一類有理-三角樣條曲線

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一類有理-三角樣條曲線

引文格式： 馬虹，彭豐富.一類有理-三角樣條曲線[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016,36(1):52-55.

馬虹，彭豐富

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004)

摘要：為了構(gòu)造一種代數(shù)-有理多項(xiàng)式與三角函數(shù)相結(jié)合的參數(shù)曲線，基于代數(shù)-三角混合函數(shù)空間構(gòu)造參數(shù)曲線曲面的理論，運(yùn)用有理參數(shù)曲面的生成方法，把代數(shù)-三角混合多項(xiàng)式應(yīng)用到有理多項(xiàng)式樣條中，構(gòu)造了一類有理-三角樣條曲線，對(duì)該曲線的性質(zhì)及構(gòu)造方法進(jìn)行了研究。有理-三角多項(xiàng)式作為有理多項(xiàng)式的推廣，在插值和逼近上比多項(xiàng)式更具有靈活性和有效性，而且在曲線曲面形狀的控制方面具有很好的應(yīng)用。此類曲線是擺線的廣義情形，具有良好的端點(diǎn)性質(zhì)和插值多樣性。

關(guān)鍵詞：曲線；代數(shù)三角混合多項(xiàng)式；有理-三角函數(shù)

曲線曲面造型技術(shù)對(duì)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)具有非常重要的研究意義，在構(gòu)造參數(shù)曲線曲面時(shí)一般以多項(xiàng)式為基函數(shù)，樣條函數(shù)自發(fā)展以來(lái)經(jīng)歷了Ferguson曲線、Bézier曲線、B樣條曲線和有理B樣條曲線，現(xiàn)在應(yīng)用比較廣泛的是非均勻有理B樣條(NURBS)曲線[1-3]。B樣條和NURBS具有表示與設(shè)計(jì)曲線曲面的很多優(yōu)點(diǎn)，但是仍然存在一些問(wèn)題。例如，B樣條對(duì)于一些二次曲線曲面只能近似地予以表示；NURBS的有理形式雖然可以精確地表示二次曲面，但其有理形式也使計(jì)算變得復(fù)雜；Bézier方法推進(jìn)了曲線曲面的設(shè)計(jì)，但是對(duì)曲線的控制性存在不足[4-6]。代數(shù)-三角多項(xiàng)式樣條函數(shù)可以克服某些曲線不能精確表示的缺點(diǎn)。張紀(jì)文[7]提出了均勻節(jié)點(diǎn)的C-曲線概念。2001年，Mainar等[8]在代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了規(guī)范B基的構(gòu)造，所構(gòu)造的曲線曲面不僅具有插值性、光順性和局部可調(diào)性等優(yōu)點(diǎn)，而且在適當(dāng)?shù)臈l件下還可以精確表示二次曲線曲面。近年來(lái)，用代數(shù)三角混合多項(xiàng)式表示參數(shù)曲線曲面成為了一種嶄新的方法，呂勇剛等[9]在擴(kuò)展的代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了k階代數(shù)三角多項(xiàng)式樣條。

有理多項(xiàng)式樣條函數(shù)既是有理逼近的重要組成部分，又是多項(xiàng)式樣條的推廣，兼顧了二者的優(yōu)點(diǎn)，更具一般性和靈活性。為此，將有理多項(xiàng)式與代數(shù)-三角多項(xiàng)式樣條相結(jié)合，構(gòu)造了一類有理-三角平面曲線，并分析了其相關(guān)性質(zhì)。

1有理-三角平面曲線

平面內(nèi)的m次有理曲線可以用參數(shù)方程對(duì)其進(jìn)行表示[11]：

(1)

其中a(s),b(s),c(s)∈R[s]，且max(deg(a)，deg(b)，deg(c))=m。

空間n次有理曲線的參數(shù)方程為

(2)

其中a(t),b(t),c(t),d(t)∈R[t]，且max(deg(a),deg(b),deg(c),deg(d))=n[11]。

一般情況下，為了討論方便，式(2)中的前3項(xiàng)可以寫(xiě)成齊次形式P(t)=(a(t),b(t),c(t))，其表示為一空間曲線，其中g(shù)cd(a,b,c)=1[11]。同樣P(t)的次數(shù)定義為：

deg(P(t))=max(deg(a),deg(b),deg(c))。

(3)

類似地，有理參數(shù)曲面可表示為：

通常寫(xiě)成齊次形式：

其中a,b,c,d∈R[s,t]，且gcd(a,b,c,d)=1[10]。

根據(jù)有理曲面的構(gòu)造方法，由平面內(nèi)m次有理曲線P(s)=(A(s),B(s),C(s))及空間n次有理曲線P(t)=(a(t),b(t),c(t),d(t))，可生成一個(gè)雙階(m,n)的空間曲面[12]，

(4)

類似地，利用這種方法就可得到一類有理-三角樣條曲線。由平面曲線Q(θ)=(θ-sinθ,1-cosθ,1)與P(t)=(1,1,1/r(t))可以生成空間曲線S(θ,t)：

(5)

其中，1/r(t)為多項(xiàng)式，t∈R+。

由式(5)的同態(tài)形式，若定義t與θ的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，從而可以得到平面曲線

(6)

即在歐幾里德空間中有參數(shù)曲線：

(7)

這里，定義t與θ的關(guān)系

(8)

對(duì)式(8)兩邊積分，

(9)

令r為有理多項(xiàng)式，

(10)

代入式(9)，得

(11)

2曲線性質(zhì)

構(gòu)造的有理-三角平面曲線(7)，若令r(t)為常數(shù)即為擺線，其幾何意義為：當(dāng)一個(gè)圓在一條直線上作不滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，圓周上的點(diǎn)所描繪的旋輪線稱為擺線。滾動(dòng)圓半徑r為關(guān)于參數(shù)t的有理多項(xiàng)式，t∈[0,1]；θ為圓的半徑滾動(dòng)經(jīng)過(guò)的角度，θ∈[0,2π]。當(dāng)θ從0變動(dòng)到2π時(shí)，動(dòng)圓上一定點(diǎn)就刻畫(huà)出廣義擺線。

在有理多項(xiàng)式(10)中，如當(dāng)m=5，

(12)

代入式(11)得

(13)

取廣義擺線上的任意6點(diǎn)：p1(0.007 9,0.037 2)，p2(0.132 8,0.186 2)，p3(0.402 3,0.256 1)，p4(0.256 4,0.018 4)，p5(0.710 4,0.047 1)，p6(1.196 1,0.000 6)，通過(guò)插值可得到動(dòng)圓半徑及擺線圖形。

r(t)具有如下性質(zhì)：

1)正性。r(t)≥0。

2)單調(diào)性。有理多項(xiàng)式r(t)和其一階導(dǎo)數(shù)r′(t)的圖像分別為圖1、2。從圖1、2可看出，其單調(diào)性為：當(dāng)t∈[0，0.5)時(shí)，r(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(0.5,1]時(shí)，r(t)單調(diào)遞增。

圖1　有理多項(xiàng)式曲線Fig.1　Rational polynomial curve

圖2　有理多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)曲線Fig.2　First derivative curve of rational polynomial

3)存在性。廣義擺線中，對(duì)于一組精確的數(shù)值點(diǎn)通過(guò)插值法求解其對(duì)應(yīng)方程組有解，節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)也是明確的。這一性質(zhì)使得構(gòu)造的曲線具有插值多樣性，且滿足光順的要求。

所構(gòu)造的有理-三角多項(xiàng)式樣條曲線具有如下性質(zhì)：

1)端點(diǎn)性質(zhì)。有理-三角樣條曲線在t∈[0，1]區(qū)間具有良好的端點(diǎn)性質(zhì)，圖像經(jīng)過(guò)首末兩端點(diǎn)，如圖3所示。

2)單調(diào)性。當(dāng)t∈[0,0.5]時(shí)，曲線單調(diào)遞增；當(dāng)t∈[0.5,1]時(shí)，曲線單調(diào)遞減。

3)拼接性。有理-三角樣條曲線在端點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，具有很好的拼接性，如圖4所示。

圖3　有理-三角多項(xiàng)式曲線Fig.3　Rational-trigonometric polynomial curve

圖4　有理-三角多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)曲線Fig.4　First derivative curve of rational-trigonometricpolynomial

3結(jié)束語(yǔ)

為了構(gòu)造一種代數(shù)有理-三角有理多項(xiàng)式與三角函數(shù)相結(jié)合的參數(shù)曲線，構(gòu)造了一類有理-三角樣條曲線，這類曲線一方面繼承了多項(xiàng)式樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)，另一方面描述與設(shè)計(jì)的曲線曲面具有較好的插值性、光順性、形狀可調(diào)節(jié)性。另外，有理形式的三角多項(xiàng)式樣條曲線能精確表示一些二次曲線曲面，在研究曲線曲面的應(yīng)用上有較好的實(shí)用價(jià)值。通過(guò)增加一個(gè)坐標(biāo)系，可推廣到空間曲線的構(gòu)造。

參考文獻(xiàn):

[1]施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001:306-454.

[2]蘇本躍.基于三角多項(xiàng)式曲線曲面的幾何造型理論與方法研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2007:18-71.

[3]李軍成，趙東標(biāo)，楊煉.擬三次三角樣條插值曲線與曲面[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2013,3(3):680-684.

[4]PIEGL,TILLERM.TheNURBSBook[M].2nded.Berlin:Springer,1997:141-188.

[5]蘇本躍，盛敏.代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2010,31(6):39-44.

[6]HANXu’an.ThecubictrigonometricBéziercurvewithtwoshapeparameters[J].AppliedMathematicsLetters,2009,22(2):226-231.

[7]ZHANGJiwen.C-curves:anextensionofcubiccurves[J].ComputerAidedGeometricDesign,1996,13(9):199-217.

[8]MAINARE,PENAJM.AbasisofC-Béziersplineswithoptimalproperties[J].ComputerAidedGeometricDesign,2002,19(8):291-295.

[9]呂勇剛，汪國(guó)昭，楊勛年.均勻三角多項(xiàng)式樣條曲線[J].中國(guó)科學(xué)(E輯)，2002,32(2):281-288.

[10]史曉冉.μ基的應(yīng)用-空間曲線奇異點(diǎn)的計(jì)算及有理曲面的隱式化[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2012:14-105.

[11]賈曉紅.有理曲線與曲面的μ基理論[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2009:20-129.

[12]SHIXiaoran.Usingmovingplanestoimplicitizerationalsurfacesgeneratedfromaplanarcurveandaspacecurve[J].ComputerAidedGeometricDesign,2014,31(9):631-641.

編輯：翁史振

A type of rational-trigonometric curve

MA Hong, PENG Fengfu

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：In order to construct a kind of parametric curve combined with algebraic-rational polynomial and trigonometric function, based on the theory of constructing parametric curve and surface in the algebraic-trigonometric blending function space, by using the rational parametric surface generating method, the algebraic-trigonometric blending polynomial is applied to rational polynomial splines for constructing a type of rational-trigonometric curve. The nature and construction method of the curve is studied. As the promotion of rational polynomial, the rational-trigonometric polynomial is more flexible and effective in interpolation and approximation, and has a good application on controlling curve and surface. This kind of curve is a generalized case of cycloid with good endpoint property and interpolation diversity.

Key words：curve; algebraic-trigonometric polynomial; rational-trigonometric function

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-808X(2016)01-0052-04

通信作者：彭豐富(1972-)，男，湖南雙峰人，副教授，博士，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail:pengfengfu@aliyun.com

基金項(xiàng)目：廣西自然科學(xué)基金(2015GXNSFAA139014)

收稿日期：2015-10-08