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    對(duì)《植樹問題》基本數(shù)學(xué)模型的研究

    2016-03-02 22:48:17應(yīng)方園
    新課程 2016年11期
    關(guān)鍵詞:植樹問題彩帶平均分

    應(yīng)方園

    (浙江省金華市東苑小學(xué))

    對(duì)《植樹問題》基本數(shù)學(xué)模型的研究

    應(yīng)方園

    (浙江省金華市東苑小學(xué))

    在實(shí)踐中,眾多教師對(duì)“植樹問題”感到難教,多數(shù)學(xué)生感覺難學(xué)。主要問題有:學(xué)生對(duì)三種情況的理解不深刻,尤其是對(duì)什么相當(dāng)于“點(diǎn)”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。學(xué)生不能根據(jù)植樹中的間隔情況對(duì)應(yīng)解決生活中其他的間隔問題。

    植樹問題;間隔排列;自主探究

    一、我們的實(shí)踐

    第一課時(shí):用直觀圖理解“間隔排列”,學(xué)會(huì)用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)分析兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系。

    1.通過(guò)重復(fù)畫三角形和圓形,讓學(xué)生理解像一個(gè)三角形隔著一個(gè)圓形的排列就叫做間隔排列。

    2.用情境圖進(jìn)一步鞏固“間隔排列和一一對(duì)應(yīng)分析方法”,感悟出:首尾相同,兩種物體數(shù)量相差1;首尾不同,兩種物體數(shù)量相等。

    第二課時(shí):研究具體的植樹問題,得出棵數(shù)與間隔數(shù)是“間隔排列”的,并能用“一一對(duì)應(yīng)”的方法分析它們之間的數(shù)量關(guān)系。

    提供一道“數(shù)字較小”的開放題:例1:學(xué)校計(jì)劃在一條長(zhǎng)20米小路的一邊種樹,如果每隔5米種一棵樹,需幾棵樹呢?通過(guò)讓學(xué)生畫圖,提供直觀的研究素材,并提示思考方向,重點(diǎn)溝通“三種類型”的聯(lián)系。

    二、怎一個(gè)難字了得

    《植樹問題》是一個(gè)經(jīng)典的問題。在實(shí)踐中,眾多教師感到“植樹問題”難教,多數(shù)學(xué)生感覺難學(xué)。這是什么原因呢?

    老師難教在哪里?

    1.“學(xué)生一做作業(yè)就悶了!”

    2.“植樹問題到底要教什么?”

    學(xué)生難學(xué)在哪里?

    1.學(xué)生對(duì)三種情況的理解不深刻,對(duì)于其他間隔問題不能進(jìn)行數(shù)學(xué)化的抽象,尤其是對(duì)什么相當(dāng)于“點(diǎn)”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。

    2.學(xué)生不能根據(jù)植樹中的間隔情況對(duì)應(yīng)解決生活中其他的間隔問題。對(duì)于什么時(shí)候加1?什么時(shí)候減1?什么時(shí)候既不加又不減混淆不清。

    3.學(xué)生只會(huì)機(jī)械使用三種方法進(jìn)行計(jì)算,多數(shù)學(xué)生并不會(huì)數(shù)學(xué)分析,而是靠死板記憶,機(jī)械模仿。

    三、我們上下而求索

    1.版本A:用一一對(duì)應(yīng)思想解決植樹問題

    環(huán)節(jié)一:自主探究

    提供一道“數(shù)字較小”的開放題:元旦快到了,大家一起裝扮教室,在一條長(zhǎng)20分米的黑板邊上,掛著燈籠和彩帶,每5分米長(zhǎng)的彩帶掛1個(gè)燈籠??梢話鞄讉€(gè)燈籠?

    (1)讓學(xué)生畫圖,再列式計(jì)算,反饋:你是怎么掛的?明確什么和什么東西是一一間隔排列?是怎么排列的?再說(shuō)說(shuō)每個(gè)算式表示的含義。

    (2)引導(dǎo)溝通三種掛法之間的聯(lián)系。①這幾種類型又有什么相同的地方?發(fā)現(xiàn)段數(shù)相同,可用“總長(zhǎng)÷每段彩帶長(zhǎng)度=彩帶段數(shù)”計(jì)算出段數(shù)。②這幾種方法有什么不同的地方呢?讓學(xué)生明白:掛的方法不同,兩端都掛,首尾都是燈籠、燈籠比彩帶多1。兩端都不掛,首尾都是彩帶,彩帶比燈籠多1。首尾不同,數(shù)量相等。

    環(huán)節(jié)二:溝通本質(zhì)

    思考:生活中還有哪些是一一間隔現(xiàn)象,什么可以看作樹,什么看作段?

    環(huán)節(jié)三:應(yīng)用拓展

    圍繞一組關(guān)于體驗(yàn)高鐵時(shí)代的實(shí)際問題,讓學(xué)生思考三個(gè)問題:這些問題都有什么聯(lián)系?意在讓學(xué)生明白不管是車廂長(zhǎng)度問題還是電線桿、時(shí)間問題都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)-間隔排列。

    2.版本B:用除法運(yùn)算解決植樹問題

    環(huán)節(jié)一:除法運(yùn)算引入

    出示題1:“20米,每5米分一段,共分幾段?”

    孩子一下就列出了算式:20÷5=4(段)。

    師:“為什么用除法來(lái)做?”

    幫助他們復(fù)習(xí)用除法算式的最根本意義是平均分。

    環(huán)節(jié)二:制造認(rèn)知沖突

    出示題2:“20米路,每5米栽一棵樹,共栽幾棵樹?”

    大部分孩子的方法是20÷5=4(棵),只有一小部分孩子有不同的想法,認(rèn)為還要再加1,是5棵,因?yàn)樵?米時(shí)要種一棵。

    環(huán)節(jié)三:聚焦問題本質(zhì)

    追問:“這兩題一樣嗎?不一樣在哪里?”

    學(xué)生通過(guò)對(duì)問題的思考,區(qū)分出平均分是一段一段分,而種樹是種在段與段之間兩端的點(diǎn)上。

    追問:“點(diǎn)與段的差別在哪里?”“點(diǎn)多,還是段多?”“怎么多法?”

    為了幫助學(xué)生理解這兩道題不同之處的實(shí)質(zhì)就必須抓住點(diǎn)與段的區(qū)別,學(xué)生只要弄清楚這兩個(gè)概念,那么就清楚了植樹問題是一個(gè)怎樣的問題。學(xué)生在老師的啟發(fā)下,學(xué)生漸漸明白:棵(點(diǎn))=1+平均分,植樹是植在點(diǎn)上的。

    環(huán)節(jié)四:促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化

    問題1:如果把20米改成50米呢,改成100米,200米呢?你還能解決嗎?“不管換成多遠(yuǎn),方法都是一樣的?!?/p>

    問題2:“除了植樹人把數(shù)種在點(diǎn)上,還有什么人把什么也放在平均分的點(diǎn)上?”

    環(huán)節(jié)五:積極變式遷移

    情境一:一頭不種。當(dāng)路的一端有一幢房子擋住了,五棵樹怎么種呢?教師與學(xué)生互動(dòng),怎么去解決碰到的問題,有學(xué)生說(shuō)種在旁邊,拆房子,不種。最后的結(jié)論是,帶回一棵樹,即一頭不種-1。

    情境二:兩頭不種。當(dāng)路的兩端都有房子時(shí),則帶回兩棵樹,即兩頭不種-2。

    教師追問:“除了種樹以外,什么情況下可以一頭不種,什么情況下可以兩頭不種?”通過(guò)再一次的舉例,引導(dǎo)學(xué)生知道學(xué)與用的區(qū)別,體會(huì)生活中像植樹問題用在點(diǎn)上的例子很多,內(nèi)化什么是樹,樹是種在點(diǎn)上。

    [1]吳正憲.聽吳正憲老師上課[M].華東師范大學(xué)出版社,2008.

    [2]伊麗莎白·布魯瑞克斯.好老師因材施教的12個(gè)方法[M].中國(guó)青年出版社,2010.

    ·編輯 孫玲娟

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