一道課本復習題的解答與應用

趙正祥

蘇科版《數學》九年級下冊第119頁復習題中“復習鞏固”第1題為：

在Rt△ABC中，∠C=90°，

（1） 若∠A=45°，則BC∶AC∶AB=_______；

（2） 若∠A=30°，則BC∶AC∶AB=_______.

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，sinA=， cosA=.

（1） ∠A=45°時，tanA==1，

sinA==，

所以BC∶AC∶AB=1∶1：；

（2） ∠A=30°時，tanA==，

sinA==，

所以BC∶AC∶AB=1∶∶2.

【啟迪】根據這道課本習題，我們可以得出如下結論：如圖1，在等腰直角三角形中，兩直角邊與斜邊的比為1∶1∶；如圖2，含有30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊與相鄰的直角邊以及斜邊的比為1∶∶2.應用這兩個特殊直角三角形的三邊之間的數量關系，可以幫助我們在解決含有30°、45°和60°角的直角三角形問題時，直接揭示其三邊之間的數量關系，使問題的解答簡捷、迅速、靈活、明快.

應用一 解直角三角形中的應用

例1 如圖3，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=2+2，求AC的長.

【分析】根據條件，可以確定△ABC不是直角三角形，我們不妨過點A作AD⊥BC，垂足為D，將∠B、∠C分別放置到兩個直角三角形中，并應用邊與邊之間的數量關系建立方程進行求解.

解：過點A作AD⊥BC，垂足為D.

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，

∴AD∶BD=1∶1.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，

∴AD∶CD=1：，AD∶AC=1∶2.

設AD=x，則BD=x，CD=x，AC=2x.

∵BC=2+2，

∴x+x=2+2，解得x=2，即AD=2，

∴AC=2x=4.

【點評】在解答這類非直角三角形的問題時，常作出一邊上的高，將三角形看成兩個直角三角形，并把其中公共的直角邊作為橋梁建立等量關系，從而列出方程或方程組解決問題.

例2 如圖4，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交AC于點D，AD=6，求AB的長.

【分析】由條件可以知道圖形中隱含著兩個直角三角形，且都含有30°角，因而這兩個直角三角形的三邊都具有1∶∶2的數量關系，且BC是這兩個直角三角形的公共邊，具有橋梁作用.

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABC=30°，∠A=30°.

在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠DBC=30°，

∴CD∶BC=1：，

設CD=x，則BC=x.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴BC∶AC=1：，BC∶AB=1∶2，

∴AC=·x=3x.

∵AD=AC-CD=3x-x，AD=6，

∴3x-x=6，解得x=3.

∴BC=3，AB=6.

【點評】本題巧妙地根據含有內角為30°的直角三角形所隱含的邊之間的數量關系建立方程，從而求得相應的線段長.

應用二 解決實際問題中的應用

例3 小敏同學測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望樓頂C，測得仰角為30°，再往建筑物方向走30 m，到達點F處測得樓頂C的仰角為45°（B、F、D在同一直線上）.已知小敏的眼睛與地面距離為1.5 m，求這棟建筑物CD的高度.

【分析】延長AE交CD于點G，設CG=x m，在Rt△CGE中利用特殊角，用x表示出EG，然后在Rt△ACG中，利用特殊角，用x表示出AG，根據AE=AG-EG，即可列方程求得x的值，進而求得CD的長.

解：延長AE交CD于點G，設CG=x m.

在Rt△CGE中，∠CGE=90°，∠CEG=45°，則EG=CG=x.

在Rt△ACG中，∠CGA=90°，∠CAG=30°，則AG=x.

∵AG-EG=AE，AE=30，

∴x-x=30，解得：

x=15（+1）≈15×2.732≈40.98，

則CD=40.98+1.5=42.48≈42（m）.

答：這棟建筑物CD的高度約為42 m.

【點評】利用三角函數解決具體問題，常常需要把該銳角放到一個直角三角形中來求出相關線段的長度.

例4 如圖6所示，體育場內一看臺與地面所成夾角為30°，看臺最高點B高出地面的距離為5米，A，B兩點正前方有垂直于地面的旗桿DE，在A，B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°（仰角即視線與水平線的夾角）.

（1） 求AE的長；

（2） 已知旗桿上有一面旗在離地面1米的F點處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達旗桿頂端需要多少秒？

【分析】（1） 在Rt△ABC中，根據∠BAC=30°和最高點B高出地面的距離，可以求得AB的長，再由題意知BG∥CD，根據A，B兩點處的仰角，即可證明△ABE是等腰三角形，求出AE的長.

（2） 在Rt△ADE中，利用∠EAD=60°揭示DE與AE之間的數量關系求出DE的長，然后求出旗子到達頂端需要運動的路程，再利用“時間=路程÷速度”求出時間.

解：（1） 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

∴ AB=2BC=10.

∵BG∥CD，∴∠GBA=∠BAC=30°.

又∵∠GBE=15°，∴∠ABE=45°.

∵∠EAD=60°，∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AE=AB=10（米）.

（2） 在Rt△ADE中，∠D=90°，∠EAD=60°，∴DE∶AE=∶2，

∴DE=15.

又DF=1，∴FE=14，

∴所需時間t==28 （秒）.

答：旗子到達旗桿頂端需要28秒.

【點評】解決本題需能夠靈活應用圖形中的角度挖掘隱含的直角三角形，利用特殊角揭示的邊與邊之間的數量關系解決問題.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區(qū)）