高等幾何的高觀點(diǎn)對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用

李中 李偉勛

摘要：高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的主干課程之一。由于高等幾何貫穿了大量現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想和方法，因此，學(xué)生學(xué)習(xí)了高等幾何，能夠加深對(duì)中學(xué)幾何的理論和方法的認(rèn)識(shí)，從而掌握用較高觀點(diǎn)去處理初等幾何問題的能力。筆者在長(zhǎng)期的高等幾何教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)高等幾何的高觀點(diǎn)對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用做了一些教學(xué)嘗試和探討。

關(guān)鍵詞：高等幾何;初等幾何; 指導(dǎo)作用

近年來，隨著高等幾何課程教學(xué)改革的縱深發(fā)展，越來越多的數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到，深入思考高等幾何對(duì)初等幾何教學(xué)指導(dǎo)作用的問題很有必要，在傳授專業(yè)理論知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)注重高等幾何與初等幾何的聯(lián)系，明確高等幾何對(duì)初等幾何教學(xué)指導(dǎo)的意義。

一、高等幾何能夠居高臨下地看待初等幾何

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛爾蘭根大學(xué)宣讀了現(xiàn)在大家叫“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，提出了變換群的觀點(diǎn)，明確地表述了構(gòu)成幾何的普遍原則，即是說可以考慮空間的一一變換的任何一個(gè)群，而且研究在這個(gè)群的一切變換下保留不變的圖形性質(zhì)?，F(xiàn)行的高等幾何教材一般都是利用克萊因變換群的觀點(diǎn)建立的，根據(jù)這一觀點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)群下圖形不變性質(zhì)的研究，就構(gòu)成歐氏幾何;仿射群下圖形的不變性質(zhì)的研究就構(gòu)成仿射幾何;射影群下圖形的不變性質(zhì)的研究就構(gòu)成射影幾何?？傊?，一門幾何學(xué)就是研究圖形在某一變換群下不變性質(zhì)的科學(xué)。利用克萊因變換群觀點(diǎn)可以重新審視初等幾何，明確歐氏幾何與仿射幾何、射影幾何之間的聯(lián)系與區(qū)別。中學(xué)初等幾何主要研究歐氏幾何，因?yàn)闅W氏幾何是射影幾何的一個(gè)特例，所以，教師可用高等幾何的較高觀點(diǎn)來指導(dǎo)初等幾何的教學(xué)，從而不斷改進(jìn)初等幾何的教學(xué)方法，不斷提高初等幾何的教學(xué)質(zhì)量。

二、高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用之例證

1.利用仿射變換解決初等幾何問題

根據(jù)高等幾何知識(shí)，只要選取恰當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個(gè)三角形、平行四邊形、梯形或橢圓與特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圓都可以互相轉(zhuǎn)換。由于仿射變換保持同素性、平行性、共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比不變、封閉圖形的面積之比不變，因此我們可以根據(jù)特殊圖形得出的結(jié)論推出原圖形對(duì)應(yīng)的結(jié)果。用仿射變換解決這類問題時(shí)，實(shí)質(zhì)上是由特殊到一般的推理，因此往往可以把問題化繁為簡(jiǎn)，從而收到事半功倍之功效。

2.德薩格定理及其逆定理的應(yīng)用

利用德薩格定理及其逆定理可以證明大量的初等幾何中的共點(diǎn)線和共線點(diǎn)問題。例如命題“三角形垂心、重心、外心三心共線”“ 三角形的三中線交于一點(diǎn)”，都可用此法證明。

例1： 證明三角形垂心、重心、外心三心共線（歐拉線）。

證明：設(shè)ΔABC的垂心、重心、外心分別為H、G、L，又設(shè)D、E分別為BC、CA邊上的中點(diǎn)，考察ΔDEL和ΔABH，易知DE//AB，DL//AH（同垂直于BC），EL//BH（同垂直于AC）。故三點(diǎn)DEAB、DLAH、ELBH均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因而共線，由德薩格對(duì)偶定理知，三線AD、BE、HL共點(diǎn)。又ADBE=G，即點(diǎn)G位于直線HL上，故H、G、L三點(diǎn)共線。證畢。

3.帕斯卡與布利安雙定理及其逆定理的應(yīng)用

帕斯卡定理和布利安雙定理是高等幾何的兩個(gè)互為對(duì)偶的著名定理，且逆定理都成立。其中帕斯卡定理發(fā)表于1640年，布利安雙定理則發(fā)表于1806年，兩者相距166年之久。帕斯卡定理和布利安雙定理及其逆定理以及各種特殊情況在初等幾何中都有著重要的應(yīng)用，下面僅以布利安雙定理的應(yīng)用舉例如下：

例2：證明：外切于拋物線的三角形的垂心在準(zhǔn)線上。

證明：設(shè)是外切三角形的邊，分別是垂直于的拋物線的切線，考慮六邊形;由布利安雙定理有：共點(diǎn)，其中前面兩條直線（三角形的高線）交于三角形的垂心S，第三條是拋物線的準(zhǔn)線，所以S在準(zhǔn)線上。證畢。

總之， 高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用非常重大，我們應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握高等幾何的觀點(diǎn)及思想方法，以利于學(xué)生居高臨下地認(rèn)識(shí)和掌握初等幾何的本質(zhì)和內(nèi)涵。

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）F.艾利斯.射影幾何的理論和習(xí)題[M].胡宗慎譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1987.

[2]周興和.高等幾何（第三版）[M].北京：科學(xué)出版社，2015.