電磁矢量陣列的四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法

張遠(yuǎn)芳，李會(huì)勇，謝菊蘭

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院, 成都 611731)

·信號(hào)處理·

電磁矢量陣列的四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法

張遠(yuǎn)芳，李會(huì)勇，謝菊蘭

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院, 成都 611731)

對(duì)于電磁矢量陣列的相干信源波達(dá)方向估計(jì)，針對(duì)空間平滑算法解相干時(shí)減少陣列有效孔徑的問(wèn)題，提出了一種四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法。首先，根據(jù)四元數(shù)的正交特性建立了信號(hào)接收模型，很好地保持了電磁矢量陣列的陣元輸出信號(hào)兩分量間的正交性，同時(shí)保證了波達(dá)方向角信息和極化信息都能包含在重構(gòu)矩陣中；然后，在陣列各陣元接收數(shù)據(jù)與參考陣元接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)基礎(chǔ)上，構(gòu)成Hermitian Toeplitz矩陣，從而實(shí)現(xiàn)解相干。該算法與空間平滑算法相比增加了相干信源估計(jì)個(gè)數(shù)，且在低信噪比和入射角度接近時(shí)具有更好的估計(jì)性能，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得到了驗(yàn)證。

電磁矢量陣列；相干；四元數(shù)；Toeplitz矩陣

0 引 言

電磁矢量陣列能夠同時(shí)獲得波達(dá)方向信息和極化信息，較傳統(tǒng)標(biāo)量陣列具有諸多優(yōu)良的性能[1-2]。波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)，傳統(tǒng)的基于子空間類算法，如多重信號(hào)分類(MUSIC)算法、旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)算法，對(duì)于非相干信源具有很好的估計(jì)性能[3-4]。由于空間中復(fù)雜電磁干擾和多徑效應(yīng)使得信號(hào)源產(chǎn)生相干，導(dǎo)致接收信號(hào)自相關(guān)矩陣秩虧，子空間類DOA估計(jì)算法失效。

空間平滑算法[5-7]是一種常用的電磁矢量陣列解相干算法，但是此類算法是以減少陣列有效孔徑為代價(jià)來(lái)解相干的。文獻(xiàn)[8-9]提出了極化平滑算法以及一系列在此基礎(chǔ)上的改進(jìn)算法，雖然沒(méi)有減少陣列有效孔徑，但是最多只能估計(jì)六個(gè)信號(hào)源。文獻(xiàn)[10-11]提出了基于四元數(shù)的空間平滑解相干算法，在估計(jì)性能上有所提高，但是解相干信源個(gè)數(shù)仍然有所限制。文獻(xiàn)[12]提出了電磁矢量傳感器陣列的矩陣重構(gòu)算法，該算法只是將接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣的第一行元素進(jìn)行矩陣重構(gòu)，并未將信息全部用到。本文提出了一種基于四元數(shù)的Toeplitz矩陣重構(gòu)算法。

1 四元數(shù)信號(hào)模型

如圖1所示的均勻線陣由M個(gè)沿y軸排列的陣元構(gòu)成，陣元間距為d。其中每個(gè)陣元由兩正交的電偶極子對(duì)構(gòu)成，兩正交的電偶極子分別沿平行于x軸和y軸方向放置。兩正交分量的極化導(dǎo)向矢量為

(1)

式中：θ∈[-π/2, π/2)為入射信號(hào)俯仰角；φ∈[0,2π)為入射信號(hào)方位角；γ∈[0,π/2)為極化幅角；η∈[-π,π)為極化相位差。

圖1 極化敏感陣列結(jié)構(gòu)圖

一個(gè)信號(hào)s(t)入射到均勻線性陣列，為方便分析，固定φ=π/2，則接收信號(hào)的兩分量xmx(t)和xmy(t)可以表示為

xmx(t)=-cosγs(t)

(2)

xmy(t)=cosθsinγejηs(t)

(3)

用四元數(shù)來(lái)表示接收信號(hào)的兩分量，則可以寫(xiě)成

(-cosγ+icosθsinγejη)s(t)=

P(θ,γ,η)s(t)

(4)

式中：P(θ,γ,η)為一個(gè)四元數(shù)。對(duì)于整個(gè)陣列的接收信號(hào)可以表示為

x(t)=P(θ,γ,η)s(t)as(θ)

(5)

式中：as=[1,ejφ,…,ej(M-1)φ]T為空間導(dǎo)向矢量；φ=2πdsinθ/λ。

假設(shè)空間中有K個(gè)信號(hào)入射到陣列，陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

Ds(t)+N(t)

(6)

式中：D為陣列四元數(shù)流形矩陣；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為入射信號(hào)；N(t)為零均值，方差為σ2的高斯白噪聲。D表示為

(7)

接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣表示為

Rx=E[X(t)X?(t)]=DRsD?+σ2I

(8)

式中：符號(hào){?}表示四元數(shù)共軛轉(zhuǎn)置；Rs表示入射信號(hào)自相關(guān)矩陣。由于入射信號(hào)相干使得Rs不再是一個(gè)滿秩的矩陣，一般的參數(shù)估計(jì)方法都不再適用，接下來(lái)將進(jìn)行解相干處理以恢復(fù)接收信號(hào)自相關(guān)矩陣的秩。

2 四元數(shù)Toeplizt矩陣重構(gòu)算法

第m個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)可以表示為

xm(t)=xmx(t)+ixmy(t)=

D(m)s(t)+nm(t)

(9)

式中：D(m)表示D的第m行所有元素。

第一個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)可以表示為

x1(t)=D(1)s(t)+n1(t)

(10)

以第一個(gè)陣元為參考陣元，定義相關(guān)函數(shù)為

D(1)E[s(t)s?(t)]D?(m)+σ2δ(m-1)=

D(1)RsD?(m)+σ2δ(m-1)

(11)

將m從1到M的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行排序，得到矢量為[r(0),r(1),…,r(M-1)]，將式(10)代入矢量可以得到

[r(0),r(1),…,r(M-1)]=D(1)Rs[D?(1),

D?(2),…,D?(M)]+[σ2,0,…,0]

(12)

構(gòu)造如下形式的矩陣

(13)

可以看出，矩陣包含所有的信號(hào)源入射角信息和極化信息，由式(11)可以得到r(m-1)=r*(1-m)，證明如下

r(m-1)=D(1)RsD?(m)+σ2δ(m-1)=

σ2δ(m-1)

(14)

r(1-m)=D(m)RsD?(1)+σ2δ(m-1)=

σ2δ(m-1)

(15)

由式(14)和式(15)可得

r(m-1)

(16)

因此RT為Hermitian Toeplitz 矩陣，從而實(shí)現(xiàn)了解相干[13]。

對(duì)重構(gòu)矩陣RT進(jìn)行特征值分解得到信號(hào)子空間和噪聲子空間，利用四元數(shù)MUSIC算法[10]來(lái)完成參數(shù)估計(jì)，譜峰極大值處對(duì)應(yīng)的角度即為信號(hào)入射角度。

3 算法仿真與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法和四元數(shù)空間平滑算法解相干信源個(gè)數(shù)的對(duì)比。

假設(shè)陣元數(shù)M=8，陣元間距d=λ/2，噪聲為高斯白噪聲，其功率為1，快拍數(shù)為512，信噪比為10 dB。相干信號(hào)個(gè)數(shù)K=6，其來(lái)波方向角分別為-60°、-40°、-20°、0°、30°、60°，極化參數(shù)(γ1,η1)=(10°,50°)、(γ2,η2)=(20°,30°)、(γ3,η3)=(10°,15°)、(γ4,η4)=(40°,60°)、(γ5,η5)=(30°,40°)、(γ6,η6)=(50°,80°)。平滑算法中子陣數(shù)目為p=5，每個(gè)子陣包括的陣元數(shù)l=M-p+1=4。從圖2可以看出本文介紹的四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法能夠?qū)α鶄€(gè)完全相干信源解相干得到DOA估計(jì)。而對(duì)于空間平滑算法找不到同時(shí)滿足m≥K，p≥K的m和p，所以不能應(yīng)用空間平滑算法對(duì)六個(gè)完全相干信源解相干，從圖3可以看出空間平滑算法最多只能對(duì)4個(gè)相干信源解相干。

圖2 四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法對(duì)六個(gè)相干源的DOA估計(jì)

圖3 四元數(shù)空間平滑算法對(duì)四個(gè)相干源的DOA估計(jì)

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法和四元數(shù)空間平滑算法分辨性能對(duì)比。

對(duì)于兩個(gè)入射角度接近的相干信源，來(lái)波方向角分別為40°、35°，極化參數(shù)分別為(γ1,η1)=(50°,80°)、(γ2,η2)=(20°,30°)，其余條件與實(shí)驗(yàn)1相同。從圖4可以看出Toeplitz矩陣重構(gòu)算法能夠在兩個(gè)相隔較近的來(lái)波方向形成了兩個(gè)尖銳的譜峰，而四元數(shù)空間平滑算法只形成了一個(gè)譜峰，參數(shù)估計(jì)失敗。圖5給出了100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)時(shí)波達(dá)方向角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在入射角度接近時(shí)，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法比四元數(shù)空間平滑算法具有更低的誤差，參數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)越。

圖4 兩個(gè)入射角度相近的相干源DOA估計(jì)

圖5 兩個(gè)入射角度相差較近的相干信源

對(duì)于兩個(gè)入射角度相差較大的相干信源，來(lái)波方向角分別為40°、10°，極化參數(shù)分別為(γ1,η1)=(50°,60°)、(γ2,η2)=(20°,30°)，其余條件與實(shí)驗(yàn)1相同。圖6給出了100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)時(shí)波達(dá)方向角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在入射角度相差較大時(shí)，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法比四元數(shù)空間平滑算法具有更低的誤差，參數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)越。綜上可以看出無(wú)論兩信號(hào)入射角度相距如何，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法都比四元數(shù)空間平滑算法具有更好的估計(jì)性能。

圖6 兩個(gè)入射角度相差較遠(yuǎn)的相干信源

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)3

快拍數(shù)對(duì)四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法和四元數(shù)空間平滑算法性能的影響。

入射信號(hào)信噪比SNR=10 dB，其余條件與實(shí)驗(yàn)2相同。圖7給出了波達(dá)方向角估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法的收斂速度很快，隨著快拍數(shù)增加，兩種算法的DOA估計(jì)誤差越來(lái)越小。在相同快拍數(shù)的條件下，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法比四元數(shù)空間平滑算法具有更好的估計(jì)性能。

圖7 DOA估計(jì)均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于電磁矢量陣列的相干信源參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文提出了一種四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法，利用四元數(shù)的特性，將入射信號(hào)的所有信息都用到了算法中。同時(shí)利用所有陣元與參考陣元的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行排序構(gòu)成了Toeplitz矩陣，實(shí)現(xiàn)了解相干，獲得了較好的參數(shù)估計(jì)。與四元數(shù)空間平滑算法相比，該算法不需要減少陣列的有效孔徑，從而增加了相干信源估計(jì)個(gè)數(shù)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明了對(duì)于入射信號(hào)到達(dá)角的估計(jì)，四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法比四元數(shù)空間平滑算法具有更優(yōu)的性能。

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張遠(yuǎn)芳 女，1990年生，碩士研究生。研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

李會(huì)勇 男，1975年生，教授，博士和碩士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)及陣列信號(hào)處理、雷達(dá)系統(tǒng)及信號(hào)處理。

謝菊蘭 女，1981年生，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)及陣列信號(hào)處理、雷達(dá)系統(tǒng)及信號(hào)處理。

Quaternion Toeplitz Matrix Reconstruction Algorithm Based on Electromagnetic Vector Sensor Array

ZHANG Yuanfang，LI Huiyong，XIE Julan

(School of Electronic Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

For DOA estimation of coherent sources based on electromagnetic vector sensor array, spatial smoothing algorithm reduced the number of array aperture. A quaternion Toeplitz matrix reconstruction algorithm is proposed. First of all, receiving signal model is established according to the orthogonal property of quaternion, orthogonal structure of two components keeps well for electromagnetic vector sensor array and at the same time DOA and polarization information can be ensured in the reconstruction matrix. Then hermitian Toeplitz matrix is constituted based on the receive data's correlation function between each array element and reference array element. Compared with spatial smoothing algorithm, it increases the number of coherent sources that can be estimated. In the condition of low signal-to-noise ratio and close incident angles, it has better estimation performance. The simulation experiment proves the correctness of the algorithm.

electromagnetic vector sensor array; coherent; quaternion; Toeplitz matrix

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.04.010

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61371184，61301262)；中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目(115719)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(ZYGX2013J022)

張遠(yuǎn)芳 Email：yaoyuanstar@hotmail.com

2015-11-23

2016-01-25

TN957；TN911.7

A

1004-7859(2016)04-0042-04