幾何直觀(guān)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考

張延民

本文系山東省小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)課題研究性成果，課題名稱(chēng)：“幾何直觀(guān)”在教學(xué)中的實(shí)踐與研究，課題立項(xiàng)編號(hào)：2014ZD0135.

一、對(duì)幾何直觀(guān)的概述

引子：“在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，頂點(diǎn)到垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高，簡(jiǎn)稱(chēng)為高”.大多數(shù)學(xué)生對(duì)這段文字可能不解其意，但教師當(dāng)在三角形里作出了高，大家看到了圖就會(huì)說(shuō)，“原來(lái)就是這樣的線(xiàn)段”，即使學(xué)生已經(jīng)理解了三角形的高的定義，但是在頭腦中存儲(chǔ)的，不是那定義，仍然是那圖形——這就是幾何直觀(guān). 著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過(guò)對(duì)幾何直觀(guān)的描述：“幾何直觀(guān)是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知. ”《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出：幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題. 幾何直觀(guān)所指有兩點(diǎn)：一是幾何，這里主要是指圖形；二是直觀(guān)，這里的直觀(guān)不僅僅是指直接看到的東西，更重要的是依托看到的東西進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考和想象.

一般認(rèn)為直觀(guān)要體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，可見(jiàn)，直觀(guān)是一種感知，一種有洞察力的定式. 通俗地說(shuō)幾何直觀(guān)，就是看圖想事，看圖說(shuō)理，也包括想圖、畫(huà)圖、表達(dá)想法. 幾何直觀(guān)就是在“數(shù)學(xué)――幾何――圖形”這樣的一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它帶來(lái)的最大好處.

二、幾何直觀(guān)與數(shù)形結(jié)合的關(guān)系

數(shù)形結(jié)合與幾何直觀(guān)，區(qū)別到底在哪里？數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，如果用一個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋扔鱽?lái)形容數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，它就好比是架設(shè)在“數(shù)”與“形”之間的一條雙向通道，起著由此及彼、相互促進(jìn)的作用. 幾何直觀(guān)就是用“形”來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果與數(shù)形結(jié)合做個(gè)對(duì)比，那么它就只能算是一條由“形”出發(fā)的單向通道而已. 幾何直觀(guān)這個(gè)“形”，可以是眼睛見(jiàn)到的，可以是畫(huà)出的，也可以是大腦想到的，更重要的是，它是要依托“形”直接地產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系及事物其他本質(zhì)屬性的感知.

例如：在學(xué)習(xí)“同分子分?jǐn)?shù)大小比較”時(shí)，因?yàn)橹R(shí)相對(duì)比較抽象，學(xué)生較難理解. 此時(shí)，學(xué)生如果能主動(dòng)地采取畫(huà)出（或想到）幾何圖形的方式，然后通過(guò)觀(guān)察（或想象）圖形的特點(diǎn)及聯(lián)系，那么就能直觀(guān)地解決問(wèn)題，并理解“分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的反而大”的道理. 學(xué)生如果具備這種解決問(wèn)題的思維方式，掌握這樣的方法，我們就可以說(shuō)學(xué)生具備了幾何直觀(guān)的能力，并且很好的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.

三、如何發(fā)展學(xué)生幾何直觀(guān)能力

（一）讓學(xué)生主動(dòng)獲取對(duì)圖形的認(rèn)識(shí). 要善于運(yùn)用“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫(huà)一畫(huà)”等具體、實(shí)際的活動(dòng)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)親自觸摸、觀(guān)察、測(cè)量、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、觸覺(jué)、動(dòng)覺(jué)等協(xié)同起來(lái)，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動(dòng)的內(nèi)化，從而使學(xué)生掌握?qǐng)D形特征，形成空間觀(guān)念.

例如：在學(xué)“有余數(shù)的除法”時(shí)，用11根小棒來(lái)擺△，可以擺幾個(gè)？還余下幾根呢？請(qǐng)你們先在腦子里搭一搭，再動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，看看和腦子里想的是不是一樣？然后用算式表示出來(lái). 通過(guò)直觀(guān)的圖形，學(xué)生了解了余數(shù)的含義，知道了為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小的道理，并且還能正確的書(shū)寫(xiě)算式. 再如：學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、長(zhǎng)方體、圓、橢圓、圓柱體、圓錐體、球體認(rèn)識(shí)等，可以借助計(jì)算機(jī)、七巧板、木棒等輔助的實(shí)物直觀(guān)演示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、操作等活動(dòng)，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立初步的空間觀(guān)念.

（二）重視畫(huà)圖、識(shí)圖，鼓勵(lì)用圖形表達(dá)問(wèn)題. 在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖時(shí)盡量畫(huà)，讓同桌之間互相糾正，比一比誰(shuí)畫(huà)的更好、更認(rèn)真、標(biāo)準(zhǔn)，在彼此糾正后再次鞏固基本的畫(huà)圖方法，一舉兩得. 其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問(wèn)題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過(guò)程變得直觀(guān)，直觀(guān)了就容易展開(kāi)形象思維.

例如：植樹(shù)問(wèn)題中，借助線(xiàn)段圖向?qū)W生直觀(guān)展示非封閉路線(xiàn)植樹(shù)相關(guān)概念和類(lèi)型（間隔、間隔數(shù)、兩端要栽、只載一端、和兩端不栽）；再如：借助集合圈，直觀(guān)的解釋四邊形之間的關(guān)系和三角形的分類(lèi)，滲透集合思想的同時(shí)，讓學(xué)生形象、直觀(guān)的理解基本圖形之間的關(guān)系.

（三）化靜為動(dòng)的方法. 一是讓學(xué)生感受圖形的變換. 二是把靜止的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為可見(jiàn)的圖形.

例如：平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，可以把它看作一個(gè)整體，通過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）；再如：圓面積公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷圓面積公式的形成過(guò)程，利用幾何直觀(guān)幫助學(xué)生理解圓面積與圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系，課堂效益卓見(jiàn)成效.

（四）利用多媒體信息技術(shù). 多媒體技術(shù)除了給學(xué)生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界外，也多了一條解決問(wèn)題的途徑.

例如：在“認(rèn)識(shí)直線(xiàn)”教學(xué)中，通過(guò)多媒體演示，直線(xiàn)是將一條線(xiàn)段的兩端無(wú)線(xiàn)延長(zhǎng)所形成的圖形，這樣利用多媒體化虛為實(shí)、化抽象為具體、化模糊為清晰、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的特殊功能為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了直觀(guān)例證，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生多種感官的協(xié)同參與，不僅給學(xué)生滲透了極限思想，而且豐富了學(xué)生的幾何直觀(guān).

四、運(yùn)用幾何直觀(guān)應(yīng)注意的問(wèn)題

（一）要把握應(yīng)用范圍. 幾何直觀(guān)所利用的“圖形”主要是指點(diǎn)、線(xiàn)、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，幾何直觀(guān)所要描述和分析的問(wèn)題，不僅可以是生活問(wèn)題，而且可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（二）要合理運(yùn)用幾何直觀(guān). 在運(yùn)用幾何直觀(guān)時(shí)，必須考慮到怎樣由具體過(guò)渡到抽象，直觀(guān)手段在教學(xué)的哪一個(gè)環(huán)節(jié)上將是不再需要的，幾何直觀(guān)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去.

（三）要準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀(guān). 在運(yùn)用幾何直觀(guān)的實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生往往由于畫(huà)圖不準(zhǔn)確、討論不全面、理解片面等原因?qū)е鲁鲥e(cuò)，或有一定的誤差干擾，失去數(shù)學(xué)問(wèn)題原有的科學(xué)性與嚴(yán)密性. 因此教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生掌握畫(huà)圖技巧，準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀(guān)解決問(wèn)題.

總之，幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)，要讓簡(jiǎn)約的幾何直觀(guān)真正充滿(mǎn)張力，成為師生生命成長(zhǎng)的棲息地，還需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)實(shí)踐中不斷地思考和探索.