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    矩陣Schur補的非奇異H矩陣判定算法

    2016-03-15 02:30:16馬勝輝,段復建
    桂林電子科技大學學報 2016年1期

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    矩陣Schur補的非奇異H矩陣判定算法

    引文格式: 馬勝輝,段復建.矩陣Schur補的非奇異H矩陣判定算法[J].桂林電子科技大學學報,2016,36(1):76-78.

    馬勝輝,段復建

    (桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院,廣西 桂林541004)

    摘要:針對非奇異H矩陣的判定問題,提出了一種直接判定算法。該算法通過矩陣Schur補求逆,逐次降階,判定低階矩陣是否為非奇異H矩陣。數(shù)值算例表明,該算法是有效的。

    關鍵詞:非奇異H矩陣;Schur補;數(shù)值判定

    非奇異H矩陣是一類重要的特殊矩陣,它在計算數(shù)學、數(shù)學物理和動力系統(tǒng)理論等方面有著重要應用。而許多實際問題的應用都歸結(jié)到大型非奇異H矩陣的判定問題上,因此,國內(nèi)外許多學者在研究大型非奇異H矩陣的判定算法,已有許多研究成果。其中有迭代判定算法[1-4],但這些算法有一個共同的缺點,就是不能確定迭代的步數(shù),且當判別的矩陣不是非奇異H矩陣時,可能陷入無限循環(huán)。為了避免上述缺點,提出了直接判定算法[5-7],通過逐次降階的方法,使得一個任意矩陣只需判定低階矩陣是否為非奇異H矩陣即可。因此,本算法是一種區(qū)別于文獻[5-7]的直接判定算法,算法在做降階處理時,將矩陣Schur補求逆的方法應用到其中。

    1預備知識

    設Cn×n為所有n×n復數(shù)矩陣所構(gòu)成的集合,α、β為N的非空子集,用A(α,β)表示行標集為α、列標集為β的A的子矩陣。A(α,α)縮寫為A(α)。N={1,2,…,n},α′=N-α,β′=N-β。隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展,大量工程問題可歸結(jié)為大規(guī)模的矩陣計算問題,而矩陣Schur補是處理大規(guī)模矩陣計算的有利工具。

    稱為矩陣A關于子矩陣A(α)的Schur補。

    在諸多領域中,許多問題可轉(zhuǎn)化為具有特殊構(gòu)造的矩陣問題。例如,偏微分方程中的有限元方法、運籌學中的線性互余問題等常用到M矩陣理論。Z矩陣、M矩陣以及H矩陣是3個特殊構(gòu)造的矩陣,其定義如下。

    定義2 設矩陣A=(aij)n×n∈Rn×n,且非主對角元素aij≤0,則稱A是Z矩陣,Z矩陣集合記為Zn×n。

    定義3 設A=(aij)n×n∈Rn×n,若A=sI-B,s∈R,s>0,B≥0,若ρ(B)≤s,則稱A是M矩陣。若ρ(B)

    顯然,M矩陣是Z矩陣的特殊情形。

    定義4設A=(aij)n×n∈Cn×n,定義μ(A)=(mij)n×n∈Rn×n,其中

    則稱μ(A)是A的比較矩陣。

    定義5 設A=(aij)n×n∈Cn×n,若A的比較矩陣μ(A)是非奇異M矩陣,則稱A是非奇異H矩陣。

    從定義5可得,對于任意一個矩陣,通過判斷其比較矩陣是否為非奇異M矩陣,可判別該矩陣是否為非奇異H矩陣。

    2主要結(jié)果

    引理1設A∈Zn×n,若滿足下列條件,則A是非奇異M矩陣。

    1)A可逆;

    2)A-1≥0。

    引理1給出了直接判定一個矩陣是否為非奇異M矩陣的方法。

    將逆矩陣A-1的各個分塊對應寫成Schur補的形式,便得到Schur補求逆矩陣的方法。

    由A-1(α′)=(A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′))-1,根據(jù)Schur補定義

    A/A(α)=A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′),

    有A-1(α′)=(A/A(α))-1,那么,相應地將α與α′互換,可得到A-1(α)=(A/A(α′))-1。

    將A/A(α)=A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′)代入A-1(α,α′)和A-1(α′,α),可得到

    證明 1)必要性。若A是M矩陣,則A(α)也是M矩陣,且有A(α)-1≥0,A-1≥0,從而A-1(α′)≥0。又由引理2中A-1(α′)=(A/A(α))-1,可知(A/A(α))-1≥0。

    即A-1≥0,又已知A∈Zn×n,由引理1可得A是M矩陣。

    3算法設計

    由定理1可知,要判定一個n階Z矩陣A是否為非奇異M矩陣,只需判定子塊A(α)-1和(A/A(α))-1是否為非負矩陣。當n較大時,不失一般性,考慮取A(α)為4階矩陣,并設

    算法1給定矩陣B=(bij)∈Cn×n,令A=μ(B)=(aij)∈Zn×n,其中μ(B)是B的比較矩陣。

    1)令A(m)=A,m=0;

    3)計算A(m)的階數(shù)n,若n≤4,則轉(zhuǎn)步驟4),否則轉(zhuǎn)步驟5);

    并轉(zhuǎn)步驟2);

    5)計算(A(m))-1,若不是非負矩陣,則A不是非奇異H矩陣。否則,A是非奇異H矩陣。

    4數(shù)值例子

    例1考慮矩陣

    根據(jù)算法1,只需運算2次,得到(A(2))-1=0.330 3>0,可知B為非奇異H矩陣。實際上,用計算機求得A-1=(μ(B))-1≥0,為非負矩陣,由定理1可知,B確為非奇異H矩陣。

    例2 考慮矩陣

    根據(jù)算法1,運算1次,得

    不是非負矩陣,可知B不是非奇異H矩陣。實際上,用計算機求得A-1=(μ(B))-1不是非負矩陣,可知B的確不是非奇異H矩陣。

    5結(jié)束語

    對于非奇異H矩陣的數(shù)值判定算法,將矩陣的Schur補求逆應用到其中,即通過用矩陣的Schur補求逆,并判斷該逆矩陣是否為非負矩陣,再作降階運算,逐次判斷,由此判定原矩陣是否為非奇異H矩陣。該算法擴展了非奇異H矩陣在數(shù)值判定算法中降階處理時的方法。

    參考文獻:

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    [7]郭希娟,紀乃華,姚慧萍.逆M矩陣的判定及并行算法[J].北華大學學報,2004,5(2):97-103.

    編輯:梁王歡

    An algorithm for distinguishing non-singular H-matrix with Schur complement

    MA Shenghui, DUAN Fujian

    (School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

    Abstract:A direct algorithm is presented for distinguishing non-singular H-matrix. In this algorithm, the low order matrix can be determined non-singular H-matrix by successive order reduction based on Schur complement. The numerical examples show that the algorithm is effective.

    Key words:non-singular H-matrix; Schur complement; numerical determination

    中圖分類號:O151.21

    文獻標志碼:A

    文章編號:1673-808X(2016)01-0076-03

    通信作者:段復建(1965-),女,黑龍江黑河人,教授,博士,研究方向為最優(yōu)化理論與方法、數(shù)值代數(shù)。E-mail:duanfj@guet.edu.cn

    基金項目:國家自然科學基金(11461015)

    收稿日期:2015-09-12

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