電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的雙桿模型歸類(lèi)與剖析

鄭行軍

摘 要：電磁感應(yīng)現(xiàn)象的知識(shí)應(yīng)用歷來(lái)都是高考的重點(diǎn)，其中有關(guān)桿切割磁感線(xiàn)的問(wèn)題是典型的綜合題之一，其綜合性強(qiáng)、能力要求高，是高考命題的熱點(diǎn)。利用模型化的思想構(gòu)建出可能會(huì)出現(xiàn)的雙導(dǎo)體桿切割問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生快速找到此類(lèi)問(wèn)題的解題方向，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：雙導(dǎo)體桿；動(dòng)力學(xué)關(guān)系；功能關(guān)系；交替切割；穩(wěn)態(tài)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）1-0075-3

在電磁感應(yīng)問(wèn)題中，常遇到桿在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，這類(lèi)題目的共同特征是導(dǎo)體桿沿互相平行的軌道做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為“桿+導(dǎo)軌”模型。其中，有關(guān)雙導(dǎo)體桿的切割磁感線(xiàn)問(wèn)題是此類(lèi)模型的難點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是研究對(duì)象多、運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜、知識(shí)和能力的綜合性強(qiáng)，不僅要用到電磁學(xué)中的有關(guān)規(guī)律，還要涉及到力學(xué)中的有關(guān)規(guī)律。本文就雙導(dǎo)體桿切割磁感線(xiàn)問(wèn)題歸納可能構(gòu)建的題型及相應(yīng)的解題策略。

1.兩導(dǎo)體桿均處于磁場(chǎng)內(nèi)，其中一桿切割磁感線(xiàn)，另一桿處于靜止。

例1 如圖1甲所示，固定在水平桌邊上的L雙軌型平行金屬導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，傾角θ=53 °，間距L=2 m，電阻不計(jì)。導(dǎo)軌上兩根金屬棒a、b的阻值分別為R1=25 Ω，R2=4 Ω。a棒的質(zhì)量m1=5.0 kg，b棒質(zhì)量m2=1.0 kg。a棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=2/15，b棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.5。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，整個(gè)導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5 T、方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中?，F(xiàn)將a棒從導(dǎo)軌上離桌面某一高度處由靜止釋放，當(dāng)它剛要滑出導(dǎo)軌時(shí)，b棒也恰好開(kāi)始滑動(dòng)，且a棒下滑階段，通過(guò)a棒的電荷量為q=2 C，g取l0 m/s2。

（1）求在a棒整個(gè)下滑階段，b棒中產(chǎn)生的熱量；

（2）若a棒無(wú)論從多高的位置釋放，b棒都不動(dòng)，求a棒的質(zhì)量滿(mǎn)足的條件。

解析 （1）因兩棒串聯(lián)，所以?xún)砂羲馨才嗔Υ笮∠嗟?。在b棒剛滑動(dòng)時(shí)，設(shè)a棒的速度為v，此時(shí)對(duì)b棒有：BILsin37 °=μ2（m2g+BILcos 37 °），

且I= ，聯(lián)立解得：v=1.5 m/s。

設(shè)a棒下滑的距離為x，

則q= ，得x=1.2 m。

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由功能關(guān)系得：

Q=（m1gsin53 °-μ1m1gcos53 °）x- m1v2 ，

由串聯(lián)電路知識(shí)可得：b棒產(chǎn)生的熱量

Q'= Q，

聯(lián)立上述方程并代入數(shù)據(jù)得Q'=25.05 J。

（2）分析可知，當(dāng)a棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，b棒都未滑動(dòng)，則滿(mǎn)足題目要求。

勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)a棒：F =m gsinθ-μ m gcosθ，

此時(shí)對(duì)b棒：F ·sin37 °≤μ2（m2g+F cos37 °），

代入數(shù)據(jù)解得：m ≤ kg≈3.47 kg。

思路點(diǎn)撥：兩導(dǎo)體桿雖都分布于磁場(chǎng)內(nèi)，但在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有其中一根桿在切割磁感線(xiàn)，該模型的本質(zhì)仍為單桿問(wèn)題。分析此類(lèi)題型可分別對(duì)兩根導(dǎo)體桿進(jìn)行受力分析，切割桿可按單桿模型對(duì)其動(dòng)態(tài)分析，靜止桿可利用平衡方程進(jìn)行處理，然后以電流強(qiáng)度作為橋梁聯(lián)立求解即可，但在分析時(shí)要注意電源的位置及雙桿的連接方式。

2.兩導(dǎo)體桿均處于磁場(chǎng)內(nèi)，其中一桿切割磁感線(xiàn)，另一桿與磁場(chǎng)方向共線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（v∥B）。

例2 如圖2甲所示，彎折成90 °角的兩根足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌平行放置，形成左右兩導(dǎo)軌平面，左導(dǎo)軌平面與水平面成53 °角，右導(dǎo)軌平面與水平面成37 °角，兩導(dǎo)軌相距L=0.2 m，電阻不計(jì)。質(zhì)量m=0.1 kg，電阻R=0.1 Ω的金屬桿a、b與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，金屬桿與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小為1.0 T、方向平行于左導(dǎo)軌平面且垂直右導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。t=0時(shí)刻開(kāi)始，a桿以初速度v0沿右導(dǎo)軌平面下滑。t=l s時(shí)刻開(kāi)始，對(duì)a桿施加一垂直a桿且平行右導(dǎo)軌平面向下的力F，使b桿開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。b桿運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖2乙所示（其中第1 s、第3 s內(nèi)圖線(xiàn)為直線(xiàn)）。若兩桿在下滑過(guò)程中均保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，g取10 m/s2，sin37 °=0.6，cos37 °=0.8。求：

（1）a桿的初速度v0；

（2）若第2 s內(nèi)力F所做的功為9 J，求第2 s內(nèi)b桿所產(chǎn)生的焦耳熱。

解析 （1）由題意第1 s內(nèi)對(duì)b桿：由圖2乙得：a1=4 m/s2。

由牛頓第二定律得：

mgsin53 °-μ（mgcos53 °+FB1）=ma1。

設(shè)1 s時(shí)a桿速度為v1，第1 s內(nèi)a桿：E=BLv1，I= ，F(xiàn)B1=BIL， 解之得：v0=v1=1 m/s。

（2）由題意第3 s內(nèi)對(duì)b桿：

由圖2乙得：a3=-4 m/s2。

設(shè)2 s時(shí)a桿的速度為v2，對(duì)b桿，由牛頓第二定律得：

mgsin53 °-μ（mgcos53 °+ ）=ma3，解之得：v2=9 m/s。

第2 s內(nèi)a桿的位移：x2= t=5 m。

由動(dòng)能定理得：WF+mgx2sin37 °-μmgx2cos37 °-2Qb= mv - mv ，解之得：Qb=3 J。

思路點(diǎn)撥：此類(lèi)題目分析時(shí)，切割桿按單桿模型進(jìn)行分析和處理，共線(xiàn)桿（速度方向平行于磁場(chǎng)方向）對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，尋找最終穩(wěn)態(tài)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，然后以電流強(qiáng)度為橋梁聯(lián)立兩桿方程進(jìn)行求解，該模型的本質(zhì)仍為單桿問(wèn)題。

3.兩導(dǎo)體桿交替切割磁感線(xiàn)。

例3 如圖3所示，兩根電阻忽略不計(jì)的平行光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其上端接一阻值為3 Ω的定值電阻R。在水平虛線(xiàn)L1、L2之間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的高度為d，d=0.5 m。導(dǎo)體棒a的質(zhì)量ma=0.2 kg、電阻Ra=3 Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量mb=0.1 kg、電阻Rb=6 Ω。它們分別從圖中M、N處同時(shí)由靜止開(kāi)始在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦向下滑動(dòng)，都能勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，且當(dāng)導(dǎo)體棒b剛離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體棒a正好進(jìn)入磁場(chǎng)。設(shè)重力加速度g=10 m/s2，不計(jì)導(dǎo)體棒a、b之間的相互作用，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直且與導(dǎo)軌接觸良好。求：

（1）在整個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)體棒a克服安培力所做的功；

（2）M處、N處與L1的高度差各是多大。

解析 （1）因?yàn)閷?dǎo)體棒a勻速通過(guò)磁場(chǎng)，克服安培力做的功等于重力做的功，即：

Wa=magd，故Wa=1.0 J。

（2）設(shè)導(dǎo)體棒b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為vb，回路總電阻R1=7.5 Ω，Eb=BLvb。

導(dǎo)體棒b中的電流Ib= ，mbg=BIbL。

同理，設(shè)導(dǎo)體棒a在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為va，回路總電阻R2=5 Ω，Ea = BLva，

Ia= ，mag=BIaL，得 = 。

設(shè)導(dǎo)體棒b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，d=vbt，va=vb+gt，得：v = m2/s2，v =15 m2/s2 。

設(shè)M、N與L1的高度差為ha、hb，

有：v =2gha，v =2ghb，

得：ha= m，hb= m 。

思路點(diǎn)撥：兩導(dǎo)體棒在交替切割時(shí)，等效電源的位置會(huì)發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電流的閉合回路的連接方式也會(huì)發(fā)生變化，故在分析時(shí)要同時(shí)對(duì)兩導(dǎo)體棒進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和電路的動(dòng)態(tài)分析，并挖掘兩桿中關(guān)聯(lián)隱含量的關(guān)系（一般為時(shí)間關(guān)系），聯(lián)立求解。

4. 兩導(dǎo)體桿均分布于磁場(chǎng)內(nèi)，同時(shí)切割磁感線(xiàn)。

例4 如圖4，兩條平行的長(zhǎng)直金屬細(xì)導(dǎo)軌KL、PQ固定于同一水平面內(nèi)，它們之間的距離為d，電阻可忽略不計(jì)。a和b是兩根質(zhì)量分別為m1、m2的金屬細(xì)桿，桿與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好，并可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑動(dòng)。兩桿的電阻均為R，導(dǎo)軌和金屬細(xì)桿都處于垂直于導(dǎo)軌所在平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，大小為B。在桿b的中點(diǎn)施加一水平恒力F，兩桿都從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直至流過(guò)兩桿中的電流不再變化，求：

（1）兩桿的初始加速度分別為多少？

（2）兩桿最終的加速度分別為多少？

（3）兩桿速度差的最大值為多少？

（4）當(dāng)流過(guò)兩桿中的電流不再變化時(shí)，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t，回路中產(chǎn)生的熱量為多少？

解析 （1）初始時(shí)，無(wú)速度，無(wú)安培力。所以，a桿的加速度a1=0，b桿的加速度a2= 。

（2）b開(kāi)始加速，v↑？圯E ↑？圯I ↑？圯F ↑，b桿的加速度減小，a桿的加速度增大。當(dāng)兩者加速度相等時(shí)，即Δv不變時(shí)，F(xiàn) 不變，則加速度a不再變化，兩桿中感應(yīng)電流恒定，兩桿最終加速度相同，a= （a桿：F =m a，b桿：F-F =m a）。

（3）加速度a相同時(shí)，Δv最大，F(xiàn) = =

B d？圯Δv= 。

（4）由于I感恒定，Q=I 2Rt=（ ）2·2R·t= 。

思路點(diǎn)撥：兩根桿同時(shí)在切割磁感線(xiàn)，此時(shí)回路中會(huì)同時(shí)存在兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，該模型的分析涉及兩電源的連接方式問(wèn)題和雙桿的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題。在涉及動(dòng)態(tài)分析時(shí)，應(yīng)注意雙桿系統(tǒng)有外力作用和無(wú)外力作用的最終穩(wěn)態(tài)問(wèn)題。

從以上題型分析可知，掌握住這類(lèi)問(wèn)題的處理方法是根本，即使題型再發(fā)生變化，處理方法也是不會(huì)變的。處理電磁感應(yīng)現(xiàn)象中雙桿切割磁感線(xiàn)問(wèn)題的基本方法和思路是：先由法拉第電磁感應(yīng)定律確定閉合電路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，然后根據(jù)歐姆定律確定感應(yīng)電流，再根據(jù)F=BIL確定安培力，對(duì)兩根導(dǎo)體桿進(jìn)行受力分析，由于安培力的大小一般與導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)的速度有關(guān)，速度變化時(shí)，安培力也隨之變化，從而使研究對(duì)象的受力情況發(fā)生變化，而力的變化必然導(dǎo)致物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，因而在分析有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意上述的聯(lián)系。由于這類(lèi)問(wèn)題中物理過(guò)程比較復(fù)雜，狀態(tài)變化過(guò)程中變量比較多，要求學(xué)生要有較高的動(dòng)態(tài)分析能力，所以分析、求解過(guò)程更能體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性和嚴(yán)密性。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯 鄧 磊）