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    向量個量知多少?

    2016-03-05 03:29:16潘梅耘
    新高考·高一數學 2016年1期
    關鍵詞:錯因共線乘積

    潘梅耘

    向量的大小和方向的二重性決定了向量的個性特征,有些同學極易將向量概念、向量關系、向量運算、向量性質與數量相關內容混淆起來,不經意間就會被向量的個性所傷。為此本文就和同學們一起走進向量的“靈魂深處”,深刻洞悉向量的個性,以期讓同學們準確而又深刻地把握平面向量的基本概念、基本運算和基本性質。

    一、向量概念中的“精靈”——零向量

    “模為0”就已使零向量沾染上了不少“仙味”,“方向任意”更使零向量平添了幾分“靈氣”。如(1)任意向量加上(或減去)零向量結果仍為該向量;零向量減去一個非零向量結果為該向量的相反向量;任意實數與零向量的乘積為零向量。(2)夾角是對非零向量而言的,從而高中階段向量垂直也是對非零向量而言的。(3)向量平行(共線)、實數與向量的積以及向量數量積都對零向量單獨定義,規(guī)定零向量與任意向量平行(共線),由此應注意到“同向”和“反向”這樣的術語是僅對非零向量而言,規(guī)定任意實數與零向量乘積為0;規(guī)定0與任意向量的乘積為0。規(guī)定零向量與任意向量的數量積為0。

    例1 下列各命題中正確的序號是____

    ①零向量沒有方向;②若a∥b,b∥c,則a∥c;③若a∥b,則a=λb(λ∈R);④若a=0,則對任意向量b,有a·b=0;⑤若λa=λb(λ≠0)。則a=b。

    答案

    ⑤。

    錯因分析 ①錯。規(guī)定零向量的方向是任意的。②錯。規(guī)定零向量與任何向量平行,當b=0時,a∥c不一定成立。③錯?;紫喈斢谙蛄康膯挝唬ú煌趩挝幌蛄浚?,是用來刻畫與它共線的向量的,零向量不可為基底,當a≠0,b=0時a≠λb(λ∈R)。④錯。規(guī)定零向量與任何向量的數量積為0,0與0不能混淆。

    二、向量關系中的“飛俠”——平行(共線)

    用動態(tài)的觀點認識向量平行(共線)關系,就可以體會向量“飛俠”的意境:

    (1)中學數學中的向量是指自由向量,所以相等向量可視為同一向量。

    (2)有向線段僅是非零向量某個位置的幾何表示,非零向量并不是有向線段。非零向量的平行和共線是沒有區(qū)別的。

    (3)零向量作為一個特殊個體,規(guī)定它與任何向量平行(共線),作為平行(共線)定義的補充,不提及零向量的方向。

    (4)平面向量在平移前后所對應的坐標是不變的。

    答案 ④。

    錯因分析 根據向量平移坐標是不變的,說明①的正確答案是(3,4);②錯因是將向量的模與實數絕對值性質相混淆;③兩個向量共線與兩個向量所在的兩條直線共線是兩個不同的概念。

    錯因分析 錯誤多為向量運算與實數運算相混淆所致。

    向量鮮明的個性導致向量概念與運算性質與實數不同,而有些性質又類似,給人一種似曾相識、霧里看花的感覺,因此同學們一定要注意向量易錯題的收集和錯因分析。

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