傾聽音樂與數(shù)學(xué)的神奇交響

張志勇

《梁祝》優(yōu)美動(dòng)聽的旋律，《十面埋伏》的錚錚琵琶聲，貝多芬令人激動(dòng)的交響曲，田野里昆蟲啁啾的鳴叫……當(dāng)你沉浸在這些美妙的音樂聲中時(shí)，是否曾想過它們其實(shí)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系？

“多情外化”的音樂與“嚴(yán)謹(jǐn)抽象”的數(shù)學(xué)間確實(shí)存在剪不斷、理還亂的緣分。姑且不提音高的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也不論曲式結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，只從樂曲中最基本的簡(jiǎn)譜音符“1，2，3，4，5，6，7”是人們應(yīng)用或提及最為頻繁的數(shù)字便可見一斑。事實(shí)上，樂音之所以和諧、悅耳、動(dòng)聽，是因?yàn)樗兄芷谛缘恼駝?dòng)頻率（如國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音a¹的振動(dòng)頻率是每秒鐘440次，e²是每秒鐘660次，a²是每秒鐘880次）；一組和聲（不同音高的樂音的組合）之所以能給聽眾以悅耳的體驗(yàn)，是因?yàn)榻M成這組和聲的音頻間有協(xié)和的比例關(guān)系（能表示為簡(jiǎn)單整數(shù)比）。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲說：“音樂，就它的基礎(chǔ)來說，是數(shù)學(xué)的；就它的出現(xiàn)來說，是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風(fēng)趣：“我們這個(gè)世界可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！?/p>

物理學(xué)知識(shí)告訴我們，聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的，樂音也不例外，而三角函數(shù)正是對(duì)振動(dòng)波的數(shù)學(xué)描述。這樣，音樂與數(shù)學(xué)之間的不可思議的天然聯(lián)系，恰可以三角函數(shù)知識(shí)來加以闡釋。

我們知道，樂音有響度、音調(diào)、音色之分。如果用正弦函數(shù)y=Asin（ωt+φ）來表示聲音的話，那么響度反映聲音的強(qiáng)弱，由振動(dòng)的振幅A決定，振幅越大聲音越強(qiáng)響度也就越大；音調(diào)反映聲音的高低，由振動(dòng)的頻率f=2π*/ω決定，頻率越高振動(dòng)越快音調(diào)也就越高；音色是什么