電量耗盡的鐘表，指針為何多停在9點？

王偉民　辛存良

摘 要：根據(jù)鐘表工作過程中，電源電動勢的變化特征，分析鐘表指針在一周的轉(zhuǎn)動周期內(nèi)，指針自身重力力矩的變化規(guī)律和電源提供最大扭轉(zhuǎn)力矩變化規(guī)律間的關(guān)系，總結(jié)出因電量耗盡指針經(jīng)常停在表盤9點位置附近的原因。

關(guān)鍵詞：鐘表；表盤；指針；力矩；周期

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）1-0062-2

看一個常見的與力矩相關(guān)的物理問題。

例題 如圖1所示，如果石英鐘鐘表指針的重心不在軸心，而是在較長的一側(cè)，那么當(dāng)鐘表電池電量耗盡時，其指針?biāo)５奈恢枚嘣阽姳肀肀P的哪一時間附近（ ）

資料給出的解析大多是這樣：指針在轉(zhuǎn)動過程中，電池通過動力設(shè)備給指針提供扭轉(zhuǎn)力矩，電量耗盡的電池，能夠提供的扭轉(zhuǎn)力矩變小，而轉(zhuǎn)到在9點位置時，指針處于水平狀態(tài)，與電源提供扭轉(zhuǎn)力矩方向相反的重力力矩最大，所以，指針多停于9點位置，故本題的正確選項是B。

應(yīng)該說，這一結(jié)果跟生活實際是一致的：幾乎所有的電動鐘表，電量耗盡時，其指針多是停在9點位置附近晃動，就像人原地踏步走一樣，無法持續(xù)轉(zhuǎn)動下去。

然而，深究起來問題并不那么簡單。電量耗盡的電池能夠提供的扭轉(zhuǎn)力矩不是常量，而是隨時間的延續(xù)逐漸變小。由于指針在繞軸心轉(zhuǎn)動過程中，其重力力矩的變化規(guī)律是周期性的（可以證明，指針勻速轉(zhuǎn)動時，以0點為0時刻，逆時針方向為力矩的正方向，其重力力矩隨時間的變化圖像是通過原點正弦曲線），每轉(zhuǎn)動一周出現(xiàn)一個最大值（即9點位置時的力矩值），當(dāng)電源通過動力設(shè)備提供的最大扭轉(zhuǎn)力矩小于指針在轉(zhuǎn)動過程中的重力力矩時，指針便停止不轉(zhuǎn)。按說，這一情形在表盤上6～12點中的任一位置均可發(fā)生，例題的正確選項是D才對。那么，為什么還會出現(xiàn)看似不應(yīng)該，而實際上又總是發(fā)生的現(xiàn)象呢？

鐘表在工作過程中，除了因為指針重心不在軸心，轉(zhuǎn)動過程中需要外力提供力矩維持其持續(xù)轉(zhuǎn)動之外，內(nèi)部很多齒輪在轉(zhuǎn)動過程中會有摩擦，克服齒輪轉(zhuǎn)動過程中的摩擦力，也要消耗電能，需要動力設(shè)備提供額外的轉(zhuǎn)動力矩。隨著電池電能的不停消耗，電池的內(nèi)阻會不斷增加，由閉合電路的歐姆定律可知，電池所能提供給外電路的路端電壓會隨時間的延續(xù)而不斷減小。所以，通過動力設(shè)備提供給機械裝置的轉(zhuǎn)動力矩會不斷減小。由于不論電池的電動勢如何減小，因轉(zhuǎn)動摩擦而需要的額外力矩是常量，該力矩不會因電池電量的消耗而變化。所以，我們只需比較除去這部分力矩之外，電源所能提供的最大力矩（指的是提供給指針的最大力矩）跟指針轉(zhuǎn)動過程中所需要的最大力矩之間的關(guān)系即可。

我們在同一坐標(biāo)系中繪出兩力矩隨時間的變化關(guān)系圖像，如圖2所示。一般鐘表的電功率通常非常?。ㄒ还?jié)干電池可以供鐘表正常運轉(zhuǎn)1年左右的事實，充分說明鐘表的電功率非常小）。所以，剔除克服齒輪轉(zhuǎn)動摩擦所需要的額外力矩之外，電源通過動力設(shè)備能夠提供給指針的最大扭轉(zhuǎn)力矩隨時間的延續(xù)，雖然減小，但減小的速度應(yīng)該非常之慢，其圖像近乎跟橫軸相平行（圖2中的黑色曲線）。所以，鐘表指針轉(zhuǎn)動過程中，該圖像與指針重力力矩的變化圖像（圖中的紅色曲線——正弦曲線）的交點，應(yīng)該在正弦曲線圖像的最高點附近，而這一區(qū)間對應(yīng)的時間段剛好在鐘表表盤的9點前后。

當(dāng)然，如果（我們說的僅僅是“如果”，這種假設(shè)情形基本上不存在）電源提供給外電路的路端電壓隨時間的延續(xù)減小得非常快，電源通過動力設(shè)備所能提供給指針的最大扭轉(zhuǎn)力矩減小的速度也將非?？臁４藭r，兩函數(shù)圖像的交點未必在指針重力力矩變化圖像的最高點（參見圖3），交點位置可以在鐘表表盤6～12點的任意位置（將圖3中的黑色曲線左右平移即可看得出來），不用說，鐘表指針因電池電量的消耗而停止的位置，可以是6～12點的任意時刻。

這樣看來，電池電量耗盡的鐘表，指針的確多停止于表盤的9點前后位置，其主要原因有二：其一，這一時刻指針重力力矩最大；其二，由于鐘表耗電的電功率非常小，電源提供的路端電壓隨時間的延續(xù)減小得非常慢。

（欄目編輯 王柏廬）