對(duì)初中函數(shù)教學(xué)宜螺旋上升

廣東省豐順縣龍崗中學(xué) 朱錦源

函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型，也是初中代數(shù)領(lǐng)域里的重要內(nèi)容，它在初中數(shù)學(xué)中具有較強(qiáng)的綜合性。在教學(xué)中，學(xué)生常常覺(jué)得學(xué)函數(shù)抽象深?yuàn)W，高不可攀，教師也覺(jué)得函數(shù)難講，講了學(xué)生也理解不了，理解了也不會(huì)解題。事實(shí)果真如此難教難學(xué)嗎？結(jié)合自己的多年教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)，我認(rèn)為對(duì)初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)宜進(jìn)行螺旋上升教學(xué)。

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的目標(biāo)是學(xué)生在學(xué)段末最終應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，而學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。所以筆者認(rèn)為對(duì)于初中函數(shù)的教學(xué)可以分為四個(gè)學(xué)段進(jìn)行。

第一學(xué)段可以定位在“通過(guò)求解一些簡(jiǎn)單而現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，感受到現(xiàn)實(shí)中存在許多變化的事物和現(xiàn)象，并且其中是有規(guī)律可尋的”。

首先，在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)初期（即在七年級(jí)的函數(shù)認(rèn)識(shí)初期階段，僅僅讓學(xué)生知道什么是變量、自變量、因變量），可以讓學(xué)生親自動(dòng)手通過(guò)做“小車從不同高度下滑”和“變化中的三角形”的實(shí)驗(yàn)，收集“不同高度下滑的高度h”與“其對(duì)應(yīng)的下滑時(shí)間t”“三角形的底邊長(zhǎng)x”與“三角形的面積y”之間的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生先體會(huì)變量之間的相依關(guān)系。此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索具體情境中兩個(gè)變量之間關(guān)系的過(guò)程，獲得探索變量之間關(guān)系的體驗(yàn)，并要求學(xué)生在變化過(guò)程中尋找出實(shí)驗(yàn)中的“自變量、因變量”；后在具體情境中理解什么是變量、自變量、因變量，在此過(guò)程中讓學(xué)生能舉出反映變量之間關(guān)系的例子，嘗試對(duì)變化趨勢(shì)進(jìn)行初步的預(yù)測(cè)。

第二學(xué)段則通過(guò)解決某些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)習(xí)“尋找規(guī)律”的一些基本方法，并體驗(yàn)到掌握這些變化規(guī)律，可以幫助我們預(yù)測(cè)未來(lái)。

例如在“小車從不同高度下滑”和“變化是的三角形”的實(shí)驗(yàn)中，讓學(xué)生明確“支撐物高度h”與“小車下滑時(shí)間t”“三角形的底邊長(zhǎng)x”與“三角形的面積y” 都在變化，其中t隨h的變化而變化，h是自變量，t是因變量；x隨y的變化而變化，x是自變量，y是因變量。

第三學(xué)段則在前兩個(gè)學(xué)段的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)的基本概念、知識(shí)，了解研究函數(shù)的一些基本過(guò)程和方法。學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解就有一個(gè)逐步發(fā)展的過(guò)程，對(duì)函數(shù)進(jìn)行螺旋上升式教學(xué)，有利于學(xué)生不斷加深對(duì)函數(shù)思想的理解。

初中階段引入的函數(shù)概念，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，用“變量”來(lái)描述函數(shù)：“在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)”。分析這個(gè)定義對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強(qiáng)調(diào)了函數(shù)定義中的“對(duì)應(yīng)”，并且明確了“y對(duì)x是單值對(duì)應(yīng)”。如前面“小車從不同高度下滑”和“變化是的三角形”的兩個(gè)例子中，h是t的函數(shù)；y是x的函數(shù)。進(jìn)而學(xué)習(xí)了解并研究各類函數(shù)（一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）的圖象及其性質(zhì)。當(dāng)然，此階段為學(xué)習(xí)初中階段各類函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)階段。此階段教師必須花費(fèi)一定時(shí)間詳細(xì)分類講解，使學(xué)生能基本掌握各類函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

第四學(xué)段重視數(shù)形結(jié)合、加強(qiáng)函數(shù)與其它相關(guān)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系與綜合。

“函數(shù)是表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量?！焙瘮?shù)自產(chǎn)生就和圖形結(jié)下了不解之緣，函數(shù)的表示方法之一是圖象法，即通過(guò)平面直角坐標(biāo)系中的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的關(guān)系。這種表示方法的產(chǎn)生，將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，提供了數(shù)形結(jié)合的研究問(wèn)題的重要方法。教學(xué)過(guò)程中，要注意函數(shù)解析式與圖象的結(jié)合這兩方面的互補(bǔ)，體現(xiàn)兩者之間的關(guān)系，突出兩者間轉(zhuǎn)化對(duì)分析解決問(wèn)題的特殊作用。

由于函數(shù)與圖象緊密關(guān)聯(lián)：一次函數(shù)的圖象是一條直線（正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例），二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。由于圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，而點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，則用一組有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)體現(xiàn)。當(dāng)要求函數(shù)解析式時(shí)，則點(diǎn)坐標(biāo)中的橫坐標(biāo)與自變量對(duì)應(yīng)，縱坐標(biāo)與函數(shù)值相對(duì)應(yīng)，這樣就能夠得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組）來(lái)求出函數(shù)的解析式。這正是體現(xiàn)了有序?qū)崝?shù)對(duì)與點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

函數(shù)教學(xué)是一個(gè)整體，其不同的分支之間存在著實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，函數(shù)與其它相關(guān)知識(shí)之間也存在橫向聯(lián)系，各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也正是升中考試的重要考點(diǎn)之一，這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生所認(rèn)識(shí)。具體做法是可以各種函數(shù)與其它相關(guān)知識(shí)之間采用“混編知識(shí)歸納”。

如我在九年級(jí)升中備考復(fù)習(xí)時(shí)，把各種函數(shù)及其它關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行混編歸納，形成“順口溜”：方程函數(shù)緊相聯(lián)，一直二拋反雙曲；畫出圖象三步驟，列表描點(diǎn)和連線；若求解析用待定，點(diǎn)橫自變縱對(duì)值，組成方程（組）來(lái)求解，一一對(duì)應(yīng)莫忘記（點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)函數(shù)中的自變量、點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)函數(shù)中的函數(shù)值）。

在歸納二次函數(shù)開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)知識(shí)時(shí)，形成“順口溜”：二次函數(shù)一般式，y=ax2+bx+c (a≠0)；a正向上a負(fù)下，對(duì)稱軸是x=-b/2a（a為正數(shù)時(shí)，二次函數(shù)的圖象拋物線開口向上；a為負(fù)數(shù)時(shí)，拋物線開口向下）；要求頂點(diǎn)用配方，二次項(xiàng)系數(shù)化一后，一次項(xiàng)系數(shù)的一半，就是括號(hào)的第二項(xiàng)；[由于配方后會(huì)出現(xiàn)一個(gè)括號(hào)的平方的形式，如：y=a(x-h)2+k的形式中的 “-h”就是二次函數(shù)一般形式y(tǒng)=a(x2+bx/a+c/a)中b/a的一半（即b/2a），即二次函數(shù)一般形式經(jīng)過(guò)配方后為y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a]。

在歸納求解函數(shù)圖象交點(diǎn)相關(guān)知識(shí)時(shí)，形成“順口溜”：若求圖象的交點(diǎn)，解析式組方程組。方程組解的組數(shù)，就為交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。若是方程組無(wú)解，則兩圖象無(wú)交點(diǎn)。

通過(guò)以上四個(gè)學(xué)段的函數(shù)教學(xué)后，特別是經(jīng)過(guò)第四學(xué)段的總結(jié)歸納后，學(xué)生在九年級(jí)的升中考試中，對(duì)于函數(shù)相關(guān)知識(shí)的掌握有明顯的提高。

所以，對(duì)初中函數(shù)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的接受能力進(jìn)行逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升，這樣更能符合學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。