談如何學(xué)好二次函數(shù)

郭林松

（江西省安遠(yuǎn)縣鶴子初中 江西安遠(yuǎn) 342100）

談如何學(xué)好二次函數(shù)

郭林松

（江西省安遠(yuǎn)縣鶴子初中 江西安遠(yuǎn) 342100）

二次函數(shù)的知識(shí)在初中數(shù)學(xué)中是重點(diǎn)考察的內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，不管在代數(shù)中，還是解析幾何中，利用二次函數(shù)的機(jī)會(huì)特別多，同時(shí)各種數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想等，都利用了二次函數(shù)作為載體。中考最后的綜合題多以二次函數(shù)建模。

二次函數(shù) 數(shù)形結(jié)合 圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)是初中階段研究的一個(gè)具體的、重要的函數(shù)，在歷年來(lái)的中考題中都占有較大的分值。二次函數(shù)不僅和學(xué)生以前學(xué)過(guò)的一元二次方程有著密切的聯(lián)系，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想具有重要作用。二次函數(shù)涉及了五大學(xué)習(xí)目標(biāo)：①會(huì)求函數(shù)解析式；②會(huì)作函數(shù)圖像；③會(huì)說(shuō)圖像性質(zhì)；④會(huì)平移圖像；⑤會(huì)把一般式配方成頂點(diǎn)式，更涉及了許多思想方法。為了能更好的幫助同學(xué)們學(xué)好二次函數(shù)，本文從以下幾方面探討如何學(xué)好二次函數(shù)。

一、理解二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，是為后來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象做鋪墊。在整個(gè)教材中具有承上啟下的重要作用。二次函數(shù)是指形如y=ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）的式子，其中有兩個(gè)變量x、y，x是自變量，y是x的函數(shù)。我們只要先確定其中一個(gè)變量x，就可利用解析式求出另一個(gè)變量y，也就是函數(shù)值y，即得到一組解；而一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），實(shí)際上二次函數(shù)的圖像就是由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)構(gòu)成的圖形。特別地，若圖像上某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m（字母），那縱坐標(biāo)可表示成am2+bm+c。

二、熟悉不同形式的二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)可以分為如下三種形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0） ；頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k [拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）] ；交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2） [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] 。

1．通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟畫(huà)出函數(shù)圖像，觀察y=ax2、y=ax2＋k、y=a（x-h）2圖像的形狀及位置，發(fā)現(xiàn)它們之間的異同點(diǎn)，并熟悉各自圖像的基本特征.反之，根據(jù)圖像的特征也能迅速判定它是哪一種解析式.其中y=ax2函數(shù)圖像是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)向上或向下平移后可以得到y(tǒng)=ax2＋k的函數(shù)圖像，如果頂點(diǎn)向左或向右平移就可以得到y(tǒng)=a（x-h）2的函數(shù)圖像，如果是向上下和左右平移就能得到y(tǒng)=a（x-h）2＋k的函數(shù)圖像。其中圖像的平移口訣是“括號(hào)內(nèi)加減左右移，括號(hào)外加減上下移”。 y=ax2→y=a（x-h）2＋k “括號(hào)外加減上下移”是針對(duì)k而言的，“括號(hào)內(nèi)加減左右移”是針對(duì)h而言的。

總之，如果兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同.由于頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，所以位置不同，而拋物線的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移，如果拋物線是一般形式，應(yīng)先化為頂點(diǎn)式再平移.平移時(shí)要區(qū)分清楚是在括號(hào)內(nèi)加減，還是在括號(hào)外加減。

2．通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)圖、圖像平移，理解并明確解析式的特征與圖像的特征是完全相對(duì)應(yīng)的，我們?cè)诮忸}時(shí)要做到胸中有圖，看到函數(shù)就能在頭腦中構(gòu)畫(huà)出它的圖像的基本特征，這才真正意義上做到數(shù)形結(jié)合。

3．在熟悉函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、分析拋物線的特征，來(lái)理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖像來(lái)判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、△以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號(hào)等。在遇到比較復(fù)雜的代數(shù)式的符號(hào)判斷時(shí)，可采用特殊值法處理。

三、要充分利用“頂點(diǎn)”解決問(wèn)題

1．要能準(zhǔn)確靈活地求出“頂點(diǎn) ” .形如y=a（x-h）2＋k→頂點(diǎn)（h，k），對(duì)于其他形式的二次函數(shù)，我們可化為頂點(diǎn)式而求出頂點(diǎn)，或者用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式P [ -b/2a ，（4ac-b2）/4a ]求出頂點(diǎn)。

2．理解頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、函數(shù)最值三者的關(guān)系.若頂點(diǎn)為（h，k），則對(duì)稱軸為x=h，y最大（?。? k；反之，若對(duì)稱軸為x=m，y最值=n，則頂點(diǎn)為（m，n）；理解它們之間的關(guān)系，在分析、解決問(wèn)題時(shí)，可達(dá)到舉一反三的效果。不過(guò)這里求函數(shù)最值時(shí)，有時(shí)要考慮自變量的取值范圍。

3．利用頂點(diǎn)畫(huà)草圖.在大多數(shù)情況下，我們可以根據(jù)拋物線頂點(diǎn)，結(jié)合開(kāi)口方向，畫(huà)出拋物線的大致圖像（即草圖），能幫助我們分析、解決問(wèn)題就行了。

四、掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法

一般地，點(diǎn)的坐標(biāo)由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)組成，我們?cè)谇髵佄锞€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，可優(yōu)先確定其中一個(gè)坐標(biāo)，再利用解析式求出另一個(gè)坐標(biāo) （與x軸相交時(shí)y=0，與y軸相交時(shí)x=0）。其中拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）。而與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分三種情況。令y=0，則函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，再根?jù)跟的判別式判斷交點(diǎn)情況：Δ= b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

從以上求交點(diǎn)的過(guò)程可以看出，求交點(diǎn)的實(shí)質(zhì)就是解方程.聯(lián)系方程的根的判別式，利用根的判別式的值來(lái)判定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 。

五、靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時(shí)最常規(guī)有效的方法，求解析式時(shí)往往可選擇多種方法，如已知三個(gè)一般條件，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為一般式；如已知頂點(diǎn)的任何一個(gè)坐標(biāo)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為頂點(diǎn)式；如已知兩交點(diǎn)坐標(biāo)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為交點(diǎn)式；如頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸或原點(diǎn)時(shí)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為特殊式等。如能綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，而且對(duì)進(jìn)一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關(guān)系大有裨益。

六、數(shù)形結(jié)合

要學(xué)好二次函數(shù)這一章，除了熟記定義和概念外，也要能畫(huà)出函數(shù)圖像，通過(guò)圖像掌握函數(shù)性質(zhì)是一中非常好的方法，也就是數(shù)形結(jié)合。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的圖形，這樣會(huì)便于學(xué)生通過(guò)圖形去觀察和分析，讓學(xué)生可以一目了然地解答問(wèn)題。例如在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)看到由已知點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式的問(wèn)題。這時(shí)，學(xué)生就需要結(jié)合代數(shù)、幾何、銳角三角函數(shù)及生活實(shí)際等找到足夠條件，依據(jù)不同的條件設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，這是求二次函數(shù)解析式的關(guān)鍵所在。學(xué)生要根據(jù)其性質(zhì)、平移規(guī)律等進(jìn)行思維，數(shù)形結(jié)合，更加形象地去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，并根據(jù)自變量的取值范圍畫(huà)出圖象，確定解析式。

在教學(xué)中教師還可以利用多媒體的幫助，形象生動(dòng)地給學(xué)生展示出解題的思路和過(guò)程。在學(xué)習(xí)圖象的平移規(guī)律和圖象與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師可以一邊給學(xué)生演示，一邊設(shè)置相應(yīng)的問(wèn)題讓學(xué)生思考，層層深入引導(dǎo)學(xué)生去理解和歸納二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律及一些特殊點(diǎn)的變化，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

綜上所述，二次函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)是有多種方法的，關(guān)鍵是教師要把抽象的知識(shí)和圖象或生活實(shí)際結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生能夠把抽象的知識(shí)具體化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力和綜合能力的提高。