減法，讓問(wèn)題變簡(jiǎn)單

◆馬云聰

(河北樂(lè)亭縣第一中學(xué))

減法，讓問(wèn)題變簡(jiǎn)單

◆馬云聰

(河北樂(lè)亭縣第一中學(xué))

通過(guò)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，論證在做數(shù)學(xué)題時(shí)適當(dāng)做做減法，讓圖形變得簡(jiǎn)潔些，對(duì)于定理中條件的要求就能認(rèn)識(shí)得更充分些。闡述了“減法，讓問(wèn)題變簡(jiǎn)單”的道理，供大家探討。

數(shù)學(xué) 減法 問(wèn)題 簡(jiǎn)單

在利用線(xiàn)面平行的判定定理證明平行的圖形，發(fā)現(xiàn)PC這條直線(xiàn)是聯(lián)系MN和平時(shí)，由于不能很快找到面內(nèi)的平行直線(xiàn)，讓面PAD的紐帶，由直線(xiàn)PC和MN會(huì)形成很多同學(xué)頗為苦惱。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的探索，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)比較有趣的方法，讓我在證明線(xiàn)面平行的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能夠很快地找到平行直線(xiàn)。這還要從筆者解一道課本題說(shuō)起：

如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是PC，AB的中點(diǎn)，若ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD。

在本題中，要想證明MN∥平面PAD，就需要在平面PAD內(nèi)找一條

線(xiàn)與MN平行，題目所給的圖形中，有些線(xiàn)是多余的，那么我們?nèi)サ舳嘤嗟木€(xiàn)，是不是方便我們更好地看圖呢？

我們?nèi)サ舳嘤嗟木€(xiàn)，就形成如圖2所示的圖形，發(fā)現(xiàn)PC這條直線(xiàn)是聯(lián)系MN和平面PAD的紐帶，由直線(xiàn)PC和MN會(huì)形成一個(gè)平面，這個(gè)平面與已知平面PAD有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)公理可以知道這兩個(gè)平面一定有一條交線(xiàn)，同時(shí)，點(diǎn)N，C和直線(xiàn)AD共面，所以連結(jié)直線(xiàn)NC，那么直線(xiàn)NC與AD有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為E，就形成了圖3．連結(jié)線(xiàn)段PE，這時(shí)我們會(huì)感覺(jué)到直線(xiàn) MN和PE是平行的。那么，下面我們就要想辦法證明MN∥PE，這個(gè)問(wèn)題的證明就簡(jiǎn)單了。

小剛聽(tīng)了我的分析，覺(jué)得圖形變簡(jiǎn)單了，因?yàn)橐恍┰谧C明過(guò)程中不重要的線(xiàn)和面沒(méi)有了，把問(wèn)題的矛盾集中體現(xiàn)出來(lái)了，容易去作輔助線(xiàn)或者輔助面了，很好，但又不是很確定，所以，他給我出了道題，想看看，我還能夠用這個(gè)方法來(lái)解決嗎？

如圖4，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB—AC，D為BC的中點(diǎn)。

求證：AlB∥平面ADC1。

要證AlB∥平面ADC1，先把圖形簡(jiǎn)化成圖5，顯然只要連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)M，連結(jié)DM，如圖6．這樣DM就是平面ADC1中，與AlB平行的直線(xiàn)。

當(dāng)我給出輔助線(xiàn)，并給出證明時(shí)，小光還沒(méi)有找到輔助直線(xiàn)，頓時(shí)佩服不已?！拔乙苍谟媚愕乃悸钒?，為什么我沒(méi)有找到這樣的輔助線(xiàn)??？”小光說(shuō)出了自己的困惑，并讓我看了他的簡(jiǎn)化圖7。

我看到小光的簡(jiǎn)化圖，就知道原因了。原來(lái)小光的簡(jiǎn)化圖，減去的線(xiàn)段太多了，最糟糕的是，小光把聯(lián)系A(chǔ)lB和平面ADC1的紐帶BC這條線(xiàn)也去掉了。顯然，我的方法主要是減去圖形中無(wú)用的線(xiàn)條，對(duì)于聯(lián)系要證明關(guān)系的元素之間的紐帶是必須保留的，而且是關(guān)鍵元素。

聽(tīng)了我的講解，小光似乎抓住了重點(diǎn)，便求著我給自己出道題，讓自己好好做做，看看是否真會(huì)了。小光做出來(lái)之后，很高興，感覺(jué)這個(gè)方法最大的好處在于，通過(guò)減少線(xiàn)條，使需要證明的元素之間的關(guān)系顯得更突出，從而找平行線(xiàn)時(shí)，思路就明顯了。