高等數(shù)學(xué)的“補(bǔ)美法”技巧

蔡 瑾， 董 艷， 陳 琳

(1.中國(guó)人民公安大學(xué)信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院， 北京 100038； 2.成都工業(yè)學(xué)院, 四川成都 610031)

高等數(shù)學(xué)的“補(bǔ)美法”技巧

蔡 瑾， 董 艷， 陳 琳

(1.中國(guó)人民公安大學(xué)信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院， 北京 100038； 2.成都工業(yè)學(xué)院, 四川成都 610031)

數(shù)學(xué)不是從一開(kāi)始產(chǎn)生就象教科書中那么完美，其往往是出于解決問(wèn)題的需要，以一種直觀的形式發(fā)展出來(lái)的，進(jìn)而才有了數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性、奇異性的特征。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)定義、定理、數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用這三方面闡述了補(bǔ)美思想在其中的應(yīng)用，闡明了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的學(xué)習(xí)方法——補(bǔ)美法。通過(guò)補(bǔ)美法原理的應(yīng)用來(lái)激發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)效率、訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維以及培養(yǎng)其創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)美； 補(bǔ)美法； 高等數(shù)學(xué)

0 引言

數(shù)學(xué)是理性思維和想象的結(jié)合，其歷來(lái)以其高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性為人們所賞識(shí)，卻很少有人把它與美學(xué)聯(lián)系起來(lái)，英國(guó)著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素指出：“數(shù)學(xué)，如果正常看它，不但擁有真理，而且也具有至高無(wú)上的美?！?美是科學(xué)和藝術(shù)共同追求的東西，什么是美呢？美有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一、一切絕妙的美都顯示出奇異的均衡關(guān)系(培根)。二、美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧(海森伯)。數(shù)學(xué)美不同于藝術(shù)美，數(shù)學(xué)美主要表現(xiàn)為簡(jiǎn)單性、和諧性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性、奇異性。

當(dāng)某一事物其內(nèi)容和形式不完善時(shí)，我們往往會(huì)根據(jù)美的原理及規(guī)律去改造和完善它，這一過(guò)程中使用的方法稱為補(bǔ)美法。數(shù)學(xué)中的補(bǔ)美法是建立在深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基本思想上，且必須要輔以數(shù)學(xué)美的基本原理才能實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的補(bǔ)美給人以完整的美感，其具有簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性和奇異性的特點(diǎn)，而補(bǔ)美法的技巧在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中處處都有體現(xiàn)。高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的和諧性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)形式的完整性、奇異性，都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容。但是只有通過(guò)補(bǔ)美法的應(yīng)用，才能使上述特性得以實(shí)現(xiàn)。在教學(xué)中有意識(shí)地教給學(xué)生一種重要的學(xué)習(xí)方法——補(bǔ)美法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著十分重要和積極的作用。高等數(shù)學(xué)中補(bǔ)美法的技巧有多種類型：從不完整到完整、從規(guī)則到不規(guī)則、從不對(duì)稱到對(duì)稱、從無(wú)序到有序，其主要應(yīng)用如下：

1 數(shù)學(xué)定義的補(bǔ)美

數(shù)學(xué)定義隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展會(huì)產(chǎn)生局限性，為改變這種情況，就必須對(duì)定義進(jìn)行延拓與補(bǔ)充，使其更加完美。

例1 數(shù)列極限定量定義→函數(shù)極限定量定義

在講授極限定義時(shí)，我們先從劉徽的割圓術(shù)給出了數(shù)列極限的定義：若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n>N的一切xn，不等式|xn-a|<ε都成立，稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限。數(shù)列作為特殊函數(shù)，其自變量為正整數(shù)，而對(duì)于一般的函數(shù)來(lái)說(shuō)，其自變量是實(shí)數(shù)，又如何給出函數(shù)極限的定義？根據(jù)補(bǔ)美法“統(tǒng)一性”的特點(diǎn)，我們?cè)诶斫鈹?shù)列極限的定義基礎(chǔ)上，把正整數(shù)n連續(xù)化，也就是說(shuō)，數(shù)列極限是n沿?cái)?shù)軸上正整數(shù)跳躍地趨于+∞，函數(shù)極限是x沿?cái)?shù)軸上一切點(diǎn)連續(xù)地趨于∞，如圖1、圖2所示。由此引入了函數(shù)極限的定義：如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)X，使得對(duì)適合不等式|x|>X的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，稱常數(shù)A是f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限。這一定義進(jìn)一步完善了極限這一體系，既符合數(shù)學(xué)美的“和諧性”又符合“統(tǒng)一性”，而且也讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在感受到數(shù)學(xué)美是看得見(jiàn)、摸得著的，并不是數(shù)學(xué)家們憑空臆造出來(lái)的。

圖1 數(shù)列極限

圖2 函數(shù)極限

例2 規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積

運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)，我們會(huì)求正多邊形、圓等規(guī)則圖形的面積。但在實(shí)際生活中，大量是求不規(guī)則圖形的面積。如測(cè)量河流的流量，需要知道河床斷面的面積；又如在設(shè)計(jì)船體時(shí)，需要計(jì)算水線面面積。這些都需討論不規(guī)則圖形的面積，即由任意曲線圍成的封閉圖形的面積。根據(jù)補(bǔ)美法“統(tǒng)一性及奇異性”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積，再求兩個(gè)曲邊梯形面積之差——即為所求的封閉圖形的面積，這樣就拓展了面積的計(jì)算公式，定積分的定義應(yīng)運(yùn)而生。其定義采用了“分割、近似、求和、取極限”四個(gè)步驟，得到曲邊梯形面積，如圖3所示。

圖3 曲邊梯形的面積

(λ=max {Δxi})

由本例我們可以看到：依據(jù)美的規(guī)律，用補(bǔ)美法的“統(tǒng)一性及奇異性”引入定積分的定義，使求面積的方法更加完善，從而達(dá)到美的境界。

2 數(shù)學(xué)定理的補(bǔ)美

數(shù)學(xué)定理及其形式的簡(jiǎn)單性、完整性、對(duì)稱性只有通過(guò)補(bǔ)美法的應(yīng)用，才能使上述特性得以實(shí)現(xiàn)?？梢?jiàn)，補(bǔ)美法是對(duì)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的一種深入，不僅具有美學(xué)價(jià)值，更具有方法論意義。

例3 兩個(gè)向量平行充分必要條件的簡(jiǎn)化

向量a=(ax,ay,az)與向量b=(bx,by,bz)平行的充分必要條件是

aybz-azby=0;azbx-axbz=0

axby-aybx=0

(1)

式(1)表達(dá)形式冗長(zhǎng)，顯然不符合數(shù)學(xué)美的“簡(jiǎn)單性”要求，根據(jù)補(bǔ)美法“簡(jiǎn)單性”的特點(diǎn)可化簡(jiǎn)為

(2)

式(2)雖然簡(jiǎn)單明了，但還不夠完善，在bx，by，bz都不等于零時(shí)，式(2)和式(1)具有相同意義；但當(dāng)bx，by，bz中有零時(shí)，式(2)具有局限性。根據(jù)補(bǔ)美法“統(tǒng)一性及對(duì)稱性”的特點(diǎn)，補(bǔ)充規(guī)定：

(3)

式(3)代表ax=0，ay=0。這樣式(2)得以完善。可見(jiàn)，該例中補(bǔ)美法的應(yīng)用促進(jìn)了等式的對(duì)稱、整齊，既符合“簡(jiǎn)單性”又符合“對(duì)稱性”的具體要求，體現(xiàn)了美與真的統(tǒng)一，進(jìn)而使學(xué)生更加深入透徹的理解所學(xué)知識(shí)。

例4 正項(xiàng)級(jí)數(shù)極限形式比較審斂法的完善

3 數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的補(bǔ)美

在高等數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用補(bǔ)美法，將為解題帶來(lái)方便。補(bǔ)美法的探究與運(yùn)用，不僅能訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，引導(dǎo)他們?cè)诮忸}中直覺(jué)地運(yùn)用補(bǔ)美技巧，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力會(huì)有所裨益。解題補(bǔ)美三部曲：第一步、問(wèn)題難在哪里？第二步、怎樣改動(dòng)有利于解題？第三步、跟著感覺(jué)走。

故x=1為函數(shù)第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)，如圖4所示。問(wèn)題難在哪里？x=1是可去間斷點(diǎn)，而其它所有的點(diǎn)都是連續(xù)點(diǎn)，這樣就不符合數(shù)學(xué)美的“統(tǒng)一性”要求，按照補(bǔ)美法的“統(tǒng)一性”補(bǔ)充定義：f(1)=2，即

圖4 補(bǔ)充定義前的函數(shù)

這樣一來(lái)y在點(diǎn)x=1處就連續(xù)了，從而在所有點(diǎn)都連續(xù)，如圖5所示。

圖5 補(bǔ)充定義后的函數(shù)

可見(jiàn)，本例x=1本來(lái)是可去間斷點(diǎn)，但通過(guò)補(bǔ)美法的應(yīng)用，則函數(shù)在x=1處就變得連續(xù)，實(shí)現(xiàn)了全體點(diǎn)的統(tǒng)一，達(dá)到美的境界，學(xué)生對(duì)可去間斷點(diǎn)概念的印象也會(huì)非常深刻。

例6 在什么條件下，(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？

可見(jiàn)，本例是根據(jù)自身特點(diǎn)，挖掘美學(xué)因素，通過(guò)補(bǔ)美法的應(yīng)用求解，達(dá)到整體的和諧與統(tǒng)一。

例7 設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上均連續(xù)，證明柯西—施瓦茲不等式

得到

最后用韋達(dá)定理即可證得。

令φ(x)=f(x)+λg(x)

則φ2(x)=f2(x)+2λf(x)g(x)+λ2g2(x)≥0

從而有

可見(jiàn)，本例是根據(jù)不等式內(nèi)部結(jié)構(gòu)，通過(guò)補(bǔ)美法的應(yīng)用巧妙構(gòu)造關(guān)系式，既滿足數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的“奇異性”，又滿足“和諧性”，這樣學(xué)生就能掌握并熟悉這類證明題的方法。

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)的補(bǔ)美是迷人的。很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)始常常讓人感覺(jué)無(wú)從下手，但是一經(jīng)補(bǔ)充這種獨(dú)特的思路，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題便迎刃而解，讓人豁然開(kāi)朗，因此在具體的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)諸如上述問(wèn)題，我們應(yīng)該充分應(yīng)用補(bǔ)美法的原理，引導(dǎo)學(xué)生在高數(shù)學(xué)習(xí)中去挖掘、去欣賞數(shù)學(xué)美，使數(shù)學(xué)變得生動(dòng)、活潑、有趣，以此激發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)美，這樣學(xué)生會(huì)在心靈上得到一種共鳴，在思考過(guò)程中得以盡情享受“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的樂(lè)趣，學(xué)習(xí)興趣油然而生。這樣一來(lái)，一方面能使學(xué)生得到一種美的享受，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率；另一方面對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力等都會(huì)產(chǎn)生潛移默化的作用。

[1] 吳開(kāi)朗. 數(shù)學(xué)美學(xué)[M]. 北京：北京教育出版社,1993.

[2] 沈山劍. 也談數(shù)學(xué)美——補(bǔ)美思想的數(shù)學(xué)應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1998(4):10-12.

[3] 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義第五版[M]. 北京：高等教育出版社,2010.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)第六版[M]. 北京：高等教育出版社,2007.

[5] 吳振奎,吳旻. 數(shù)學(xué)中的美[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011.

(責(zé)任編輯 于瑞華)

蔡瑾(1971—)，女，河北辛集人，碩士，講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。

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