Galois 環(huán)上漸近最優(yōu)碼本的構造

徐登明，孟 晨

（中國民航大學a.中歐航空工程師學院；b.理學院，天津 300300）

式中cH表示復向量c 的共軛轉置。在實際應用中，Imax（）是碼本的性能度量，希望碼本具有盡可能小的內積互相關值，即對于給定的K，希望構造出N 盡可能大且Imax（）盡可能小的碼本。

1974 年，Welch[1]給出Imax（）的一個下界。

引理1（Welch 界） 對任意一個參數為（N，K）且N≥K 的碼本都有

此外，等號成立當且僅當對任意的（i，j）且i≠j 都有

把上述碼本的Welch 界記為IW，達到Welch 界的碼本稱為最優(yōu)碼本，也稱為MWBE（maximum-Welch-boundequality）[2]碼本。這類碼本在CDMA（code division multiple access）通信系統(tǒng)[3]、編碼理論[4]等領域都有廣泛應用。

然而，最優(yōu)碼本的構造較為困難。多年來，最優(yōu)碼本的構造方法非常有限。在實際應用中，漸近最優(yōu)碼本可以作為最優(yōu)碼本較好的替代品。因此，許多學者致力于構造漸近最優(yōu)碼本，即碼本的稍微大于Welch 界，而當N 足夠大時幾乎達到Welch 界，也即碼本的參數滿足

目前構造漸近最優(yōu)碼本的方法有：幾乎差集[5-7]、相關差集[8]、二元行選擇序列[9-10]、有限域上的指數和[11-13]。最近，在文獻[14-15]中，分別利用特征為p2的Galois環(huán)R=GR（p2，p2r）和局部環(huán)上的指數和給出新的漸近最優(yōu)碼本。由于這些文獻所選環(huán)的特殊性，導致碼本的參數不夠靈活，因此，希望在更一般的環(huán)上構造出新的漸近最優(yōu)碼本，使其參數更為靈活，這對碼本的實際應用是有意義的。

1 預備知識

本小節(jié)介紹特征為pn的Galois 環(huán)的基本知識，介紹該環(huán)上高斯和與Jacobi 和的成果，為之后主要結論的證明做準備。關于Galois 環(huán)的更多知識參考文獻[16]。

令T={0，1，ξ，ξ2，…，ξq-2}且T*=T -{0}，則任意的元素r∈GR（pn，pns）可以唯一寫成r=a0+pa1+p2a2+…+pn-1an-1，a0，a1，…，an-1∈T。此外，r 是可逆元當且僅當a0≠0。設R*表示R 的可逆元集合，M=pR 表示R 的唯一最大理想，則R*=T*×（1+M）。易知|R|=qn，|R*|=qn-qn-1，|M|=qn-1且對每個0≤k≤n有|pkR|=qn-k。

設1≤k≤n，令Rk={a0+pa1+…+pk-1ak-1|a0，a1，…，ak-1∈T}，則每個r∈R*可以唯一寫成r=a+pkb，其中a∈R*k，b∈Rn-k。

由以下引理可確定平凡情況下Jacobi 和的值，證明方法同文獻[12]中的引理4。

引理2設m≥2 且a∈R。方程x1+x2+…+xm=a的解（c1，c2，…，cm）∈（R*）m的數量為

根據文獻[18]中的引理3 可得下列結論。

2 漸近最優(yōu)碼本的構造

在本節(jié)，給出4 類漸近最優(yōu)碼本的構造。

2.1 第1 類構造

設χ 和λa分別是R 的乘法特征和加法特征。令K=|R*|。定義

2.2 第2 類構造

設χ 和λa分別是R 的乘法特征和加法特征。定義

2.3 第3 類構造

設m≥2，a∈R*。令S（n，m）*={x1+x2+…+xm=a|x1，x2，…，xm∈R*}，K=|S（n，m）*|。取定Rn-1，s的一個乘法特征ψ0。

2.4 第4 類構造

余下的證明同定理3。

3 結語

基于Galois 環(huán)上高斯和與Jacobi 和的結論，給出4 類新的碼本構造，并證得這些碼本關于Welch 界漸近最優(yōu)。與已有結果進行比較可知，碼本參數是新的且靈活的，而且這些碼本可以涵蓋部分有限域上的相關結論。