淺談三種數(shù)學(xué)形式間關(guān)系對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

朱忠

摘 要： 數(shù)學(xué)具有抽象性、邏輯性和思維性，正是這三種特性決定了數(shù)學(xué)在當(dāng)今社會(huì)處于主導(dǎo)地位，因此，一方面是知識(shí)的教學(xué)，另一方面是思想方法的教學(xué)，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果和質(zhì)量，不僅表現(xiàn)在學(xué)生深刻而又牢固地掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而且表現(xiàn)在通過教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高他們的數(shù)學(xué)能力。由于其自身的特點(diǎn)，它的邏輯體系，以及各部分之間的層次關(guān)系，極大地影響著學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提高。

一、何謂數(shù)學(xué)思維

所謂數(shù)學(xué)思維是指人腦對(duì)事物的本質(zhì)和事物之間規(guī)律性地反映在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)。它是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的核心成分，是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的概括、間接的反映。數(shù)學(xué)思維過程，是通過分析綜合而在頭腦中獲得對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系和空間形式全面、本質(zhì)的反映過程。在分析綜合過程中，運(yùn)用比較確定事物之間的異同和關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，概括出具有某些特征的事物，而抽出某種事物的屬性或特征，使它們?cè)谒枷肷虾褪挛锉旧淼钠渌卣鞲綦x開來，這就是抽象思維。

二、如何發(fā)展學(xué)生思維、提高數(shù)學(xué)能力

從現(xiàn)代觀點(diǎn)來看，隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，知識(shí)要不斷更新，每個(gè)人都需要不斷學(xué)習(xí)，補(bǔ)充自己，適應(yīng)不斷變化的形勢。因此，學(xué)習(xí)不僅僅是在理解的基礎(chǔ)上掌握和記憶所學(xué)的知識(shí)，更重要的是掌握探索和解決所要認(rèn)識(shí)的問題的方法。這種素質(zhì)的獲得要與基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)緊密結(jié)合起來，從學(xué)習(xí)大量的知識(shí)內(nèi)容中獲得思想方法，發(fā)展能力，從反復(fù)練習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用這種思想方法和發(fā)展能力，這就是為什么在數(shù)學(xué)教學(xué)方法和形式中賦予習(xí)題特殊地位的原因。因此，對(duì)教師而言，無論采取什么樣的教學(xué)手段，達(dá)到什么樣的教學(xué)目的，都必須選擇一些與教學(xué)大綱的學(xué)習(xí)內(nèi)容有聯(lián)系的習(xí)題，使學(xué)生通過解題有效地掌握這些內(nèi)容，從而形成數(shù)學(xué)思維能力和一定的思想素質(zhì)。

三、三種數(shù)學(xué)形式間關(guān)系對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

這里所說的三種形式是指一元二次方程ax■+bx+c=0，二次三項(xiàng)式ax■+bx+c，以及二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）。

1.三種數(shù)學(xué)形式之間的關(guān)系

（1）從式的角度看，ax■+bx+c=0及y=ax■+bx+c為方程式，前者為一元二次方程式，后者為二次方程式，而ax■+bx+c為代數(shù)式，是二次三項(xiàng)式。（2）從函數(shù)角度看，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c為二次函數(shù)，ax■+bx+c=0為方程。從函數(shù)定義上講，對(duì)于ax■+bx+c，x為一變量，ax■+bx+c為另一變量，且ax■+bx+c隨x的變化而變化，即一個(gè)代數(shù)式是其中變量的函數(shù)。即ax■+bx+c為x的二次函數(shù)，如5x■+3x+2是x的二次函數(shù)，而y=ax■+bx+c顯然y是x的二次函數(shù)?？梢?，著眼函數(shù)ax■+bx+c與y=ax■+bx+c是完全相同的函數(shù)，就會(huì)在坐標(biāo)系中出現(xiàn)同一圖像，只不過ax■+bx+c是用代數(shù)式表示函數(shù)的關(guān)系，而y=ax■+bx+c是用數(shù)學(xué)解析式表示的函數(shù)關(guān)系。（3）從函數(shù)的圖像來看，ax■+bx+c=0，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c三者處在同一圖像系統(tǒng)之中，這是三種數(shù)學(xué)形式是這樣的密切和融洽，把不同性融于統(tǒng)一性中。（4）從三者的值來看，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)時(shí)有無數(shù)個(gè)值，而ax■+bx+c=0在x取特定值時(shí)只有一個(gè)零值，在b■-4ac≥0時(shí)，ax■+bx+c=0的值是y=ax■+bx+c或ax■+bx+c眾多的函數(shù)值中的一個(gè)值，當(dāng)然，當(dāng)b■-4ac<0時(shí)，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c繼續(xù)存在，而ax■+bx+c=0就無意義了。

2.理清三者關(guān)系的必要性

三種數(shù)學(xué)式在初三數(shù)學(xué)中連續(xù)出現(xiàn)，既有方程又有代數(shù)式，既有函數(shù)又有圖像，在初中學(xué)生思維發(fā)展上有必然性，但三種數(shù)學(xué)形式相似及概念的繁雜，給初學(xué)者的理解及實(shí)際操作上帶來了困惑，而這三種數(shù)學(xué)形式又是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，因此及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行三種關(guān)系的滲透，既是完成數(shù)學(xué)任務(wù)不可缺少的一環(huán)，又是學(xué)生思維能力培養(yǎng)的客觀要求。

3.三者關(guān)系對(duì)思維能力的培養(yǎng)

（1）對(duì)抽象概念能力的影響。要理解三種數(shù)學(xué)形式的關(guān)系，首先必須了解三種數(shù)學(xué)形式的概念，這三種概念都是從具體的內(nèi)容中抽象出來的，而初中生是能夠在概念及案件里一般性的聯(lián)系和從屬關(guān)系。在學(xué)習(xí)三種數(shù)學(xué)形式時(shí)，既要在一定程度上依靠三種數(shù)學(xué)形式的具體事例，又要注意引導(dǎo)學(xué)生的思維逐漸擺脫哪些具體的例子，這樣對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維是大有好處的。（2）對(duì)思維理解能力的影響。ax■+bx+c=0、ax■+bx+c、y=ax■+bx+c是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，尤其是ax■+bx+c=0貫穿了初中數(shù)學(xué)的始終，它的出現(xiàn)打破了初三以前一個(gè)方程只有一個(gè)根的思維定勢，其解讓我們看到了事物的多樣性和相似性，同時(shí)也讓我們看到?jīng)Q定一個(gè)方程根的真正因素是方程自身，是內(nèi)因。很大程度上一元二次方程是為ax■+bx+c及y=ax■+bx+c的出現(xiàn)做鋪墊的。

總之，從初中生的思維發(fā)展規(guī)律來看，理清三種數(shù)學(xué)形式間的關(guān)系，是必要的，也是重要的。初中時(shí)期是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵期，我們應(yīng)及時(shí)有效地了解和把握這一時(shí)期，為學(xué)生的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。