“三角形的面積” 教學(xué)紀(jì)實(shí)與評析

柴妍　曲欣

教學(xué)內(nèi)容：人教版五年級上冊第六單元 “三角形的面積”。

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，掌握三角形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的實(shí)際問題。

2.經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察、分析、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索三角形的面積公式的推導(dǎo)方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

3.在自主探究與合作交流中體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決實(shí)際問題的樂趣，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點(diǎn)：探索并掌握三角形面積的計(jì)算公式，并能正確運(yùn)用公式解決問題。

教學(xué)難點(diǎn)：理解和完整表述三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)準(zhǔn)備：課件、學(xué)具袋。

教學(xué)過程：

師：同學(xué)們，課前我們先來玩一個(gè)猜謎游戲，好嗎？

師：草原上來了一群羊，猜一個(gè)水果名稱。

生：草莓。

師：你是怎么想的呢？

生：羊把草都吃沒了，所以是“草莓”。

師：這時(shí)候又來了一群狼，還猜一個(gè)水果名稱。

生：楊梅。

師：說說你又是怎么想的。

生：因?yàn)槔莵砹?，把羊吃沒了，所以是“楊梅”。

師：說得真好。我發(fā)現(xiàn)猜第二個(gè)謎語時(shí)，舉手的同學(xué)明顯增多了，這是為什么呢？

生：因?yàn)樵诘谝粋€(gè)謎語的基礎(chǔ)上，通過對比，我們就發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

師：說到問題的關(guān)鍵了，猜第一個(gè)謎語的經(jīng)驗(yàn)幫助我們很快地猜出了第二個(gè)謎語。同學(xué)們，在學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們也常常會利用以往的一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探究新的知識，有這種體會嗎？相信學(xué)了這節(jié)課，你們會有更深刻的體會。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入探索

師：老師看到你們胸前都佩戴著鮮艷的紅領(lǐng)巾，真精神。你們想過做這樣的一條紅領(lǐng)巾需要多少面料嗎？要想知道需要多少面料，實(shí)際上是求什么？

生：求三角形的面積。（師隨即板書課題。）

師：在研究三角形面積之前，請大家先來回顧一下平行四邊形的面積是什么。我們是如何推導(dǎo)出來的呢？

生：我們是用轉(zhuǎn)化的方式進(jìn)行推導(dǎo)的，利用剪一剪把它變成了長方形，求出長方形的面積就是平行四邊形的面積。

師：這位同學(xué)說得非常好，是通過轉(zhuǎn)化的方式進(jìn)行推導(dǎo)的。我們也利用這樣的方法嘗試推導(dǎo)一下三角形的面積，好不好？

生：好。

師：我們已經(jīng)學(xué)過了3種圖形的面積公式。（出示長方形、正方形、平行四邊形的面積公式。）你們能不能大膽猜一猜三角形的面積可能跟什么有關(guān)呢？

生1：可能和長方形的面積有關(guān)。

生2：可能和平行四邊形的面積有關(guān)。

生3：可能和它的底和高有關(guān)。

師：究竟是不是這樣呢？我們一起來探究一下。

師：老師在課前給大家準(zhǔn)備了一些三角形的學(xué)具，拿出來看看。你們發(fā)現(xiàn)都有什么？

生：有兩個(gè)銳角三角形、兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)鈍角三角形和1把剪刀。

師：好，接下來就請同學(xué)們以小組為單位，借助你手中的學(xué)具一起來探究三角形的面積公式。

二、猜想驗(yàn)證，探究新知

師：哪個(gè)小組到前面來展示一下成果？

師：請同學(xué)這樣來匯報(bào)：我們小組用的是什么樣的三角形，是怎么做的。

小組匯報(bào)（一）：

生：我們小組用兩個(gè)銳角三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。

師：老師打斷你一下，你用的是兩個(gè)什么樣的銳角三角形呀？

生：相同的。

師：都什么相同？

生：形狀、大小都相同。

師：怎么證明給大家看呢？（生將兩個(gè)三角形疊放在一起。）

師：通過他的操作，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這兩個(gè)三角形完全相同。

師：請你把它們貼在黑板上，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高也是三角形的高。

師：請把它的高畫出來。（生在學(xué)具上面畫高。）

師：現(xiàn)在利用你的手勢語言，再給大家講一講。

生：（邊指邊說。）平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高。

師：面積之間有什么關(guān)系呢？

生：兩個(gè)完全相同的三角形的面積就是平行四邊形的面積，1個(gè)三角形的面積就是平行四邊形的面積除以2，所以三角形的面積就是“底×高÷2”。

師：講得真清楚。我們一起來讀一讀。

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：同學(xué)們，我們?yōu)槭裁匆?呀？誰能再來說一說。

生1：因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的面積才是平行四邊形的面積，所以求1個(gè)三角形的面積要除以2。

生2：不除以2求的是平行四邊形的面積。

師：同學(xué)們理解得很到位。剛剛這一組同學(xué)用的是兩個(gè)完全相同的銳角三角形拼成了平行四邊形，得到了三角形的面積公式。其他小組還有不同的方法嗎？說一說你們小組是怎么推導(dǎo)的。

小組匯報(bào)（二）：

生：我們小組利用的是兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成了一個(gè)長方形。長方形的長就是三角形的底，長方形的寬就是三角形的高。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，兩個(gè)完全相同的直角三角形的面積是長方形的面積，所以三角形的面積=長×寬÷2，也就是底×高÷2。

師：思路真清晰，掌聲送給他。其他小組呢？還有不同方式嗎？

小組匯報(bào)（三）：

生：我們小組利用的是兩個(gè)完全相同的鈍角三角形拼成一個(gè)平行四邊形。我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高。從平行四邊形的面積=底×高，我們可以推導(dǎo)出三角形的面積=底×高÷2。因?yàn)槠叫兴倪呅问怯?個(gè)完全相同的鈍角三角形拼成的。

師：你的數(shù)學(xué)語言可真嚴(yán)密，大家聽明白了嗎？同學(xué)們，我們一起來回顧一下這3組同學(xué)的推導(dǎo)過程。他們都是把兩個(gè)完全相同的三角形通過拼擺的方式轉(zhuǎn)化成了我們已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形和長方形，從而推導(dǎo)出公式來的。為什么要拼成平行四邊形或長方形？

生：因?yàn)槠叫兴倪呅?、長方形的面積公式我們學(xué)過了，可以借助它們的面積來推導(dǎo)三角形的面積。

師：借助舊知來學(xué)習(xí)新知，是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。你們還有其他的推導(dǎo)方法嗎？（生展示“折疊”法。）

師：同學(xué)們，除了拼擺、折疊，還有其他的方法，想知道嗎？（出示微課： 割補(bǔ)法推導(dǎo)三角形的面積）

師：通過觀看微課，這里又介紹了一種推導(dǎo)方法，是什么呀？

生：割補(bǔ)法。

師：你們真了不起！那你們知道嗎，今天我們一起動(dòng)手推導(dǎo)出來的三角形面積計(jì)算公式，其實(shí)在很早以前，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，請看大屏幕。（課件出示。）我國古代數(shù)學(xué)家固然偉大，可是我們五年五班的同學(xué)同樣也很了不起，我們不也找到三角形面積的計(jì)算方法了嗎？來，把最熱烈的掌聲送給自己。

師：為了書寫更方便一些，三角形的公式我們可以用什么表示？誰來說一說？

生：字母。面積用S表示，底用a表示，高用h表示，所以 S=ah÷2。

師：好，現(xiàn)在我們得到了三角形面積的計(jì)算公式，課前這個(gè)問題能解決了嗎？

生：能。

師：你們需要老師給出什么條件呀？

生：底和高。

師：所以要想求三角形的面積，必須得知道——（生：底和高。）經(jīng)過測量，我們知道了紅領(lǐng)巾底和高的數(shù)據(jù)。誰來說說，這條紅領(lǐng)巾底是多少，高是多少？請你試著做一做吧。（師指名學(xué)生上黑板做題。）

師：這里我們要注意，在計(jì)算一類圖形面積的時(shí)候，我們通常要把字母公式寫在前面，然后把數(shù)據(jù)代入到公式中。一定不要忘了我們算的是面積，單位要用面積單位。

三、靈活運(yùn)用，解決問題

師：接下來請同學(xué)們用這種規(guī)范的書寫格式來算一算下面幾個(gè)三角形的面積吧?？茨男┩瑢W(xué)算得又對又快。

1.求下面圖形的面積。

（生進(jìn)行匯報(bào)。師引導(dǎo)學(xué)生注意求三角形的面積必須除以2。）

2.選擇正確條件，口算求出三角形的面積。（單位：米。）

（師引導(dǎo)學(xué)生注意求三角形的面積時(shí)，底和高要一一對應(yīng)。）

3.學(xué)校要在一塊三角形空地上種草坪，它的底是16m，高是8m。1m2草坪的價(jià)格是10元。種這片草坪需要多少錢？

4.下圖中哪個(gè)三角形的面積與涂顏色的三角形的面積相等？為什么？你能在圖中再畫出一個(gè)與涂顏色的三角形的面積相等的三角形嗎？試試看。

（師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“同底等高的三角形面積相等”。）

四、總結(jié)全課，暢談收獲

師：這節(jié)課，我們通過拼擺、割補(bǔ)、折疊等方法，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想推導(dǎo)出了三角形面積的計(jì)算公式。這種轉(zhuǎn)化思想能幫助我們找到探究問題的方向，接下來我們還要學(xué)習(xí)梯形的面積以及組合圖形的面積，相信同學(xué)們今后能運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想探究和解決更多的數(shù)學(xué)問題。

評析：

“三角形的面積”是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程后學(xué)習(xí)的。在本節(jié)課中，柴老師注重通過自主探索、合作交流、比較反思等活動(dòng)，幫助學(xué)生理解三角形的面積公式的推導(dǎo)過程。本課在發(fā)展學(xué)生空間觀念的同時(shí)，注重滲透解決問題的思考策略和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。

一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，兩者相互依存。心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生熟悉的生活實(shí)際越貼近，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性就越高，學(xué)生才能學(xué)得興趣盎然。柴老師根據(jù)這一特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)了“制作一條紅領(lǐng)巾需要多少面料”這樣現(xiàn)實(shí)的問題情境，激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)生積極投入到三角形面積的學(xué)習(xí)探索活動(dòng)中。

二、借助已有經(jīng)驗(yàn)，探究面積公式

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，不斷積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的核心是思考的經(jīng)驗(yàn)，是思維的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)，積累了利用割補(bǔ)的方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算公式的思考經(jīng)驗(yàn)。在本節(jié)課教學(xué)中，教師大膽放手，為學(xué)生提供了自主探索、合作交流的時(shí)間和空間，學(xué)生借助已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，探究推導(dǎo)三角形面積的計(jì)算公式。學(xué)生選擇將兩個(gè)完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形自由地拼成平行四邊形，將三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的平行四邊形或長方形。在動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了三角形的底、高、面積和平行四邊形的底、高、面積之間的關(guān)系，逐步推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。學(xué)生在探究的過程中，體會到了思維的靈活和方法的多樣，使數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到了進(jìn)一步提升。

三、點(diǎn)撥在關(guān)鍵處，加深認(rèn)識理解

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥要在關(guān)鍵處，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有效，對新知識的理解更加深入。柴老師在學(xué)生利用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形或長方形推導(dǎo)出三角形面積公式后，適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生：“為什么要拼成平行四邊形或長方形？” “三角形的面積=底×高÷2，為什么要除以2？”這兩個(gè)問題是推導(dǎo)三角形面積公式思考的關(guān)鍵。教師通過這樣的點(diǎn)撥很好發(fā)揮了引導(dǎo)作用。學(xué)生通過回答，也加深了對三角形面積公式及推導(dǎo)過程的深入理解。

四、感受數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。柴老師在教學(xué)中，緊緊抓住將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，再推導(dǎo)面積公式這個(gè)基本的思考方法，使學(xué)生感受到“轉(zhuǎn)化”和“推理”等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的作用，體會到數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值。數(shù)學(xué)的文化是對學(xué)生進(jìn)行思想教育的最好素材，當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達(dá)課堂、融入教學(xué)時(shí)，學(xué)生會進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。