解答直線與圓的位置關(guān)系問題的三種方法

劉艷林

直線與圓的位置關(guān)系主要有三種：相切、相交、相離.判斷直線與圓的位置關(guān)系問題的常見命題形式有：（1）根據(jù)直線與圓的方程判斷二者的位置關(guān)系；（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍.解題的關(guān)鍵在于明確直線與圓的位置關(guān)系，建立代數(shù)或幾何關(guān)系.下面主要談一談解答直線與圓的位置關(guān)系問題的三種方法.

一、幾何法

運用幾何法求解直線與圓的位置關(guān)系問題，需先根據(jù)圓的方程確定圓心、半徑；然后根據(jù)點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，或根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，利用勾股定理求得圓心到直線的距離；再判斷圓心到直線距離 d 與半徑 r 的大小關(guān)系.一般地，①當 r >d 時，直線與圓相交；②當 r =d 時，直線與圓相切；③當 r

例1.直線 l：y =kx+1（k <0）與圓 C： x2+4x +y2-2y +3=0相切，則直線 l 與圓 D：（x -2）2+y2=3的位置關(guān)系是（）.

A.相交 B.相切

C.相離 D.不確定

解：

由于直線 l：y =kx+1（k <0）與圓 C：x2+4x +y2-2y +3=0相切，所以可以直接根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，來建立關(guān)系，求得 k 的值，即可求得直線 l 的方程.根據(jù)點到直線的距離公式，求得圓 D：（x -2）2+y2=3的圓心到直線 l 的距離，比較該距離與圓 D 的半徑之間的大小，即可判斷出直線 l 與圓 D 的位置關(guān)系.

例2.

解：

要使直線與圓恒有公共點，需使直線與圓相交或相切，那么圓心到直線的距離需小于或等于半徑，即 d ≤ r .根據(jù)點到直線的距離公式建立不等關(guān)系式，即可求得參數(shù) m 的取值范圍.

例3.已知圓 M：x + cos θ2+y - sin θ2=1，直線 l：y =kx .下面四個命題：

（1）對任意實數(shù) k 與θ ， 直線 l 和圓 M 相切；

（2）對任意實數(shù) k 與θ ， 直線 l 和圓 M 有公共點；

（3）對任意實數(shù)θ ， 必存在實數(shù) k ，使得直線 l 和圓 M 相切;

（4）對任意實數(shù) k ，必存在實數(shù)θ ， 使得直線 l 和圓 M 相切.

其中說法正確的有? .

解：

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系.經(jīng)分析可知，四個命題均和直線與圓的位置關(guān)系相關(guān).于是先確定圓心、半徑、圓心到直線的距離.為了判斷出dM - l 與半徑1之間的大小關(guān)系，將 d2 M - l 與1作差，通過三角恒等變換，根據(jù)正余弦函數(shù)的有界性比較出 d2 M - l 與1的大小，從而斷定出直線 l 和圓 M 有公共點，但不一定相切，進而判斷出（1）（2）的正確性.然后根據(jù)直線與圓相切，建立關(guān)系式 d2 M - l = 1 ，并確定當 d2 M - l = 1 時是否存在滿足題意的 k、θ ，進而判斷出（3）（4）的正確性.

二、代數(shù)法

一般地，若直線與圓有 2 個交點，則直線與圓相交；若直線與圓只有1個交點，則直線與圓相切；若直線與圓沒有交點，則直線與圓相離.將直線與圓的方程聯(lián)立，消去 x 或 y ，即可構(gòu)建出一元二次方程，根據(jù)方程的判別式可以確定直線與圓的交點的個數(shù)，即：①若 Δ > 0 ，則方程有2個解，此時直線與圓相交；②若 Δ = 0 ，則方程有1個解，此時直線與圓相切；③若 Δ < 0 ，則方程組無解，此時直線與圓相離.

例4

解：

我們將直線與圓的方程聯(lián)立，消去 x ，構(gòu)建關(guān)于 y 的一元二次方程，求出判別式Δ<0，即可判定直線 l 與圓 C 有2個公共點，就能順利判斷出直線與圓的位置關(guān)系.

三、根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷

若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，則可斷定直線與圓相交；若直線恒過的定點在圓上，則可斷定直線與圓相切或相交.該方法的適用范圍較窄，一般只適用于求解動直線與圓的問題.

例5.直線（a +1）x +（a -1）y +2a =0（a ∈ R）與圓 x2+ y2-2x +2y -7=0的位置關(guān)系是（ ）.

A.相切 B.相交

C.相離 D.隨 a 的變化而變化

解：

將直線的方程變形為關(guān)于 a 的一元一次方程，分別令 x - y =0，x +y +2=0，那么方程對任意 a 都成立，即直線（a +1）x +（a -1）y +2a =0（a ∈ R）恒過定點（-1， -1）.而（-1，-1）在圓內(nèi)，那么就可以確定直線與圓相交.

總之，若已知直線與圓的方程，或易求得圓心到直線的距離，則用幾何法解題；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達式較繁瑣，則用代數(shù)法求解.相比較而言，第一、三種方法較為簡單，運用第二種方法解題的運算量較大.一般地，盡量用幾何法，而不用代數(shù)法