微課程背景下“梯度概念”課堂教學(xué)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

董昌州　張玉平

【摘 要】梯度概念是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一，本文通過(guò)對(duì)梯度概念課程進(jìn)行全新的優(yōu)化設(shè)計(jì)，借助微課程視頻讓學(xué)生達(dá)到理解概念實(shí)質(zhì)，掌握概念應(yīng)用，以此提高教學(xué)效果的目的。

【關(guān)鍵詞】梯度；方向?qū)?shù)；高等數(shù)學(xué)

梯度概念是高等數(shù)學(xué)下冊(cè)中的一個(gè)較難理解的概念，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)往往感到一頭霧水。事實(shí)上梯度在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)用是非常廣泛的，在進(jìn)行本次課的課堂設(shè)計(jì)時(shí)可以結(jié)合實(shí)際問(wèn)題引入，將復(fù)雜，枯燥的純數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，生活化，讓學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中學(xué)到知識(shí)。

1 實(shí)際問(wèn)題引入

現(xiàn)如今，毒品在全世界日趨泛濫，它直接危害著人們的身心健康以及社會(huì)發(fā)展，因此禁毒緝毒變得尤為重要，當(dāng)前販運(yùn)毒品的方式趨于多樣化，隱蔽化，而利用警犬來(lái)搜索毒品已經(jīng)成為公安機(jī)關(guān)破獲毒品案件的一種重要手段，現(xiàn)在某處藏有毒品，一條警犬執(zhí)行任務(wù)，搜索毒品，提問(wèn)：警犬會(huì)沿著一條怎樣的路徑來(lái)進(jìn)行搜索才能最快的找到毒品呢？

觀看視頻短片，引發(fā)學(xué)生積極思考，熱烈討論。在學(xué)生討論幾分鐘后，加以分析：由于毒品會(huì)在大氣中散發(fā)一種特有的氣味，警犬肯定是哪的氣味越濃就往哪走，而所謂的“氣味越濃的方向”用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言該如何描述呢？這時(shí)學(xué)生的思考便有了方向，接著繼續(xù)引導(dǎo)：如果已知?dú)馕稘舛冗@一函數(shù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，那么氣味越濃的方向，實(shí)際上也就是氣味濃度這一函數(shù)變化最快的方向，什么能刻畫(huà)函數(shù)的變化率呢？到此應(yīng)該有一部分學(xué)生可以回答出來(lái)了：方向?qū)?shù)反映的是函數(shù)的變化率。因此要找函數(shù)變化最快的方向?qū)嶋H上也就是要找函數(shù)在一點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)取得最值。由此層層遞進(jìn)，步步引導(dǎo)，得到本節(jié)課我們要解決的核心問(wèn)題，即函數(shù)在一點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)取得最值。而為了解決這個(gè)問(wèn)題，就必須從方向?qū)?shù)的計(jì)算公式入手：

從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ=0時(shí)，也就是el方向與這個(gè)向量G的方向相同時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值，最大值就等于向量G的模，因此我們看到確實(shí)存在這樣一個(gè)向量，它的方向是方向?qū)?shù)取得最大值的方向，而它的大小為方向?qū)?shù)的最大值，這個(gè)向量就是本節(jié)課的核心概念—梯度。

2 梯度的概念

[1]假設(shè)一個(gè)二元函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P（x，y）∈D，都可定出一個(gè)向量fx（x，y）+fy（x，y），稱(chēng)此向量為函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）的梯度。為了理解梯度這個(gè)概念，從以下兩方面加以分析。

2.1 方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系

通過(guò)表格一目了然，梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向是一致的，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值。這也就回答了我們剛才提出的問(wèn)題，函數(shù)在一點(diǎn)處到底沿著哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)可以取得最值呢？此時(shí)學(xué)生會(huì)異口同聲：函數(shù)在已知點(diǎn)處梯度的方向或反方向就是方向?qū)?shù)取得最大值或最小值的方向。

為了更好的理解梯度這個(gè)向量，下面從幾何的角度加以解釋。

2.2 幾何解釋

預(yù)備知識(shí)：[1]等值線：一個(gè)二元函數(shù)z=f（x，y）表示一個(gè)曲面，這曲面被平面z=c（c為常數(shù)）所截得的曲線L的方程為z=f（x，y）

z=c，這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*，它在xOy平面直角坐標(biāo)系中的方程為f（x，y）=c。對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱(chēng)平面曲線L*為函數(shù)z=f（x，y）的等值線。

下面通過(guò)等值線來(lái)認(rèn)識(shí)梯度這個(gè)向量。

對(duì)等值線f（x，y）=c兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得fx+fy=0，由此得到：k法=，即點(diǎn)p處的一個(gè)法向量為（fx（x，y），fy（x，y））=gradf（x，y），單位化即得gradf= 。

這個(gè)關(guān)系式就非常清晰的描述了方向?qū)?shù)，梯度，等值線這三者的關(guān)系，并且可以幫助我們從另一個(gè)角度來(lái)理解梯度這個(gè)向量的方向和大小，函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這一點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同，它從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線，梯度的模就是沿著法線方向的方向?qū)?shù)。

現(xiàn)在有了以上這些理論為基礎(chǔ)，我們就可以借助于梯度來(lái)解決警犬搜索毒品的路線這一問(wèn)題了。

3 梯度的應(yīng)用

問(wèn)題重述：地面上某處藏有毒品，以該處為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，已知毒品在大氣中散發(fā)著特有的氣味，設(shè)氣味濃度在地表xOy平面上的分布為f（x，y）=e- （x2+2y2），一條警犬在點(diǎn)（x0，y0）（x0≠0）處嗅到氣味后，沿著氣味最濃的方向搜索，求警犬搜索的路線。

問(wèn)題分析：設(shè)搜索路線為y=y（x），首先警犬在每一點(diǎn)都要沿著切線的方向行走，切向量可以用（dx，dy）來(lái)表示，而另一方面，警犬它要沿著氣味最濃的方向搜索，因此運(yùn)動(dòng)曲線上每一點(diǎn)都是朝梯度方向的，也就是說(shuō)在任一點(diǎn)（x，y）處的切向量與氣味濃度這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的梯度方向保持一致，所以這兩個(gè)向量應(yīng)該是平行的，下面通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型求解。

最終我們解得搜索路線是一條拋物線，所以警犬沿著這條拋物線行走將最快的搜索到毒品。雖然警犬并不懂得梯度，但是它會(huì)憑著嗅覺(jué)的反饋信號(hào)，沿著這樣的路線來(lái)搜索。

實(shí)際上梯度理論應(yīng)用非常廣泛，在氣象學(xué)中，軍事地形學(xué)中[2]，建筑學(xué)中等等，都滲透著梯度理論，課后讓學(xué)生去查閱資料，找到梯度在其他方面的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用提出問(wèn)題，借助視頻圖片，建立數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題這樣的教學(xué)模式，將晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念與生活息息相關(guān)的實(shí)例聯(lián)系起來(lái)，從而大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究問(wèn)題的積極性，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，達(dá)到潛移默化的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，使枯燥乏味的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變得生動(dòng)活潑起來(lái)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]朱健民，李建平.高等數(shù)學(xué)（下）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：王楠]