù)，由于陰影所示的圖形關(guān)于y軸是對(duì)稱的，于是這一圖形的面積■，恰好是圖形位于y軸右側(cè)部分面積■的兩倍，對(duì)于在[-a，a]上連續(xù)的奇函數(shù)■，由于陰影所示的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，左下方圖形的面積與右上方圖形的面積大小相等，但它們的對(duì)應(yīng)的定積分卻符號(hào)相反，即■■，于是積分結(jié)果：■ 對(duì)稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它存在于初等數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，但從問題出現(xiàn)的形式、章節(jié)內(nèi)容方面，卻顯得比較零散，而對(duì)該問題進(jìn)行專題性的研究、探討性的文章，還比較少。本文對(duì)“對(duì)稱思想”的研究，僅限于在數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)體會(huì)，深層次的理論研究將有待于進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁其書.數(shù)理化教學(xué)理論研究與實(shí)踐，江西高校出版社，2002.

[2]陸海，鄭文.高等數(shù)學(xué)，南開大學(xué)出版社，2012.