考慮車(chē)載歷史信息的既有橋梁可靠度更新方法

王　草，鄒阿鳴，張　龍，李全旺

(清華大學(xué)　土木工程學(xué)院，北京　100084)

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考慮車(chē)載歷史信息的既有橋梁可靠度更新方法

王草，鄒阿鳴，張龍，李全旺

(清華大學(xué)土木工程學(xué)院，北京100084)

摘要：基于貝葉斯更新理論，提出了考慮車(chē)載歷史的既有橋梁可靠度更新方法。該方法考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減和荷載隨機(jī)過(guò)程的不確定性，并給出了顯式公式。本文對(duì)一座既有橋梁進(jìn)行可靠度分析，并通過(guò)與Monte Carlo模擬結(jié)果對(duì)比，證實(shí)了本文方法的準(zhǔn)確性。隨后利用本文提出的方法，分析了橋梁可靠度的更新對(duì)車(chē)載歷史和承載力衰減過(guò)程的敏感性。結(jié)果表明，車(chē)載大小和承載力衰減程度對(duì)可靠度的更新效果有顯著影響。當(dāng)車(chē)載歷史中包含超載現(xiàn)象或橋梁承載力明顯劣化時(shí)，更新后的可靠度更能反映既有橋梁真實(shí)的可靠度水平，而不考慮車(chē)載歷史則會(huì)明顯低估橋梁的可靠度水平。

0引言

對(duì)于既有橋梁，自然老化、車(chē)輛載荷增加以及使用過(guò)程中的碰撞損傷等因素會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載力的降低，從而影響其正常運(yùn)營(yíng)[1]。通常出于經(jīng)濟(jì)性的考慮，對(duì)所有危橋采取構(gòu)件更換、加固等措施是不現(xiàn)實(shí)的；可取的做法是先對(duì)橋梁進(jìn)行安全評(píng)價(jià)，以此作為后續(xù)制訂維護(hù)、修復(fù)、管理措施的依據(jù)[2]。以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)可靠度分析，著眼于結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中的承載力及荷載的不確定性，并基于實(shí)測(cè)和統(tǒng)計(jì)，為結(jié)構(gòu)的安全性提供定量的評(píng)估。這一理論已成為既有橋梁狀態(tài)評(píng)估和工程決策的基礎(chǔ)[3]。

在對(duì)橋梁進(jìn)行安全評(píng)估時(shí)，可以通過(guò)檢測(cè)、試驗(yàn)等手段獲得關(guān)于該橋梁的有效信息。利用這些信息，結(jié)合相應(yīng)的計(jì)算技巧，可以有效提高評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。Law和Li[4]、Zhu和Wu[5]、Okasha等[6]的研究中利用了橋梁的健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)更新橋梁可靠度計(jì)算中的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)而更新可靠度的評(píng)估結(jié)果。但是這些方法中涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，且需要考慮到橋梁體系可靠度的整體效應(yīng)，目前難以在實(shí)踐中推廣應(yīng)用。橋梁荷載試驗(yàn)[7-8]是一種常見(jiàn)的橋梁承載力評(píng)估方法，它能夠直接確定橋梁的承載能力是否滿足既定要求。然而，由于該方法成本昂貴，應(yīng)用往往受到限制。Hall于1988年[9]提出將橋梁在服役過(guò)程中的車(chē)載歷史看作該橋的試驗(yàn)荷載，并基于貝葉斯更新模型，給出了考慮歷史車(chē)載信息的橋梁承載力更新方法。雖然該方法忽略了結(jié)構(gòu)承載力的劣化，但為隨后利用既有橋梁歷史信息更新其承載力的研究和工程實(shí)踐奠定了基礎(chǔ)。此后，Stewart等[1]基于Monte Carlo模擬，研究了考慮結(jié)構(gòu)劣化時(shí)，車(chē)載歷史信息以及荷載試驗(yàn)對(duì)橋梁可靠度的更新效果。然而該方法需要多次重復(fù)模擬，計(jì)算代價(jià)巨大。因此，有必要尋求一種簡(jiǎn)便的方法來(lái)利用橋梁歷史荷載信息對(duì)其可靠度進(jìn)行更新。

本文基于貝葉斯更新理論，提出考慮歷史車(chē)載信息的既有橋梁可靠度分析方法。該方法考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減和荷載過(guò)程的不確定性，并利用已有車(chē)載信息來(lái)更新橋梁的可靠度。本文方法給出了可靠度更新方法的顯式公式，方便在實(shí)踐中推廣應(yīng)用。

1結(jié)構(gòu)可靠度

橋梁結(jié)構(gòu)在時(shí)間段(0,T]內(nèi)的可靠度，L(0,T)，是指結(jié)構(gòu)承受的荷載在時(shí)間(0,T]內(nèi)不超過(guò)其承載能力的概率[10]。假設(shè)在t1,t2, … ，tn時(shí)刻分別發(fā)生了一次車(chē)載事件，對(duì)應(yīng)的荷載效應(yīng)分別記作S1,S2，…，Sn，則有：

(1)

式中，Pr{}表示括號(hào)中事件的發(fā)生概率；R1,R2，…，Rn分別表示t1,t2,…，tn時(shí)刻結(jié)構(gòu)的承載力。

對(duì)劣化結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析時(shí)，需要考慮到承載力的時(shí)變特征。通?？梢杂檬?2)來(lái)描述結(jié)構(gòu)承載力的衰減：

(2)

式中，R(t)為t時(shí)刻結(jié)構(gòu)的承載力；R0為初始承載力；g(t)為衰減函數(shù)。g(t)可由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合或者機(jī)理研究等手段獲得。Enright等[11]研究了RC結(jié)構(gòu)由于鋼筋銹蝕引起的結(jié)構(gòu)承載力劣化，給出了如式(3)所示的衰減函數(shù)：

(3)

式中，k1和k2為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的參數(shù)；Tinitial表示劣化起始時(shí)間。這些參數(shù)的取值為：

(4)

對(duì)應(yīng)于這3種退化類(lèi)型，圖1給出了40 a內(nèi)衰減函數(shù)g(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律。在40 a的時(shí)間里，慢速、中速、退化對(duì)應(yīng)的承載力分別下降1.5%，17.5%和30.5%。在后文的算例分析中，將會(huì)利用這3種衰減模型來(lái)描述混凝土結(jié)構(gòu)承載力的衰減。

圖1　衰減函數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.1　Relationship between attenuation function and time

一般情況下，結(jié)構(gòu)承受的荷載過(guò)程具有隨機(jī)性。為了考慮荷載過(guò)程的隨機(jī)性，用平穩(wěn)Poisson過(guò)程來(lái)描述荷載的發(fā)生，Poisson強(qiáng)度為λ(即在單位時(shí)間里平均有λ次荷載發(fā)生)。假定各荷載效應(yīng)獨(dú)立同分布，累積密度函數(shù)記作FS(s)，如圖2所示，則式(1)變?yōu)閇10]：

(5)

式中fR0(r)為初始承載力R0的概率密度函數(shù)；N=g(t)。

圖2　承載力衰減和荷載過(guò)程的隨機(jī)性Fig.2　Stochastic loading process and resistance deteriorating process

現(xiàn)考慮該結(jié)構(gòu)從建成后T1時(shí)刻開(kāi)始，后續(xù)T時(shí)間內(nèi)的可靠度為L(zhǎng)(T1,T1+T)。

首先，將式(5)改寫(xiě)為：

(6)

這表明，若λ，fR0(r)和FS(s)保持恒定，則結(jié)構(gòu)在時(shí)間段(0,T]內(nèi)的可靠度只取決于結(jié)構(gòu)在此時(shí)間段內(nèi)的承載力大小以及此時(shí)間段的始末時(shí)刻。因此，根據(jù)式(6)：

(7)

注意到式(7)給出的結(jié)構(gòu)可靠度考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減，但沒(méi)有涉及在T1時(shí)刻之前的歷史荷載信息。在下一節(jié)中將討論如何利用車(chē)載歷史信息對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行更新。

2考慮車(chē)載歷史的可靠度更新方法

貝葉斯更新方法是處理后驗(yàn)概率問(wèn)題的重要手段[12]。對(duì)于事件A和事件B，由貝葉斯公式，有

(8)

式中，A|B表示已知事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生；AB表示事件A和B同時(shí)發(fā)生。

現(xiàn)在考慮利用結(jié)構(gòu)的服役歷史信息來(lái)更新結(jié)構(gòu)的可靠度。假設(shè)某結(jié)構(gòu)已正常服役時(shí)間為T(mén)1，考慮其在隨后的T時(shí)間內(nèi)正常服役的可靠度，Lu(T1,T+T1)。

令事件A表示結(jié)構(gòu)在時(shí)間段(T1,T+T1]內(nèi)正常服役，事件B表示結(jié)構(gòu)在時(shí)間段(0,T1]內(nèi)正常服役，則：

(9)

注意到式(9)給出的是利用歷史荷載信息更新后的結(jié)構(gòu)可靠度，區(qū)別于式(7)給出的不考慮歷史荷載信息的可靠度。

將式(8)代入式(9)中，有：

(10)

式中，Pr(B)=L(0,T1)，在式(5)中已經(jīng)給出；Pr(AB)=L(0,T+T1)，且：

(11)

式中，N=g(t)將式(11)和式(5)代入式(10)中，

(12)

式(12)即為本文提出的考慮歷史荷載信息的既有橋梁可靠度更新公式。公式中包含兩重積分，可利用簡(jiǎn)單的黎曼積分進(jìn)行計(jì)算。需要指出的是，一些積分技巧(比如Simpson積分法等[13])可以大大提高積分的計(jì)算效率。根據(jù)計(jì)算得到的Lu(T1,T+T1)，可進(jìn)一步給出對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)βu(T1,T+T1)：

(13)

式中，φ-1()表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)反函數(shù)。類(lèi)似地，對(duì)于式(7)中的L(T1,T+T1)，對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)為：

(14)

3算例分析

本節(jié)通過(guò)算例說(shuō)明式(12)的準(zhǔn)確性，并通過(guò)對(duì)比式(7)和式(12)，討論結(jié)構(gòu)可靠度的更新效果對(duì)車(chē)載強(qiáng)度、承載力衰減程度等因素的敏感性。

圖3　某預(yù)應(yīng)力混凝土橋(單位：cm) Fig.3　A prestressed concrete bridge(unit:cm)

某預(yù)應(yīng)力混凝土空心板橋已服役20 a，如圖3所示。混凝土強(qiáng)度為C40；預(yù)應(yīng)力筋采用φs12.7鋼絞線，7根為一束，每塊板各7束。普通鋼筋為HRB 335，每塊板配置5φ12[14]。根據(jù)規(guī)范[15]，計(jì)算得空心板跨中截面抗彎承載力為567.86 kN·m，結(jié)構(gòu)自重引起的跨中彎矩為222.66 kN·m?？紤]到初始承載力的不確定性，參考相關(guān)研究[10, 16]，認(rèn)為其服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，變異系數(shù)為0.15，則可得到初始抗彎承載力的概率密度函數(shù)fR0(r)：

(15)

假定該橋梁承載力的衰減可以用式(3)和式(4)來(lái)描述(中速衰減)。根據(jù)規(guī)范[17]，計(jì)算得該橋梁承受的一年一遇(λ=1)最大車(chē)載引起的空心板跨中截面彎矩服從極值I型分布，均值為 51.75 kN·m，標(biāo)準(zhǔn)差為18.59 kN·m，則其累積密度函數(shù)為FS(s)為：

(16)

式中s的單位為kN·m。

考慮到該橋梁處在重車(chē)密集的公路上，在服役過(guò)程中承受的實(shí)際車(chē)載遠(yuǎn)大于規(guī)范荷載[18]，本文另外假設(shè)了兩種車(chē)載效應(yīng)，其引起的空心板跨中截面彎矩效應(yīng)如表1所示。

表1　各車(chē)載模型引起的板跨中截面彎矩

注：變異系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。

考慮從當(dāng)前時(shí)刻(T1=20 a)開(kāi)始后若干年內(nèi)該橋梁的可靠度，年最大車(chē)載效應(yīng)假設(shè)為車(chē)載1。令式(12)中的T=1, 2, … ,15 a，可分別計(jì)算得該橋從當(dāng)前時(shí)刻開(kāi)始，后續(xù)1, 2, … 15 a內(nèi)的可靠度Lu(T1, T+T1)， 進(jìn)而由式(13)計(jì)算得各種情況對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)，如圖4所示。為了說(shuō)明歷史荷載對(duì)橋梁可靠度的更新效果，由式(7)計(jì)算出不考慮歷史荷載情況下的可靠度L(T1, T+T1)， 將對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)繪制于圖4中。從中可以看到，考慮歷史荷載信息可以顯著提高橋梁可靠度的評(píng)估結(jié)果。

圖4　后續(xù)時(shí)間T內(nèi)的橋梁可靠度指標(biāo)Fig.4　Bridge reliability indices for subsequent T years

為了說(shuō)明式(12)的準(zhǔn)確性，利用Monte Carlo模擬的方法重新計(jì)算考慮歷史車(chē)載作用時(shí)，該橋梁在后續(xù)T年內(nèi)的可靠度。具體步驟為：

(1)令變量COUNT1=0，COUNT2=0。

(2)隨機(jī)生成初始抗彎承載力R0的一個(gè)樣本值r0，服從式(15)所示的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

(3)隨機(jī)生成一個(gè)Poisson數(shù)m，均值為λ×(T+T1)；然后生成m個(gè)在(0,T+T1]上均勻且獨(dú)立同分布的時(shí)刻t1

(4)對(duì)應(yīng)于ti時(shí)刻，i= 1, 2,…,m，根據(jù)車(chē)載效應(yīng)累積密度函數(shù)，分別生成一個(gè)車(chē)載效應(yīng)樣本值si，其累積密度函數(shù)如式(16)所示。

(5)如果對(duì)于所有的i=1,2,…,n， 均有r0×g(ti)-D≥si(D表示恒荷載)，則說(shuō)明橋梁在(0,T1]時(shí)間段內(nèi)安全，令變量COUNT1增加1，然后進(jìn)行下一步；否則，返回步驟(2)。

(6)如果對(duì)于所有的i=n+1,n+2,…,m，均有r0×g(ti)-D≥si，則說(shuō)明橋梁在時(shí)間段(T1,T+T1]內(nèi)安全，令變量COUNT2增加1。

(7)重復(fù)步驟(2)～(6)多次，則COUNT2/COUNT1的比值趨近于Lu(T1,T+T1)。

對(duì)于每個(gè)T值，分別通過(guò)100萬(wàn)次的蒙特卡洛數(shù)值模擬，得到Lu(T1,T+T1)模擬解對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)如圖4所示。從圖中可見(jiàn)，Monte Carlo模擬的結(jié)果與式(12)的計(jì)算結(jié)果完全重合，由此證明了本文公式的正確性。

為了討論車(chē)載效應(yīng)大小對(duì)橋梁可靠度更新的影響，分別考慮規(guī)范荷載，車(chē)載1和車(chē)載2這3種情況，利用式(12)計(jì)算出橋梁更新后的可靠度，并與利用式(7)計(jì)算出的可靠度進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看到，車(chē)載效應(yīng)越大，則橋梁的可靠度越小，但可靠度的更新效果也越明顯。以βu(20, 35)為例，車(chē)載1對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)由更新前的1.86升至1.93，而車(chē)載2對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)由1.23更新至1.44。這說(shuō)明超載車(chē)輛在引起橋梁更大服役風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，也對(duì)橋梁可靠度的評(píng)估有著明顯的提升作用，更新后的結(jié)構(gòu)可靠度更能反映既有橋梁真實(shí)的可靠度水平，而不考慮車(chē)載歷史則會(huì)低估橋梁的可靠度水平。另外可以看到，如果歷史荷載是規(guī)范荷載，可靠度的更新效果不明顯。這說(shuō)明，在對(duì)橋梁進(jìn)行可靠度評(píng)估時(shí)，如果實(shí)際車(chē)載不高于規(guī)范荷載，則考慮或不考慮歷史信息得到的可靠度結(jié)果接近。

圖5　考慮不同車(chē)載作用時(shí)的可靠度指標(biāo)Fig.5　Reliability indicies considering different vehicle loads

圖6　考慮不同衰減程度時(shí)的可靠度指標(biāo)Fig.6　Reliability indicies considering different deteriorating degrees

考慮橋梁承載力的衰減程度對(duì)后續(xù)服役期內(nèi)可靠度的影響。分別考慮如式(3)和式(4)所示的3種衰減速度，年最大車(chē)載效應(yīng)為車(chē)載1。分別由式(12)和式(7)計(jì)算得到考慮/不考慮車(chē)載歷史的結(jié)構(gòu)態(tài)可靠度，對(duì)應(yīng)可靠度指標(biāo)如圖6所示。從圖中可以看到，橋梁承載力衰減越快，結(jié)構(gòu)的可靠度水平越低，但歷史荷載信息對(duì)可靠度的更新效果越好。這表明，在對(duì)既有橋梁進(jìn)行安全評(píng)估時(shí)，利用車(chē)載歷史更新后的可靠度更能反映橋梁的真實(shí)可靠度水平，特別是在橋梁承載力退化嚴(yán)重的情況下；而在退化不嚴(yán)重的情況下，考慮/不考慮歷史荷載信息得到的可靠度評(píng)估結(jié)果比較接近。

4結(jié)論

本文提出了考慮車(chē)載歷史的既有橋梁可靠度更新方法，并結(jié)合算例，討論了承載力衰減、車(chē)載大小對(duì)可靠度更新效果的影響，得到如下結(jié)論：

(1)本文給出了考慮車(chē)載歷史的既有橋梁可靠度更新的顯式公式，并結(jié)合算例表明了該公式的準(zhǔn)確性。

(2)車(chē)載大小影響既有橋梁在后續(xù)服役期內(nèi)的可靠度水平。車(chē)載越大，可靠度越小，但對(duì)可靠度的更新效果越明顯。而在規(guī)范荷載水平下，利用車(chē)載歷史更新后的可靠度與不考慮車(chē)載歷史的可靠度結(jié)果基本一致。

(3)橋梁承載力衰減程度對(duì)既有橋梁可靠度有顯著影響。承載力衰減越嚴(yán)重，可靠度越小，但歷史荷載信息對(duì)可靠度的更新效果越明顯。在橋梁承載力緩慢退化情況下(每年減少0.05%)，考慮/不考慮歷史荷載信息得到的可靠度比較接近。

(4)利用車(chē)載歷史信息更新后的可靠度更能反映既有橋梁真實(shí)的可靠度水平。在實(shí)際車(chē)流存在超載現(xiàn)象，或者橋梁承載力劣化明顯的情況下，應(yīng)當(dāng)對(duì)橋梁進(jìn)行可靠度更新，以獲得更為真實(shí)的評(píng)估結(jié)果，避免不必要的加固和限行。

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關(guān)鍵詞：橋梁工程；既有橋梁；貝葉斯更新；可靠度；車(chē)載歷史；劣化

A Method for Updating Reliability of Existing Bridges Considering Historical Vehicular Loading InformationWANG Cao, ZOU A-ming, ZHANG Long, LI Quan-wang

(School of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract：Based on the Bayesian updating theory, a new method for updating the structural reliability of in-service aging bridges is proposed. The structural resistance deterioration and the uncertainties associated with the stochastic traffic loading process are taken into account in the proposed method, and an explicit formula is presented. The reliability analysis for an illustrative existing bridge is carried out, with which the accuracy of the proposed method is verified through a comparison with the result by Monte Carlo simulation method. Further, the sensitivity of the structural reliability updating to traffic load history and resistance deterioration process is analyzed using the proposed method. It shows that (1) traffic load and resistance degradation have significant effects on the reliability updating effect of existing bridges; (2) if over-weighted vehicles are observed in the traffic load history or the resistance has remarkable degradation, the updated reliability is a more reasonable indicator of bridge performance, while ignoring the traffic load history information will result in an underestimated reliability.

Key words：bridge engineering; existing bridge; Bayesian updating; reliability; traffic load history; deterioration

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-0268(2016)02-0067-06

中圖分類(lèi)號(hào)：U445.7

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.02.011

作者簡(jiǎn)介：王草(1993-)，男，江蘇沭陽(yáng)人，碩士.(wangcao12@tsinghua.org.cn)

基金項(xiàng)目：交通運(yùn)輸部重大專(zhuān)項(xiàng) (2013 328 49A 090)

收稿日期：2015-03-30