室內(nèi)四索牽引定位與索長求解

何永勃，趙寶璽

（中國民航大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，天津 300300）

目前，四索牽引技術(shù)廣泛應(yīng)用于CableRobot 模擬器[1-2]、病人肢體康復(fù)訓(xùn)練[3]、柔索并聯(lián)驅(qū)動機器人[4]、大型匯演、體育館攝影等領(lǐng)域，其特點為可操作空間大、結(jié)構(gòu)簡單、成本低，具有靈活性，增加或減少懸索根數(shù)系統(tǒng)仍能正常工作。在航空領(lǐng)域，該技術(shù)可以應(yīng)用到飛機維修中，實現(xiàn)拍攝系統(tǒng)精準(zhǔn)定位，減小人工誤差，提高工作效率，還可以應(yīng)用到飛行器維修考試中，實現(xiàn)監(jiān)控工作空間最大化，準(zhǔn)確地拍攝到考生操作情況。

四索牽引裝置是通過固定位置的驅(qū)動裝置，按照控制要求驅(qū)動和釋放懸索，實現(xiàn)在可達(dá)范圍內(nèi)物體快速移動和精準(zhǔn)定位。針對不同的領(lǐng)域、工作環(huán)境、工作方式和實現(xiàn)目的，決定索牽引系統(tǒng)懸索的根數(shù)。文獻[5]提出了一種求解大跨度懸索并聯(lián)機器人索原長的快速有效的算法。文獻[6]通過對系統(tǒng)靜力學(xué)平衡分析，研究了索牽引并聯(lián)機器人的位置正解問題。文獻[7]探討靜力學(xué)中優(yōu)化500 m 口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST，five hundred meter aperture spherical radio telescope）并聯(lián)機器人的懸索張力。文獻[8]建立了一種6 索6 自由度懸索并聯(lián)機器人動力學(xué)模型，對懸索長度進行動力學(xué)分析。以上研究的對象都是室外大跨度懸索并聯(lián)機器人，對單向受力的索桿單元進行力學(xué)分析，忽略了彈性變形、自身振動等力學(xué)特性。

對于室內(nèi)飛機維修四索牽引機構(gòu)，如圖1 所示，執(zhí)行機構(gòu)定位時認(rèn)為系統(tǒng)處于靜力平衡狀態(tài)，不考慮系統(tǒng)高速運行時動力特性和跟蹤軌跡。因此，在懸索可達(dá)范圍最大化情況下實現(xiàn)執(zhí)行機構(gòu)高精度定位是室內(nèi)飛機維修四索牽引系統(tǒng)的核心工作。從已有的文獻來看，在求解懸索索長時已經(jīng)考慮了懸索垂度的影響，但忽略了懸索的彈性變形，而在室內(nèi)四索牽引系統(tǒng)索長求解中忽略彈性形變會影響定位精度，產(chǎn)生較大誤差[9]。

圖1 內(nèi)場飛機維修環(huán)境Fig.1 Infield aircraft maintenance environment

通過對靜力平衡位置逆解分析，在已知末端執(zhí)行器空間坐標(biāo)的情況下，求解各個懸索索長?；趹益溇€原理，在空間O-XYZ 坐標(biāo)系中，推導(dǎo)出懸索懸鏈線方程、水平分力與索長之間的關(guān)系式，并建立四索懸鏈線模型[10-11]。利用序列二次規(guī)劃（SQP，sequential quadratic programming）算法[9]，約束懸索豎直分力，優(yōu)化四索索力，迭代求解非線性方程組而得到最優(yōu)化懸索索長[12-13]。最后，通過數(shù)值算例驗證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性，同時四索索力分布均勻，避免了索力超限和虛牽現(xiàn)象。

1 靜力平衡位置逆解

1.1 單根懸索懸鏈線靜力學(xué)模型

室內(nèi)四索牽引的整體構(gòu)成如圖2 所示，4 根懸索一端與末端執(zhí)行器相連，另一端通過A、B、C、D 4 個頂點定滑輪與地面電機驅(qū)動機構(gòu)連接。攝像機平臺定位工作時只有平動，沒有轉(zhuǎn)動自由度，因此可以將攝像機平臺簡化為一個質(zhì)點P 進行分析。

圖2 四索牽引系統(tǒng)整體模型示意圖Fig.2 Diagram of overall model of four-cable traction system

由于懸索受自重影響，在整個運行過程中處于懸鏈線狀態(tài)。取單根懸索為研究對象，懸索末端執(zhí)行器靜態(tài)與動態(tài)時的作用力大小相近，所以在單根懸索靜力平衡狀態(tài)下進行受力分析。

建立空間直角坐標(biāo)系O-XYZ，如圖3（a）所示，其中設(shè)定A 為坐標(biāo)原點O（0，0，0），末端執(zhí)行器坐標(biāo)為P（l，h，k）。過線段AP 作平面XOY 的垂面并將AP 投影其上，形成一個新的坐標(biāo)系ZOU。取其中一段進行受力分析，如圖3（b）所示，此時懸鏈線方程可表示為z（u），其中α 為懸索拉力T 與水平方向分力H 的夾角。

圖3 單根懸索靜力平衡分析示意圖Fig.3 Schematic diagram of static balance analysis of a single cable

懸索索長S 表示為

系統(tǒng)定位時，懸索不僅受復(fù)力的影響，還會產(chǎn)生變形，忽略懸索的彈性形變會導(dǎo)致執(zhí)行機構(gòu)定位時產(chǎn)生較大誤差，使系統(tǒng)定位不精準(zhǔn)。而懸索在拉力T 作用下引起彈性伸長量為

式中：E 為懸索的彈性模量；As為懸索橫截面面積。

曲線AP 上任意一段受力平衡方程為

式中：q 為懸索每米重量；tanαA為常量；tanα=z＇（u）。

將式（3）左右兩邊對u 進行求導(dǎo)，可得

對式（4）進行積分可得

對式（5）再次進行積分，可得

式中Ca、Cb為常量。

由于式（6）滿足邊界條件，過O、P 兩點可得

所以在坐標(biāo)系中單根懸索的懸鏈線方程即為

綜上，懸索懸鏈線的長度表示為

1.2 四索靜力平衡方程

采用懸索靜態(tài)拉力代替懸索動態(tài)作用力，當(dāng)末端執(zhí)行器運動到指定位置時，系統(tǒng)理論上處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時四根懸索在末端執(zhí)行器交點處X 軸、Y 軸、Z 軸方向的分力之和應(yīng)該為0，則其在3 個方向上的空間靜力平衡方程表示為

式中：Hi是第i 根懸索張力的水平分力；θi是第i 根懸索在XOY 平面內(nèi)的投影與X 軸正方向的夾角；βi是第i 根懸索在懸掛點處懸索切線與Z 軸的夾角；G 是懸掛重物所受重力。

2 求解懸索索長的最優(yōu)化設(shè)計

為實現(xiàn)室內(nèi)飛機維修四索牽引系統(tǒng)的精準(zhǔn)定位，需求解高精度四索索長。根據(jù)式（10）可知，懸索索長與未知量水平分力H 相關(guān)。執(zhí)行器在可達(dá)范圍內(nèi)運動到任意一點時，系統(tǒng)處于靜力平衡狀態(tài)，即空間靜力平衡方程（11）。此時方程（11）中未知量的個數(shù)多于等式的個數(shù)，因此非線性方程組中H1、H2、H3、H4有無窮多組解，即四根懸索索長有無窮多組組合[14-15]。

利用約束優(yōu)化求解非線性方程組最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下

索力優(yōu)化值太高，接近上限Tmax時，能耗過大造成能量浪費；索力優(yōu)化值太低，接近下限Tmin時，系統(tǒng)剛度不足，容易發(fā)生虛牽現(xiàn)象。為防止索力優(yōu)化值在上下邊界之間來回跳躍，出現(xiàn)索力不連續(xù)，設(shè)定目標(biāo)函數(shù)

由于四索牽引屬于完全約束機構(gòu)，當(dāng)某根懸索發(fā)生虛牽狀況時，整個系統(tǒng)就會變得不平衡，其余的懸索同時要受到自重和張力的作用，可能會引起系統(tǒng)變化導(dǎo)致癱瘓。或者由于某根懸索弧度過大接觸地面，系統(tǒng)不能正常工作。為保證懸索正常工作，不發(fā)生虛牽狀況，約束每條懸索豎直方向的分力應(yīng)該≥0，即不等式約束為

其等式約束為平衡方程（11）。

利用SQP 算法約束優(yōu)化求解非線性方程組，圖4為索長最優(yōu)化求解流程圖，清晰地表示出索長求解的迭代過程。SQP 算法迭代過程中每一步都需要求解一個或多個二次規(guī)劃的子問題，并且子問題最優(yōu)解U*作為下一次迭代搜索的方向。在該方向上對原非線性最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)進行約束一維搜索，得到下一個迭代點Xk+1，并判斷是否滿足收斂精度。利用一種秩2 擬牛頓法DFP（davidon fletcher powell）修正Xk+1，重復(fù)上述過程，直到迭代點Xk+1滿足終止準(zhǔn)則。利用SQP算法求解最優(yōu)化索長的精度高、收斂速度快、計算效率高、計算過程清晰簡便。

圖4 索長最優(yōu)化求解流程圖Fig.4 Flow chart of the optimization solution of cable length

3 靜力平衡位置正解

不同于靜力平衡位置逆解，一個空間位置坐標(biāo)對應(yīng)多種懸索索長組合，靜力平衡位置正解是一組四索索長唯一確定一個末端執(zhí)行器空間位置坐標(biāo)。為驗證懸索彈性形變對定位的影響，將求解的考慮懸索自重和彈性形變的四索索長代入不考慮彈性形變的位置正解中，得到新的末端執(zhí)行器坐標(biāo)P＇并與給定坐標(biāo)進行比較，分析彈性形變對定位的影響。

位置正解可以由雅可比矩陣J（P）表示，利用Newton-Raphson 數(shù)值迭代進行求解。根據(jù)雅可比矩陣的定義，建立四索牽引的雅可比矩陣

式中：P（x，y，z）表示在空間坐標(biāo)系O-XYZ 中末端執(zhí)行器的坐標(biāo)；J（P）為dS=J（P）dP 變形展開式，即

為求解懸索索長S 相關(guān)的偏導(dǎo)數(shù)，將式（10）代入式（16）可得

然后利用Newton-Raphson 迭代算法求解非線性方程組，進而得到四索牽引機構(gòu)靜力平衡的位置正解。迭代求解過程如下：給定當(dāng)前懸索索長S，代入末端執(zhí)行器迭代初值P0，迭代計算后，若差值沒有滿足收斂條件，達(dá)到所設(shè)定精度ε，則繼續(xù)重復(fù)計算求解末端執(zhí)行器空間位置坐標(biāo)Pk+1，直到滿足收斂精度，此時Pk+1為靜力平衡狀態(tài)下位置正解，即不考慮彈性形變的位置坐標(biāo)。

4 實例分析

為了便于仿真測試，模擬室內(nèi)維修飛機的環(huán)境，設(shè)定其空間內(nèi)兩頂點之間的長為40 m、寬為30 m，空間高度為30 m。由于考慮室內(nèi)屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)因素，4個頂點不在同一水平面，設(shè)定4 個定滑輪頂點空間坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（40，0，-5）、C（40，30，-5）、D（0，30，0），分別對應(yīng)懸索L1、L2、L3、L4。其中鋼絲繩為6 × 19 股纖維芯繩，q=0.135 3 kg/m，E=100 GPa，As=1.432×10-5m2，執(zhí)行機構(gòu)整體質(zhì)量M=10 kg。通過Matlab 仿真軟件，在已知末端執(zhí)行機構(gòu)空間坐標(biāo)的條件下進行仿真，然后利用plot3 函數(shù)畫出四索懸鏈線模型圖。同時計算在整個可達(dá)空間范圍內(nèi)利用SQP 算法求解的最優(yōu)化懸索索長、索力等參數(shù)。

由于室內(nèi)四索牽引執(zhí)行機構(gòu)定位受約束條件限制，在空間中會形成一個可達(dá)邊界，超過邊界時系統(tǒng)會出現(xiàn)虛牽問題或懸索弧度過大接觸地面而不能正常工作的情況。末端執(zhí)行器定位高度不同時，其可達(dá)空間范圍邊界不同。如圖5 所示，由于四索頂點不處于同一水平面，范圍邊界不再關(guān)于中心對稱，且隨著執(zhí)行器定位高度的不斷下降，可達(dá)范圍邊界整體向X 軸負(fù)方向移動，同時工作平面面積不斷減小。其中，Z=-15、-20、-25 m 時工作平面面積分別為958.656、956.284、954.276 m2。

圖5 不同高度懸索可達(dá)范圍Fig.5 Reachable range of suspension cables at different heights

假定末端執(zhí)行器初始點坐標(biāo)（20，25，-20），以（20，15，-20）為圓心，半徑R=10 m，在Z=-20 m 水平面上做圓形周期運動。末端執(zhí)行器移動平臺的運動軌跡方程為式中：ω=2π/T＇，為末端執(zhí)行器在軌跡上的角速度；T＇=10 s，為末端執(zhí)行器勻速運動的周期。

圖6 為末端執(zhí)行器在Z=-20 m 平面上的運動軌跡。將目標(biāo)軌跡上每時刻對應(yīng)的空間點坐標(biāo)代入最優(yōu)化懸索索長求解中，可以得到拉力平方和最小優(yōu)化方法的四索索長及索力，并分析索長和索力的變化曲線。

圖6 末端執(zhí)行器運動軌跡Fig.6 Trajectory of end-effector

根據(jù)圖7 四根懸索的索力曲線可以看出：在周期T=10 s 運動時間內(nèi)，四索索力曲線光滑、連續(xù)并且沒有出現(xiàn)大的突變現(xiàn)象，呈現(xiàn)平穩(wěn)有規(guī)律的變化趨勢。雖然末端執(zhí)行器的運動軌跡在空間內(nèi)具有對稱性，但由于4 個定滑輪頂點不在同一高度，四索索力變化不呈現(xiàn)對稱性。在整個可達(dá)空間內(nèi)四索索力分布均勻，沒有超出極限，在可控范圍內(nèi)，懸索沒有出現(xiàn)虛牽現(xiàn)象。

圖7 四索索力變化曲線Fig.7 Variation curve of four-cable force

圖8 表示四索索長隨運動軌跡的變化曲線。四索索長均勻變化，沒有出現(xiàn)過長、過短現(xiàn)象，進一步證明該算法的正確性。以上仿真結(jié)果表明：SQP 算法收斂速度快、可靠性強、魯棒性好。

圖8 四索索長變化曲線Fig.8 Variation curve of four-cable length

可達(dá)范圍內(nèi)部隨機抽取3 點進行最優(yōu)化仿真計算，通過靜力平衡位置逆解得到四索索長、彈性形變量及索力，其結(jié)果如表1 所示。

表1 可達(dá)空間內(nèi)SQP 最優(yōu)化算法計算結(jié)果Tab.1 Calculation results of SQP optimization algorithm in reachable space

將求解得到的四索索長代入不考慮彈性形變的位置正解中，得到一個新的坐標(biāo)，并與位置逆解中的坐標(biāo)作差，可以得到X 軸、Y 軸、Z 軸方向上的3 個位置偏差Δx、Δy、Δz，同時分析總體位置偏差ΔP（ΔP=的大小。

圖9 表示末端執(zhí)行器定位Z=-20 m 工作平面時，整個工作平面上總體位置偏差的分布情況，可以看出圖的中心區(qū)域，末端執(zhí)行器總體位置偏差很小，在5～10 mm 之間，在這一范圍內(nèi)彈性形變對系統(tǒng)定位的影響很小。而在工作平面四周的邊界附近，末端執(zhí)行器的總體位置偏差很大，在40～60 mm，若系統(tǒng)定位到這些區(qū)域工作會造成很大誤差，不能實現(xiàn)精準(zhǔn)定位。同時對比圖10，執(zhí)行器定位Z=-30 m 工作平面，隨著定位高度的降低，整個工作平面上總體位置偏差都在增大，甚至在極限位置總體位置偏差達(dá)到了116 mm。

圖9 Z=-20 m 平面上總體位置偏差分布圖Fig.9 Overall position deviation distribution on the plane Z=-20 m

圖10 Z=-30 m 平面上總體位置偏差分布圖Fig.10 Overall position deviation distribution on the plane Z=-30 m

綜上所述，在工作空間的中心區(qū)域內(nèi)，懸索彈性形變對末端執(zhí)行器定位影響很小，但在大部分區(qū)域中，特別是在定位工作空間邊界附近時，忽略懸索彈性形變會對末端執(zhí)行器的定位造成很大誤差，難以實現(xiàn)末端執(zhí)行器的精準(zhǔn)定位。因此，將彈性形變量考慮到室內(nèi)飛機維修四索牽引定位中，可以很好地提高系統(tǒng)的定位精度。

5 結(jié)語

針對室內(nèi)飛機維修四索牽引系統(tǒng)的高精度定位要求，分析系統(tǒng)靜力平衡，不考慮系統(tǒng)高速運行時的動力特性，忽略外部擾動影響，著重考慮懸索自重和彈性形變對定位的影響。

基于懸鏈線原理，可推導(dǎo)出空間四索懸鏈線方程，并建立四索懸鏈線模型。利用SQP 算法求解非線性方程組收斂速度快、計算過程清晰簡便。

通過分析仿真數(shù)據(jù)可知，忽略懸索彈性形變量會造成較大誤差，在一定程度上影響室內(nèi)四索牽引高精度定位；同時在可達(dá)空間范圍內(nèi)，四索索力分布均勻，避免了虛牽現(xiàn)象和索力超限。

將四索牽引技術(shù)應(yīng)用到室內(nèi)飛機維修中，通過仿真計算驗證該方法的有效性。同時研究成果可為飛機維修攝像系統(tǒng)的高精度定位奠定理論基礎(chǔ)，也為四索牽引技術(shù)應(yīng)用到航空領(lǐng)域提供了新思路。