非線性系統(tǒng)精確線性化的微分幾何法

孫建紅

(忻州師范學院 五寨分院數(shù)學系，山西 忻州 036200)

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非線性系統(tǒng)精確線性化的微分幾何法

孫建紅

(忻州師范學院 五寨分院數(shù)學系，山西 忻州 036200)

非線性系統(tǒng)是普遍存在的一種系統(tǒng)，從數(shù)學角度可以用非線性微分方程加以描述。在實際應用中，非線性系統(tǒng)的線性化必然會帶來誤差。本文討論了一種非線性系統(tǒng)的完全線性化方法，采用微分幾何理論，通過坐標變換和狀態(tài)反饋變換等方式，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的精確線性化。

非線性系統(tǒng)；精確線性化；微分幾何法

傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析以及系統(tǒng)控制方法中，多數(shù)是針對某個工作點進行線性化，然后通過線性系統(tǒng)理論展開研究。這種傳統(tǒng)線性化方法中，工作點的選擇決定了線性化的精度。近似線性化方法無法對強非線性大范圍變化的系統(tǒng)提供有效分析。

近年來，非線性系統(tǒng)的反饋線性化受到越來越多的關注，也是人們常用的一種非線性系統(tǒng)控制設計方案。精確線性化是反饋線性化中一種非常典型的線性化方法，在精確線性化方法中，逆系統(tǒng)方法和微分幾何法分別形成了各自的理論體系，并且在各個領域都有廣泛應用。

微分幾何法主要是通過微分流形概念，利用微分同胚變換以及反饋變換來實現(xiàn)非線性系統(tǒng)精確線性化的目標。理論上講，精確線性化方法不存在誤差，它是通過嚴格的狀態(tài)變換和反饋變化來實現(xiàn)線性化，在操作過程中沒有忽略高階非線性化，所以將這種方法稱為精確線性化。本文闡述了微分幾何法的基本方法理論，并分析了非線性系統(tǒng)精確線的處理過程，為微分幾何法的廣泛應用提供理論支撐。

1 非線性系統(tǒng)控制方法回顧

1.1 幾種代表性非線性方法

非線性系統(tǒng)具有極強的復雜性和多樣性，無法建立一種具有普遍性的非線性系統(tǒng)控制理論[1]。所以，要通過有效的方式將非線性系統(tǒng)線性化，下面就介紹幾種具有代表性的方法：

(1)經(jīng)典方法

針對特殊系統(tǒng)，提出以下三種基本的理論方法，第一是針對二階非線性系統(tǒng)提出的相平面法；第二種是針對非線性環(huán)節(jié)提出的描述函數(shù)方法；第三種是針對某個特定非線性元件提出的絕對穩(wěn)定性理論。

(2)Lyapunov方法

這是一種比較完善的一般化非線性方法，也因為Lyapunov方法具有較強的一般性，所以在分析穩(wěn)定性方面缺乏構造性。

(3)非線性系統(tǒng)變結構方法

可以將非線性系統(tǒng)的變結構控制方法稱為“具有活動模態(tài)的變結構控制”。這種方法起源于上世紀50年代，滑動模態(tài)對攝動和干擾具有不變性，這是一種非常實用的綜合控制方法，具有良好的性能品質[2]。

(4)微分代數(shù)方法和微分幾何方法

從20世紀70年代發(fā)展起來的微分代數(shù)和幾何方法，對解決非線性系統(tǒng)控制理論問題具有積極作用，在促進理論發(fā)展的同時，實現(xiàn)了理論到實踐的飛躍[4]。

(5)智能控制理論方法

現(xiàn)在有越來越多的控制采用智能控制方法，例如遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡控制以及基因控制等，可以利用智能控制方法設計非線性識別系統(tǒng)、魯棒鎮(zhèn)定等控制器的設計。

1.2 非線性控制系統(tǒng)的精確線性化方法

非線性的精確化控制體系中，對于滿足特定條件的非線性系統(tǒng)，采用同胚變換和非線性局部變換的方法，讓非線性系統(tǒng)流形中的全局或者局部坐標轉變?yōu)榫€性結構，這種方法的最大優(yōu)勢就是不會引入新的系統(tǒng)誤差，非線性到線性化前后的拓撲結構是一致的[3]。傳統(tǒng)非線性精確線性化的方式就是將非線性的局部或者全局轉變?yōu)榭煽貥藴实木€性系統(tǒng)。如果不滿足線性化條件，那么通過狀態(tài)反饋和同胚變換的方式將系統(tǒng)分解，分解之后的一個部分依舊是非線性形式，另一個部分是可控標準型線性化模式，這種方式也得到了廣泛應用[5-6]。

本文希望通過非線性系統(tǒng)精確化的分析和改進，拓寬精確線性化的條件，利用現(xiàn)代控制理論中的非線性方法解決精準線性化帶來的問題。

2 數(shù)學預備知識

2.1 歐氏空間中的可微映射

可以將n維的歐氏空間標記為Rn，U是Rn的一個子集，并且F:U→R代表一個函數(shù)?？梢詫在點x(x1,…,xn)處的值標記為f(x)=f(x1,…,xn)。

定義2.1 若f是一個可微映射，那么它的每一個階都存在導數(shù)。如果f是一個解析映射，同時也是可微映射，并且存在x0∈U，那么存在領域V讓f在x0處的泰勒展開收斂于f(x0)。

將映射F:U→R定義為(f1,…,fn)，那么f1:U→R，i=1,…m。映射F為可微的，那么fi(i=1,…m)都屬于可微的。

假設U∈Rn,V∈Rm都屬于開子集，那么映射F:U→V在x∈U范圍內的Jacobi矩陣可以定義為：

(2-1)

可以將JF(x)在點x=x0處的取值表示為JF(x0)。

定義2.2 將映射F:U→V稱為微分同胚，如果滿足以下兩個條件：首先是F在U上具有一一對應的值；其次是F以及F的逆映射F-1都屬于可微映射，那么可以將可微映射F在x0定義為rankJF(x0)。如果F四微分同胚，那么JF(x)就是滿秩的方陣。

2.2 微分流形

微分流形屬于一種非常特殊的拓撲結構，空間范圍更加廣泛，可以在研究拓撲結構的基礎上對曲面幾何性質展開研究，微分流形的定義如下所示：

定義2.3 假設X屬于一個非空的集合，τ是X其中的一個子集組，如果子集能夠滿足下述條件那么就可以將這個子集稱作是X中的一個拓撲結構：

(1)x∈τ,?∈τ；

(2)τ中的任意多個集的并運算屬于τ；

(3)τ中的任意多個集的交運算屬于τ；

如果上述條件同時滿足，那么將τ中的元素稱作是開集。

X是一個非空集，在其中定義的τ就可以稱作是拓撲空間，將該空間記為(x,τ)。如果τ已經(jīng)確定，也可以將拓撲空間記為X。

如果開集和G∈τ之中包含了點p，且p∈X，那么可以將G認為是p其中的一個開領域。

假設(X,τ)屬于第一拓撲空間，那么τB屬于X的一個開集組，也可以將其記為τB?τ。如果可以將每一個開集G∈τ都表示為τB之中的特定開空間，那么τB就是τ的一個基。

假設X1和X2是二拓撲空間，F(xiàn)是X1到X2的映射，假設X2中存在任意的開集U2，U2的逆像集F-1(U2)屬于空間X1的開集，那么可以將F稱作是連續(xù)映射。假設X1中的任意一個開集U1，U1的像集F(U1)是X2的開集，那么可以將F看作開映射。如果F不僅是開映射，同時也是連續(xù)映射，那么可以將F稱為同胚映射。

定義2.4 拓撲空間X為n維局部歐氏空間，如果對于?x∈X，存在一個x的開鄰域，有Ux?X以及ψ:Ux→Rn映射，他們滿足兩個的條件(1)ψ(Ux))屬于Rn中的一個開子集；(2)ψ屬于Ux到ψ(Ux)的一個同胚映射。

定義2.5 定義n維流形M屬于n維局部歐氏拓撲空間，具有可數(shù)的基底。流形M上的一個坐標圖是(U,φ)，U是空間中一個開集，φ是從U到φ(U)中的一個同胚映射。在特殊情況下，也可以將φ用φ=[φ1,…,φn]來表示，φ:U→R就是空間中的第i個坐標函數(shù)。如果p∈U，那么φ(p)=[φ1(p),…,φn(p)]就是坐標圖中的一個局部坐標。

假設(V,ψ)和(U,φ)是流形M上的兩個坐標圖，并且U∩V≠?，將其稱為同胚映射：

ψ-1φ：φ(U∩V)→ψ(U∩V)

(2-2)

式2-2是U∩V上的一個坐標變換，對于任意一個p∈U∩V，將任意的一個局部坐標[φ1(p),…,φn(p)]映射稱為坐標[ψ1(p),…,ψn(p)]。

假設M是一個n維的流行，(V,ψ)和(U,φ)稱作是C∞-相容的，如果U∩V≠?，那么ψ-1φ就是微分同胚。

定義2.6 微分流形M是一個定義了完備的C∞-圖冊A°的流形，將其記為(m,A°)。

可以證明M流形上的任意一個點的局部坐標維數(shù)和坐標圖的選擇并沒有關聯(lián)，將其稱作M在該點的維數(shù)。

2.3 微分幾何法的概念和意義

2.3.1 概念和定義

定義2.7 假設M和N是兩個微分流形，在二者之間存在一個C∞的映射F，并且這個可逆映射也是C∞的，那么就可以將F看作是M和N的微分同胚。在微分幾何理論之中，也可以將兩個局部坐標的領域之間的坐標變換看作是微分同胚。

定義2.8 假設h(x)∈C∞(M)，那么可以定義C∞函數(shù)h(x)的對于向量場f的李導數(shù)是：

(2-3)

在此基礎上，可以將多重李導數(shù)定義為：

Lf(h)=Lf(Lfk-1(h))

(2-4)

定義2.9 假設f(x),g(x)∈V(M)，那么可以得出向量場g對于向量場f的李導數(shù)如下式所示：

Lfg

(2-5)

(2-6)

該矩陣的多重李導數(shù)表達式為：

(2-7)

2.3.2 非線性系統(tǒng)線性化描述

可以利用下述方程對n維的C∞微分流形上的仿射非線性系統(tǒng)進行描述：

(2-8)

上式中，f(x),g1(x),…,gm(x)代表的分別是光滑向量場(f(x),g1(x)∈V(M))；h1(x),…,hm(x)代表的是光滑函數(shù)hm(x)∈C∞(M)?？梢詫⑸鲜龅姆匠探M進一步轉換成：

(2-9)

y=h(x)

上式中，u=(u1,…,um)τ，y=(y1,…,yn)τ，g(x)=(g1(x)),…,gm(x))代表的是n×m矩陣，h(x)=(h1(x),…,hm(x))τ代表的是m維向量。完全線性化問題，實質上就是尋找一個非線性變換和一個反饋變換，z=?為非線性變換，u=α(x)+β(x)υ為反饋變換，通過這兩個變換可以讓上述矩陣轉換為一個完全可線性化的系統(tǒng)，該系統(tǒng)用下述公式表示：

(2-10)

在上式中，A、B、C矩陣分別表示:

ri×1,Ci=(1,0,…,0)

如果上式中展示的非線性變換和反饋變換同時存在，那么可以認為公式(2-8)是完全線性化的。

假設多個變量的非線性系統(tǒng)可以按照下列方程表示：

(3-1)

yi=hi(x)(i=1,…,m)

并且系統(tǒng)的相對階次向量為(r1,…,rm)，也就是說ri是滿足下列條件的最小整數(shù)，

LgLfr1-1hi(x)(LgiLfr1-1gi(x),…,LgnLfr1-1hi(x))≠0)，其中x∈M

(3-2)

在此基礎上構造函數(shù)矩陣，分別是n×m的D(X)矩陣和m×1的E(x)矩陣，

D(X),

E(x)

(3-3)

u=α(x)+β(x)v=-[D(X)]-1E(x)+[D(X)]-1v

(3-4)

可以與之構成一個閉環(huán)系統(tǒng)

(3-5)

yi=hi(x) 其中i=1,…,m

將其轉換成為線性系統(tǒng)，根據(jù)(3-3)，(3-4)和(3-5)，可以得出以下推論：

(3-6)

(3-7)

根據(jù)系統(tǒng)的相對階次以及非齊次性來說，可以證明dhi，dLfhi…dLfri-1hi(i=1,…,n)是M上的n個線性無關微分。{zi}也就是M上的一個局部坐標，根據(jù)(3-5)、(3-6)和(3-7)可以推論出下列式子：

(3-8)

因此，在局部坐標中，可以將閉環(huán)系統(tǒng)轉變?yōu)椋?/p>

(3-9)

(3-10)

在這種情況下，系統(tǒng)已經(jīng)完全從非線性化轉換為線性化，并且還進一步被解耦成為m個子系統(tǒng)，這些子系統(tǒng)屬于線性化、能控化系統(tǒng)。

(4-1)

(4-2)

的結構，上式中：

Ai=[010?????1?00?………………φi]}ri

(4-3)

上式中，滿足ri+li=pi,φi和λi是任意一個(li×ri)和(li×1)的常數(shù)矩陣和常向量。所以，目前的系統(tǒng)已經(jīng)完全線性化，而且系統(tǒng)已經(jīng)被解耦成為n個子系統(tǒng)，各個子系統(tǒng)都是線性的，并且為可控系統(tǒng)。

(4-4)

(4-5)

其中i=1,…,m。

經(jīng)過比較分析，可以得出

(4-6)

將(3-2)、(3-3)、(3-4)和(3-5)經(jīng)過綜合分析，可以得出：

(4-7)

5 結束語

在工程應用的過程中，非線性系統(tǒng)線性化是非常普遍的方法，也是處理非線性問題常用的方法之一。經(jīng)典線性化方法是將非線性系統(tǒng)在特定的點做泰勒展開分析，然后選取近似相近點。但是這種方法之中存在誤差，這種誤差也會逐漸擴大，所以需要一種精確度更高的線性化方法。本文介紹了常見的非線性系統(tǒng)線性化方法，采用微分幾何理論展開分析，其比較突出的優(yōu)勢就是可以實現(xiàn)系統(tǒng)精確線性化，可以將多變量耦合轉變?yōu)榻怦睢＿@種非線性的線性化方法可以獲得更好的效果，并且有效降低誤差。這種非線性精確線性化的微分幾何方法在計算機領域的應用不斷擴大，在實際應用領域也有更加廣闊的應用前景。

[1]周兆敏.非線性系統(tǒng)的線性化方法[J].電氣傳動,1989(4):42-46.

[2]陳沖.非線性幾何法解藕研究及在交傀調速系統(tǒng)中應用[D].哈爾濱工業(yè)大學博士論文.1991.

[3]鐘寧帆.非線性系統(tǒng)精確線性化方法研究[D].南京理工大學.2004.

[4]安祎春.非線性控制系統(tǒng)解耦及精確線性化[D].東北大學.2006.

[5]樂江源.Boost變換器精確反饋線性化滑膜變結構控制[J].中國電機工程學報,2011(10):51.

[6]許志龍.基于精確線性化和變結結構方法的航空發(fā)動機非線性控制研究[J].變頻器世界,2015(9):29-31.

[責任編輯：張懷濤]

2016-09-20

孫建紅(1977-)，男，山西忻州人，講師，主要從事基礎數(shù)學和微分幾何的研究。

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1671-5330(2016)05-0053-06