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    論中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力及培養(yǎng)途徑

    2016-02-17 02:46:48張曉貴陳亞菲
    中小學(xué)教師培訓(xùn) 2016年10期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)家創(chuàng)造力數(shù)學(xué)

    張曉貴,陳亞菲

    (合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

    近年來,國際數(shù)學(xué)教育共同體有一個基本的共識,那就是數(shù)學(xué)教育不但應(yīng)該使得學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,也應(yīng)該培養(yǎng)他們具有一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力,數(shù)學(xué)創(chuàng)造力已經(jīng)被認(rèn)為是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該形成的一種基本能力。[1]形成這樣共識的主要原因在于數(shù)學(xué)創(chuàng)造力對于當(dāng)今世界科技發(fā)展的重要作用,許多國家都意識到推進(jìn)社會的發(fā)展不只是需要科學(xué)技術(shù)方面的創(chuàng)造,數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造同樣重要。

    美國數(shù)學(xué)教師理事會(NCTM)在其1980年的課程標(biāo)準(zhǔn)中就強(qiáng)調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的重要性,并將數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)聯(lián)系在一起。[2]在我國,《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出,要“鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性思維”,培養(yǎng)學(xué)生具有“初步的創(chuàng)新意識”。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》則指出,“基礎(chǔ)和創(chuàng)新是正確處理學(xué)習(xí)過程中不可或缺的兩個方面。既要打好基礎(chǔ),又要發(fā)展創(chuàng)新的潛能”。盡管世界上許多國家都強(qiáng)調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的重要性,但是對中小學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的相關(guān)研究卻是相當(dāng)缺乏的。早在1987年,海洛克(Hay?lock)就提出應(yīng)該加強(qiáng)對中小學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培養(yǎng)的相關(guān)研究[3],但到目前為止這方面的研究仍然非常有限。就實(shí)踐層面來說,世界范圍的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的培養(yǎng)總體來說都是比較忽視的。而在我國,雖然數(shù)學(xué)課程改革已經(jīng)進(jìn)行十多年了,但在現(xiàn)實(shí)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力仍然感到難以把握。本文要試圖解決的是中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培養(yǎng)的兩個基本問題,即如何理解數(shù)學(xué)教育中的學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

    一、數(shù)學(xué)教育中學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力

    到目前為止,對于數(shù)學(xué)教育中學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力并沒有一個公認(rèn)的定義。如果我們希望對于中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力有一個更深刻的理解,那么審視一下與之密切聯(lián)系的兩個概念無疑是很有必要的,這兩個概念分別是數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和一般的創(chuàng)造力。

    1.數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力

    相對于中小學(xué)校中的數(shù)學(xué)創(chuàng)造而言,對于數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造的研究要早得多。法國著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Jacques Hadamard)在七十年前出版的《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》(The Psychology of Invention in the Mathematical Field)可以算作是最早的對數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造的系統(tǒng)研究。阿達(dá)瑪在該書中提出,數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造分成四個階段,它們分別是準(zhǔn)備階段、醞釀階段、頓悟階段和明確結(jié)果階段,由于該模式明顯地受到當(dāng)時流行的格式塔心理學(xué)的影響,因而該模式又被稱為四階段的格式塔模式。在準(zhǔn)備階段,數(shù)學(xué)家有意識地、艱苦地去解決手頭的數(shù)學(xué)問題;在醞釀階段,數(shù)學(xué)家把經(jīng)過努力仍然沒有解決的問題放在一邊,頭腦中開始考慮另一個問題;在頓悟階段,問題的解決突然地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家的腦海中,此時數(shù)學(xué)家可能正從事一件與該問題不相關(guān)的活動;最后一個階段即明確結(jié)果階段,數(shù)學(xué)家對問題的解決結(jié)果進(jìn)行證明、精確地把結(jié)果寫出來以及通過對結(jié)果的使用而尋找可能的擴(kuò)展。[4]阿達(dá)瑪?shù)臄?shù)學(xué)創(chuàng)造理論雖然存在著一些問題,但是它卻使得我們對于數(shù)學(xué)家創(chuàng)造過程有了一個大致的了解。在阿達(dá)瑪之后,也有一些學(xué)者研究了數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程,但與阿達(dá)瑪?shù)慕Y(jié)果本質(zhì)上并無太大的區(qū)別。

    一些研究者探討了數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造結(jié)果。艾爾榮(Ervynck)認(rèn)為,數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造就是能夠提出重要的數(shù)學(xué)問題,以及能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系。[5]利耶達(dá)爾(Liljedahl)和拉曼(Sriraman)認(rèn)為,數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是這樣的一種能力,它能夠產(chǎn)生出原創(chuàng)性的成果,這些成果能夠擴(kuò)展現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識體系,或者能夠?yàn)槠渌麛?shù)學(xué)家開創(chuàng)出新的問題。[6]海洛克(Haylock)認(rèn)為,數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造表現(xiàn)在他們解決問題時追求不同的解決問題途徑和觀點(diǎn)。[7]而拉曼在最近表示,數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造應(yīng)該是提出與眾不同的和富有洞察力的解答。[8]

    研究者們也涉及了數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的思維特點(diǎn)。艾爾榮將數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造與高級數(shù)學(xué)思維相聯(lián)系,如運(yùn)用非算法的決策[9];而海洛克則提出了數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)創(chuàng)造中會應(yīng)用發(fā)散思維,其思維具有很大的靈活性[10]。

    綜上,學(xué)者們是從三個方面來對數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造進(jìn)行研究,即創(chuàng)造過程、創(chuàng)造結(jié)果和創(chuàng)造過程中的思維特點(diǎn)。

    2.一般的創(chuàng)造力

    20世紀(jì)50年代,人們開始關(guān)注如何發(fā)展人的創(chuàng)造力。很多發(fā)展創(chuàng)造力的方法被提出來,諸如頭腦風(fēng)暴和角色扮演等。

    與培養(yǎng)創(chuàng)造力相關(guān)聯(lián)的是如何對一個人的創(chuàng)造力進(jìn)行評價,一些心理學(xué)家提出了運(yùn)用心理測量工具對人的創(chuàng)造力進(jìn)行測量。眾所周知的是吉爾福德(Guilford)在20世紀(jì)60年代提出的用發(fā)散性思維來度量個體的創(chuàng)造性。在吉爾福德看來,一個人的創(chuàng)造力就是看他是否能在完成任務(wù)的過程中運(yùn)用發(fā)散性思維。在吉爾福特之后,托倫斯(Tor?rance)在創(chuàng)造力的研究上做了大量的工作。他設(shè)計(jì)了一份創(chuàng)造性思維測驗(yàn),在測驗(yàn)中他給出了用文字或圖像表示的任務(wù)讓被試者回答,并通過四個方面即流暢性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性和精巧性對回答進(jìn)行評價。[11]

    從20世紀(jì)90年代開始,學(xué)者們從認(rèn)知和社會文化的角度去理解創(chuàng)造。從認(rèn)知過程去理解創(chuàng)造,比如在創(chuàng)造過程中,創(chuàng)造者能運(yùn)用不同的心理表征和能在不同對象之間構(gòu)建心理聯(lián)結(jié)等。從社會文化角度去理解創(chuàng)造,比如在什么樣的社會文化環(huán)境下會產(chǎn)生創(chuàng)造。例如,奇克森特米海伊(Csikszent?mihalyi)認(rèn)為,創(chuàng)造是一種過程,它只能在個體、領(lǐng)域和環(huán)境相互作用的交叉處才能被觀察到。[12]

    3.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力

    對于中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造來說,雖然它和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造以及一般創(chuàng)造有共同點(diǎn),但它顯然也應(yīng)該有其特殊性,因此,對它的理解不應(yīng)該簡單地照搬對數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造和一般創(chuàng)造的理解。在考慮數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)創(chuàng)造時,應(yīng)該考慮如下的特殊性。

    (1)創(chuàng)造環(huán)境的特殊性。中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造一般來說是在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行的。數(shù)學(xué)教師可以創(chuàng)設(shè)一定的環(huán)境以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造,這里的環(huán)境既包括文化環(huán)境,也可以包括物質(zhì)條件如現(xiàn)代技術(shù)。

    (2)創(chuàng)造形式的特殊性。中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是教師指導(dǎo)下的創(chuàng)造。教師為學(xué)生提供創(chuàng)造所需要的材料,在學(xué)生遇到困難時為學(xué)生提供啟發(fā)引導(dǎo),教師甚至作為學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的合作者。教師的幫助,保證了學(xué)生在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中少走彎路,能夠在較短的時間內(nèi)完成創(chuàng)造。除了學(xué)生獨(dú)立探究進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造以外,學(xué)生之間還會合作進(jìn)行研究。

    (3)創(chuàng)造主體的特殊性。學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造不同于數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。數(shù)學(xué)家所創(chuàng)造的成果是對于整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域來說的,而學(xué)生所創(chuàng)造的成果是對于他自己以及其同齡人來說的,他們所創(chuàng)造的成果對于數(shù)學(xué)領(lǐng)域來說也許是很多年前就已經(jīng)被數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來了。正如雷金(Leikin)等人所認(rèn)為的那樣,中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是一種相對創(chuàng)造(relative creativity),而數(shù)學(xué)家所進(jìn)行的數(shù)學(xué)創(chuàng)造則是一種絕對創(chuàng)造(absolute creativity)。[13]

    (4)創(chuàng)造目的的特殊性。數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造的目的是為了促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,而中小學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的目的主要是為了對數(shù)學(xué)有更好的理解以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和能力,簡單地說,是為了學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

    在考慮到研究者們對于數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和一般創(chuàng)造力理解的基礎(chǔ)上,同時考慮到中小學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的特點(diǎn),可以對數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)創(chuàng)造力做如下的界定:中小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力是指在適宜的數(shù)學(xué)課堂環(huán)境中,在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性思維,通過個體探究或同伴合作,進(jìn)而產(chǎn)生出相對于自己和同伴來說的新知識、新方法和新問題的數(shù)學(xué)活動能力。

    二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的途徑

    培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力是一項(xiàng)系統(tǒng)工程,需要落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面。

    1.要創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的課堂文化環(huán)境。數(shù)學(xué)課堂文化是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師和學(xué)生對于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的共同看法以及在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中師生共同遵守的行為規(guī)范。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)有與之相應(yīng)的課堂文化,而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)然也需要有與之相應(yīng)的課堂文化。教師應(yīng)該努力創(chuàng)設(shè)這樣的數(shù)學(xué)課堂文化即課堂成員都應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)創(chuàng)造力無論是對于社會的進(jìn)步或者對于人的發(fā)展都具有重要的作用,學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力是基本的數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一。數(shù)學(xué)創(chuàng)造力是在不斷失敗中得以逐步形成的,失敗是數(shù)學(xué)創(chuàng)造中必不可少的體驗(yàn)。作為數(shù)學(xué)課堂成員,不但應(yīng)積極進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造,也要鼓勵他人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造,而絕不應(yīng)該譏笑和嘲弄他人在創(chuàng)造中的失敗,等等。不少學(xué)者都對適宜的數(shù)學(xué)課堂文化環(huán)境與學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力發(fā)展之間的關(guān)系給予了充分的肯定,如前文所提到的奇克森特米海伊就認(rèn)為社會文化環(huán)境對于數(shù)學(xué)創(chuàng)造的產(chǎn)生具有非常重要的作用。

    2.要在教學(xué)中運(yùn)用有助于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的教學(xué)方法。一些教學(xué)方法的適當(dāng)使用會有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造,而不適當(dāng)?shù)氖褂脮璧K學(xué)生創(chuàng)造力的發(fā)展,比較典型的是小組合作學(xué)習(xí)。在小組合作學(xué)習(xí)中,不同知識基礎(chǔ)和思維方式的學(xué)生傾聽和理解同伴的思想,并在同伴思想的啟發(fā)下提出自己的想法,這對于小組中每個學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造都有著積極的意義,但是,正如鮑羅斯等人所指出的那樣,如果小組成員沒有能夠認(rèn)真傾聽其他成員的想法,或者沒有充分的時間去思考這些想法,那么這樣的小組合作就難以有助于成員的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。[14]

    3.要在教學(xué)中設(shè)置有利于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的教學(xué)任務(wù)。讓學(xué)生解決我國數(shù)學(xué)教師比較熟悉的數(shù)學(xué)開放題可以很好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。此外,以下幾種任務(wù)也可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

    (1)問題解決。在被認(rèn)為最有助于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的任務(wù)中,問題解決是最主要的一個,實(shí)際上,它也是最早被提出用來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的任務(wù)。數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)習(xí)題不同,前者是指那些解決者沒有現(xiàn)成方法從而需要設(shè)計(jì)新的策略來解決的數(shù)學(xué)情境,因而,正如NCTM所說的那樣,問題解決“本質(zhì)上是一種創(chuàng)造性活動”。早在1980年,NCTM就提出要在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)行問題解決活動,“問題解決應(yīng)該是20世紀(jì)80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)”[15]。直到今天,NCTM仍然堅(jiān)持認(rèn)為,問題解決對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力具有重要作用,“以新奇的方法解決問題以及提出新的、有趣的數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行探究”[16]。實(shí)際上,問題解決對于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培養(yǎng)的價值已經(jīng)被許多國家的數(shù)學(xué)教育界和國際性的教育評價機(jī)構(gòu)所認(rèn)可。在我國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對于問題解決也給予了特別的重視,在《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將“問題解決”作為四個總目標(biāo)之一;在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,問題解決能力則是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。而在TIMSS(國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測趨勢)2003中,正是因?yàn)閱栴}解決對于數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培養(yǎng)的重要性,因而有意識地包含了一些“提供機(jī)會進(jìn)行創(chuàng)造性問題解決策略”的問題。[17]

    (2)問題提出。問題提出是指給學(xué)生一定的情境,根據(jù)該情境由學(xué)生提出盡可能多的數(shù)學(xué)問題,這需要學(xué)生具有一定的創(chuàng)造力。西爾弗(Silver)認(rèn)為,問題提出和問題解決都是鼓勵學(xué)生盡可能多地創(chuàng)造出答案,這自然會鼓勵學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性的發(fā)展。[18]對數(shù)學(xué)教學(xué)中問題提出的重視幾乎是與問題解決一樣早。NCTM在提出要將問題解決作為20世紀(jì)80年代學(xué)校數(shù)學(xué)焦點(diǎn)的同時,就明確提出,“應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出問題、實(shí)驗(yàn)、估計(jì)、探究以及提出解決問題的建議”[19]。在我國《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出,要讓學(xué)生“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”。在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求“創(chuàng)新需要為學(xué)生提供提出問題、獨(dú)立思考和實(shí)踐的空間”。

    (3)數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造。弗賴登塔爾提出的數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”原則認(rèn)為,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的方法就是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。所謂數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”就是指在教師的幫助下,學(xué)生將數(shù)學(xué)家早已創(chuàng)造過的知識重新創(chuàng)造出來。例如,讓學(xué)生通過觀察具體的事物或數(shù)學(xué)對象從中得出新的數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生通過操作和觀察提出數(shù)學(xué)猜想并進(jìn)而證明猜想得到數(shù)學(xué)定理。由于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理并不是教師告訴學(xué)生的,而是在教師的幫助下學(xué)生通過自身的努力創(chuàng)造出來的,因而學(xué)生在得到數(shù)學(xué)知識的過程中體現(xiàn)出一點(diǎn)的創(chuàng)造性。

    (4)常規(guī)數(shù)學(xué)解題中的創(chuàng)造性。波利亞在其《怎樣解題》中給出了著名的數(shù)學(xué)解題表。按照解題表,數(shù)學(xué)解題包括四個步驟,分別是弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。在每個步驟中波利亞給出了若干個啟發(fā)性的問題,例如在弄清問題中他給出了如下的啟發(fā)性問題:未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?一般認(rèn)為,波利亞的解題表并不適宜于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。但是,當(dāng)我們將他的解題表做適當(dāng)?shù)男薷暮?,通過讓學(xué)生解答常規(guī)的數(shù)學(xué)題也可以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。具體來說,在弄清問題階段,我們增加這樣的啟發(fā)性問題即你能將題目中所給出的條件重新理解嗎?例如,對于題目中給出的條件之一“等腰三角形頂角的平分線AD”,可以將AD重新理解為“等腰三角形底邊BC上的高”,也可以理解為“等腰三角形底邊BC上的中線”,甚至還可以將之理解為“某個圓的直徑或某個線段的平行線”等。學(xué)生將題目中條件進(jìn)行重新理解,就為他們發(fā)散性思維提供了條件。海洛克對于這種他所稱為重定義的重新理解給予了特別重視,認(rèn)為它是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的重要途徑之一。[20]在擬定計(jì)劃階段,我們增加這樣的啟發(fā)性的問題即你能找出幾個本質(zhì)上不同的解答方法嗎?學(xué)生在擬定計(jì)劃階段可能會根據(jù)需要回到理解問題階段上。在實(shí)行計(jì)劃階段,學(xué)生實(shí)施在擬定計(jì)劃中所設(shè)想的幾個解決方法。在解決過程中,他們可能會產(chǎn)生新的解題思路,也可能需要再一次理解題意,也就是說,學(xué)生的思維會在實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、擬定計(jì)劃和弄清問題幾個步驟上來回穿越。在回顧階段,我們增加這樣的啟發(fā)性問題即是否可以利用原題的條件或部分條件提出新的問題或進(jìn)一步的問題?顯然,提出新的問題可以培養(yǎng)學(xué)生的提出問題能力,而提出進(jìn)一步的問題,將有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

    4.要實(shí)施有利于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的教學(xué)評價。數(shù)學(xué)教學(xué)評價的目的之一就是激勵學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),它對于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性具有重要的作用。在日常的教學(xué)中,教師要對學(xué)生在數(shù)學(xué)創(chuàng)造上的嘗試進(jìn)行鼓勵,使得學(xué)生樂意進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造和敢于進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造。另外,在考試中也要設(shè)置數(shù)學(xué)創(chuàng)造性問題讓學(xué)生解答,從而讓他們明確,數(shù)學(xué)創(chuàng)造性問題的解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的組成部分?!?/p>

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