不妨上一節(jié)錯(cuò)例剖析課

黃毅華

摘 要： 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)往往存在教師講完例題，學(xué)生練習(xí)的固化模式，對(duì)學(xué)生來說能力得不到培養(yǎng)，只是解題的工具。為此，教師要尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，在課堂中要給學(xué)生獨(dú)立、自主的時(shí)間與空間，讓學(xué)生自己完成學(xué)習(xí)中的每個(gè)步驟，在教學(xué)過程中始終站在學(xué)生的角度思考問題，處理好教學(xué)中“錯(cuò)解”、“錯(cuò)因”與“練習(xí)”的關(guān)系，對(duì)典型錯(cuò)誤加以剖析，幫助學(xué)生找到產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的辦法，掌握知識(shí)和培養(yǎng)能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課 錯(cuò)解 錯(cuò)因 練習(xí) 作業(yè)

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，尤其是在章節(jié)復(fù)習(xí)、階段復(fù)習(xí)和總復(fù)習(xí)時(shí)，復(fù)習(xí)課的教法往往是：先由教師講解一些典型例題，然后讓學(xué)生練習(xí)。對(duì)學(xué)生來說，上課往往聽得懂，但做起練習(xí)和作業(yè)來，又會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，能力得不到培養(yǎng)。

新課標(biāo)指出，教學(xué)的改革重在教學(xué)過程的變化，而教學(xué)過程的變化強(qiáng)調(diào)的是教師教學(xué)方式的變化，要變學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)、自主學(xué)習(xí)知識(shí)的真正主人，變學(xué)生的被動(dòng)發(fā)展為主動(dòng)、自主發(fā)展。要把課堂還給學(xué)生，讓課堂煥發(fā)生命力，在課堂中要還給學(xué)生獨(dú)立、自主的時(shí)間與空間，讓學(xué)生自己完成學(xué)習(xí)中的每個(gè)步驟，以學(xué)生的發(fā)展為本，充分調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性。

為此，在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，有時(shí)把復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)成一堂錯(cuò)例剖析課，作為教學(xué)嘗試，收效甚好。下面就以求一元二次方程中參數(shù)問題的復(fù)習(xí)課為例，過程如下。

一、出示“錯(cuò)解”

平時(shí)注意收集學(xué)生作業(yè)和考試中的典型題目和含有原則性錯(cuò)誤的錯(cuò)解，寫在小黑板上，也可以刻印成講義發(fā)給每個(gè)學(xué)生閱讀，讓他們辨析會(huì)診，并把錯(cuò)誤之處簡要記錄下來，允許翻閱課本、資料，并可以與鄰近的同學(xué)開展討論，教師作巡視輔導(dǎo)。

由于初中學(xué)生都有好勝的心理特征，對(duì)找“岔子”很感興趣，因而這一過程可使學(xué)生處于積極思維狀態(tài)；只有人的思維處于開放的積極狀態(tài)，才最具有活力和創(chuàng)造性。在教學(xué)中只有營造寬松、和諧、民主、合作的課堂氛圍，學(xué)生才會(huì)產(chǎn)生好奇心，進(jìn)而鼓勵(lì)學(xué)生打開思維空間，大膽疑問。

題目及錯(cuò)解如下：

題1：m取何值時(shí)，關(guān)于x的方程（2-m）x■-11x-15=0是一元二次方程？（課本練習(xí)）

錯(cuò)解：由m■-2=2，得m=2或-2.

題2：已知關(guān)于x的方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.（2012綿陽）

錯(cuò)解：∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△>0，而△=[-2（k+1）]■-4k（k-1）=12k+4，即12k+4>0，

解之得k>-■.

題3：已知x■、x■是關(guān)于x的一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在常數(shù)k，使■+■=■成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（2012菏澤）

錯(cuò)解：存在。

因?yàn)閤■+x■=2k，x■x■=k■-k，

所以■+■=■=■=■=■=■，

即■=■，去分母得2（2k■+2k）=3（k■-k），

整理得：k■+7k=0，所以k■=0，k■=-7.

題4：n取何值時(shí)，關(guān)于x的方程（n■-2）x■-2（n+1）x+1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根？

錯(cuò)解：△=4（n+1）■-4（n■-2）=4（2n+3）

令4（2n+3）>0

解之得n>-■.（答略）

題5：若關(guān)于x的方程x■+（m+2）x+3=0的兩個(gè)根均大于1，求m的取值范圍。

錯(cuò)解：設(shè)此方程的兩根為x■、x■，則△=（m+2）■-4×3≥0x■>1x■>1

得到（m+2）■≥12x■+x■>2

所以m≥-2+2■或m≤-2-2■-（m+2）>2即m<-4

得m≤-2-2■

二、剖析“錯(cuò)因”

教師根據(jù)巡視的情況選擇一些有代表性的學(xué)生發(fā)言，一般來說每題都請(qǐng)兩位學(xué)生發(fā)言。第一位同學(xué)的發(fā)言存在一些問題，以利于其他學(xué)生再展開討論，把思維過程充分暴露出來，第二位學(xué)生的發(fā)言基本上作出完整的回答。然后師生共同剖析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，找出預(yù)防的辦法，并寫出每道題的正確解答。

由于初中生一般都有樂于表現(xiàn)自己的心理特征，發(fā)言積極踴躍，因而這一過程可使學(xué)生中的困惑、錯(cuò)誤得到及時(shí)解釋和糾正，思維火花也能被及時(shí)點(diǎn)燃，學(xué)生就會(huì)有探索者的收獲，發(fā)現(xiàn)者的歡樂，勝利者的喜悅……

剖析結(jié)果如下：

題1：對(duì)于“題1”，先讓學(xué)生甲說說一元二次方程的概念，再讓學(xué)生乙對(duì)照概念剖析“錯(cuò)因”：錯(cuò)解只考慮到x的次數(shù)是2次，得m=2或m=-2；但忽略了一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為0這一必要條件；因此，二次項(xiàng)系數(shù)2-m≠0，即m≠2；最后師生共同寫出正確答案，所以m=-2.

題2：漏掉了二次項(xiàng)的系數(shù)k≠0這個(gè)前提條件，事實(shí)上，當(dāng)k=0時(shí)，原方程變成一次方程，不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故k=0應(yīng)該舍去。

正解：∵該方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴二次項(xiàng)系數(shù)不為0且△>0，即k≠0且12k+4>0，∴k>-■且k≠0.

題3：①該一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以△≥0

即（-2k）■-4（k■-k）=4k≥0，得到k≥0.

②去分母k■-k時(shí)，注意分母不為0，即k■-k≠0，知k■≠0且k■≠1。

∴綜合①②兩因素，k■=0且k■=-7都應(yīng)該舍去，

∴本題中k的值不存在。

題4：漏掉了二次項(xiàng)的系數(shù)n■-2≠0這個(gè)前提條件。事實(shí)上，當(dāng)n■-2=0時(shí)，即n=±■

原方程變?yōu)橐淮畏匠?，不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故n=±■應(yīng)舍去。正確答案是n>-■且n=±■。

題5：由x■>1，x■>1可得到x■+x■>2，但反過來不一定成立。如x■=-3，x■=6時(shí)雖有x■+x■=3>2，但x■=-3<1，其錯(cuò)誤的原因是將必要條件當(dāng)做充要條件。事實(shí)上，由x■>1，x■>1得x■-1>0，x■-1>0，則（x■-1）+（x■-1）>0且（x■-1）（x■-1）>0，故正確答案應(yīng)是解下列不等式組的解。

△≥0（x■+x■）-2>0x■x■-（x■+x■）+1>0

解之得：-6

三、鞏固練習(xí)

出示三道練習(xí)題：

1.若關(guān)于x一元二次方程（m-2）x■+3x+m■-4=0有一個(gè)根是0，你能求出m的值嗎？（2012天水考題）

2.k取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程2x■+kx-2k+1=0兩實(shí)根的平方和為■？

3.若關(guān)于x的一元二次方程7x■-（k+13）x+k■-k-2=0有兩根x■、x■，且0

對(duì)以上三題，學(xué)生普遍能正確解答出來。

四、布置作業(yè)

這節(jié)復(fù)習(xí)課，不僅有效糾正了學(xué)生求一元二次方程的參數(shù)問題時(shí)的一些典型錯(cuò)誤，而且啟發(fā)我們：在復(fù)習(xí)時(shí)，有時(shí)注意精選一些學(xué)生解題中的典型錯(cuò)誤加以剖析，不僅讓學(xué)生“吃一塹長一智”，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性和深刻性，幫助學(xué)生找到產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的辦法，進(jìn)而使學(xué)生在解題時(shí)少犯錯(cuò)甚至不犯錯(cuò)誤，是大有裨益的；能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，使學(xué)生處于積極思維狀態(tài)中，對(duì)于強(qiáng)化課堂復(fù)習(xí)效果，是一種較好的教學(xué)嘗試。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.

[2]義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué).