“概率”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

李先永

數(shù)學(xué)的精髓不在于知識本身，而在于數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想也是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.學(xué)習(xí)概率知識，也要重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.現(xiàn)將初中概率中常見的數(shù)學(xué)思想舉例如下.

一、 方程思想

方程思想就是對所求的概率問題通過列方程（或方程組）求解的一種思想方法.

例1 一只口袋中放著若干個紅球和白球，這兩種球除了顏色以外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經(jīng)攪勻，蒙上眼睛從口袋中取出一個球，取出紅球的概率是.

（1） 取出白球的概率是多少？

（2） 如果袋中的白球有18個，那么袋中的紅球有多少個？

【分析】（1） 因?yàn)槿〕龅那虿皇前浊蚓褪羌t球，所以P（取出白球）+P（取出紅球）=1；

（2） 設(shè)袋中有紅球x個，由P（取出紅球）=，可列出方程求解.

解：（1） P（取出白球）=1-P（取出紅球） =1-=；

（2） 設(shè)袋中有紅球x個，

根據(jù)題意，得=，

解得x=6，

所以袋中的紅球有6個.

【點(diǎn)評】利用概率公式建立方程可以求解已知概率而其他量未知的計(jì)算問題，這是解決概率問題的常用方法.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

“概率”的數(shù)形結(jié)合主要有：（1） 有列表法或畫樹狀圖法試驗(yàn)的等可能的結(jié)果數(shù)；（2） 幾何圖形中概率的問題；（3） 結(jié)合點(diǎn)所在的象限、函數(shù)圖像等求概率問題；（4） 結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表解決與概率有關(guān)的實(shí)際問題.

例2 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長為4.現(xiàn)做如下實(shí)驗(yàn)：將轉(zhuǎn)盤劃分成4個相同的小扇形，并分別標(biāo)上1，2，3，4.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)赶虻臄?shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的坐標(biāo)（第一次作為橫坐標(biāo)，第二次作為縱坐標(biāo)），指針如果指向分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1） 請你用樹狀圖或列表的方法，求P點(diǎn)落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的概率；

（2） 將正方形ABCD平移整數(shù)個單位，則是否存在某種平移，使點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率為？若存在，指出一種具體的平移過程；若不存在，請說明理由.

【分析】先根據(jù)題意列出表格，得到構(gòu)成點(diǎn)P的坐標(biāo)有16種等可能的結(jié)果，其中落在正方形面上（含內(nèi)部與邊界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共4種，所以點(diǎn)P落在正方形面上（含內(nèi)部與邊界）的概率是；若使點(diǎn)落在正方形面上的概率為，則只需有4個點(diǎn)不在正方形內(nèi)部，并且點(diǎn)P的所有情況都是在第1象限，所以可以通過向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度或者向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度，使點(diǎn)P落在正方形面上的概率為.

解：（1） 列表如下：

點(diǎn)P的坐標(biāo)所有的情況有16種，其中落在正方形面上（含內(nèi)部與邊界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4種，所以點(diǎn)P落在正方形面上（含內(nèi)部與邊界）的概率是=.

（2） 略.

【點(diǎn)評】本題主要考查了概率的計(jì)算方法和正方形與平移的有關(guān)性質(zhì).要會根據(jù)正方形的性質(zhì)得到所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列表法求符合條件的概率. 用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、 轉(zhuǎn)化思想

在概率問題中，所有可能結(jié)果的概率之和等于1，因此求某個較復(fù)雜的隨機(jī)事件或多個隨機(jī)事件的概率之和時，可以先求出所有其他事件發(fā)生的概率，再用1減去這個概率，即可解決問題.

例3 一只不透明袋子中裝有兩個紅球、3個黃球，4個綠球，這些球除顏色外都相同.小明攪勻后從中任意摸出一個球，這個球是紅球或綠球的概率是_______.

【分析】摸出的是黃球和摸出的是紅球或綠球的概率和為1，所以可以先求出摸出的是黃球的概率，再用1減去這個概率就是摸出的是紅球或綠球的概率.

解：因?yàn)镻（黃球）==，所以P（紅球或綠球）=1-=.

【點(diǎn)評】本題也可以分別求出摸出紅球和摸出綠球的概率，再相加便是摸出的是紅球或綠球的概率.

四、 分類討論思想

分類討論思想在概率中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在將所有可能的情況一一列舉出來.

例4 某人的錢包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張.從中隨機(jī)取出兩張紙幣.

（1） 求取出紙幣的總額是30元的概率；

（2） 求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率.

【分析】（1） 隨機(jī)取出兩張紙幣的情形共有3種，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種. （2） 取出紙幣的總額大于51的情況有兩種.

解：（1） 隨機(jī)取出2張紙幣，共有3種情況，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種，

∴P（取出紙幣的總額是30元的概率）=；

（2） 取出紙幣的總額大于51的情況有兩種，∴P（取出紙幣的總額可購買一件51元的商品）=.

【點(diǎn)評】當(dāng)符合要求的情形不止一種時，需要應(yīng)用分類的思想來解答.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）