大學(xué)“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)難點(diǎn)的突破性教學(xué)嘗試

席雅麗，于 瀾

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院，長春 130012)

大學(xué)“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)難點(diǎn)的突破性教學(xué)嘗試

席雅麗，于 瀾

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院，長春 130012)

為滿足高等院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的要求，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為目的，本文針對教學(xué)內(nèi)容體系中的難點(diǎn)，對教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了突破性的思考，提出了幫助學(xué)生深入理解教學(xué)重點(diǎn)，掌握重要計(jì)算技能以及培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效方法。

高等數(shù)學(xué)；教學(xué)內(nèi)容改革；教學(xué)方法改革

近年來，隨著進(jìn)入高校的學(xué)生人數(shù)的迅速增長，大學(xué)教育面向公眾所需承擔(dān)社會(huì)責(zé)任的加重，各研究領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)技術(shù)的需求更加迫切，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革導(dǎo)致大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的適應(yīng)度下降等等問題都影響到了大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)，但是數(shù)學(xué)教育在本科教學(xué)體系中始終處在軸心位置的事實(shí)卻不可忽視?！陡叩葦?shù)學(xué)》課程作為各專業(yè)的主干基礎(chǔ)課程，其教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段的改革越來越受到人們的高度重視。例如大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》與中學(xué)初等數(shù)學(xué)應(yīng)該進(jìn)行有效的銜接[2]，相關(guān)多媒體技術(shù)與手段在教學(xué)中應(yīng)該被廣泛使用[3]。怎樣才能使《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容更符合相關(guān)學(xué)科、專業(yè)教學(xué)改革和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求，新的教學(xué)方法和手段能否更有效地突破教學(xué)中的難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力？針對這樣的問題，本文提出了關(guān)于大學(xué)中的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中難點(diǎn)突破的幾點(diǎn)思考與探索。

一、實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的有效銜接

新生在學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》這門基礎(chǔ)課時(shí)往往感到不適應(yīng)，學(xué)習(xí)效果欠佳。究其原因，主要是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上存在著很大的不同。初等數(shù)學(xué)知識的理論性、應(yīng)用性都相對淺顯，教法上過分強(qiáng)調(diào)應(yīng)試訓(xùn)練。高等數(shù)學(xué)則不同，高等數(shù)學(xué)注重知識的抽象性、嚴(yán)密性，教法上除了要求學(xué)生具備一定的計(jì)算能力，還應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。為了讓學(xué)生平穩(wěn)地從初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過渡到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，教師首先應(yīng)該做好高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的銜接。

適當(dāng)增加預(yù)備知識不失為一種有效途徑?，F(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)已經(jīng)刪掉反三角函數(shù)、極坐標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容，而這些內(nèi)容對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)又非常重要，為了提高高等學(xué)校學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，教師應(yīng)準(zhǔn)備豐富的預(yù)備知識，進(jìn)行課內(nèi)講授。

針對學(xué)生對反三角函數(shù)概念理解的薄弱之處可以通過與三角函數(shù)進(jìn)行對比函數(shù)定義域、值域、圖像以及簡單性質(zhì)等方式進(jìn)行圖表式直觀教學(xué)。

再比如極坐標(biāo)的有關(guān)內(nèi)容也是需要補(bǔ)充的。教師不僅需要系統(tǒng)介紹極坐標(biāo)內(nèi)容本身而且可以逐步鋪墊后期教學(xué)中積分換元的思想。針對這部分內(nèi)容，除了代數(shù)知識的講授之外，輔以專門的繪圖訓(xùn)練使學(xué)生理解極坐標(biāo)體系的建立教學(xué)效果會(huì)更好。

二、合理編排教學(xué)內(nèi)容

除了實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識結(jié)構(gòu)上的有效銜接，還要進(jìn)一步對大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容重新進(jìn)行巧妙合理的編排，此時(shí)特別要注意以下幾個(gè)原則：

(一)擴(kuò)展學(xué)生對《高等數(shù)學(xué)》的興趣點(diǎn)

由于現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等微積分學(xué)基本概念已有一定介紹，在本科教學(xué)中對這些基本概念的敘述可以延續(xù)高中的知識水平，以提高學(xué)生的接受程度。教學(xué)過程中應(yīng)注重對新概念引入的鋪墊，幫助學(xué)生了解概念的實(shí)際背景，并適當(dāng)增添有應(yīng)用價(jià)值的例題，這樣可以使學(xué)生明確數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科的本質(zhì)。

例如在“定積分性質(zhì)”的教學(xué)中，可采用觀察法、探究法、講授法等教學(xué)方法對學(xué)生進(jìn)行“淺入深出”的講解。教師首先與學(xué)生共同復(fù)習(xí)定積分的定義與幾何意義，利用多媒體課件引導(dǎo)學(xué)生觀察曲線與x軸所圍曲邊梯形面積的不同情形，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)歸納出定積分的“函數(shù)可加性”、“區(qū)間可加性”以及“比較性”。以“如何測得全班同學(xué)的平均身高”作提示進(jìn)而提出“如何測量湖泊的平均深度”的問題，讓學(xué)生積極參與討論，意識到離散量與連續(xù)量的求和方法的異同，不僅能夠發(fā)現(xiàn)積分中值定理的事實(shí)而且深刻理解了積分實(shí)為求和工具的本質(zhì)。師生共同完成定理的證明與注解，使學(xué)生感受成功的喜悅，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性。

(二)深化學(xué)生對《高等數(shù)學(xué)》知識體系的本質(zhì)的理解

整個(gè)《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容體系的安排主要是圍繞微分和積分展開，在調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣之外，還有必要讓學(xué)生深刻地理解微積分的基本思想方法和應(yīng)用本質(zhì)。

首先深化學(xué)生對微觀與宏觀處理方法的理解。對現(xiàn)實(shí)世界中各種事物的運(yùn)動(dòng)變化常常需要從兩個(gè)側(cè)面去考慮，即局部與整體，例如對比微分與導(dǎo)數(shù)、最值與極值可以充分了解在高等數(shù)學(xué)中怎樣從宏觀和微觀兩個(gè)角度來處理一個(gè)目標(biāo)對象。

其次深化學(xué)生對非均勻分布處理手段的理解。無論是物體的運(yùn)動(dòng)還是質(zhì)量的分布，都可以劃分為均勻變化和非均勻變化兩大類。導(dǎo)數(shù)與積分雖然是微觀和宏觀兩種不同范疇的問題，但它們都是研究非均勻分布的有效工具，解決問題的基本思想都是一樣的，即：“微小局部求近似”和“利用極限得精確”?！耙灾贝?、“微元法”就是高等數(shù)學(xué)中怎樣用均勻化方法來處理一個(gè)非均勻的目標(biāo)對象的很好例證。

(三)加強(qiáng)學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》計(jì)算能力的訓(xùn)練

由于在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中對導(dǎo)數(shù)與定積分的概念及簡單計(jì)算已有所了解，那么大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)中，就要充分利用這個(gè)優(yōu)勢，摸清學(xué)生計(jì)算能力的基本情況，加強(qiáng)《高等數(shù)學(xué)》計(jì)算能力的訓(xùn)練。

例如在講解定積分的積分技術(shù)時(shí)，既可以結(jié)合定積分的數(shù)學(xué)定義巧算極限也可適當(dāng)加大變形難度拓寬視野，既培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力，也擴(kuò)展了定積分的應(yīng)用范疇。

三、強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用意識

《高等數(shù)學(xué)》不僅有很強(qiáng)的物理學(xué)背景，而且許多工程類專業(yè)課程都要用到《高等數(shù)學(xué)》的知識與思想。這是《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的又一個(gè)難點(diǎn)：如何兼顧數(shù)學(xué)嚴(yán)密性與工程實(shí)用性。為了克服這一難點(diǎn)，教學(xué)中可嘗試從物理學(xué)角度引入概念，加強(qiáng)《高等數(shù)學(xué)》在物理學(xué)中如何應(yīng)用的教學(xué)實(shí)踐。

在各類積分的對比教學(xué)中除了傳統(tǒng)上利用幾何意義區(qū)分彼此，以物體形狀的變化作為切入點(diǎn)，通過對比不同維度不同形狀物體的質(zhì)量，來關(guān)聯(lián)它們的背景、概念、意義以及性質(zhì)也是一個(gè)不錯(cuò)的教學(xué)嘗試。比如可以利用直線型物體的質(zhì)量引入定積分，利用空間物體的質(zhì)量引入三重積分，利用曲面型構(gòu)件的質(zhì)量引入第一類曲面積分等等。

另外，針對高等數(shù)學(xué)教材中涉及的物理模型章節(jié)，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述，力的做功運(yùn)算，場的路徑積分及通量計(jì)算等教學(xué)內(nèi)容，授課中也要注意加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)模型的對照。通過適當(dāng)增加討論課的課時(shí)，及時(shí)找到學(xué)生在交叉學(xué)科學(xué)習(xí)時(shí)的知識盲點(diǎn)，對易混淆、有深度的問題進(jìn)行集中討論。

四、注重動(dòng)手能力的培養(yǎng)

動(dòng)手能力也是數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力之一，一方面從《高等數(shù)學(xué)》知識體系來講，熟悉一些空間圖形對于多元函數(shù)微積分學(xué)是大有裨益的，另一方面在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的過程中，《空間解析幾何》一章也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，除了采用傳統(tǒng)的可視化教學(xué)之外，可以引導(dǎo)學(xué)生用解析的方法分析曲面的性態(tài)，鼓勵(lì)學(xué)生手繪常用曲面，對于較復(fù)雜曲面可以借助相應(yīng)的繪圖軟件，加深學(xué)生對曲面的幾何特點(diǎn)的認(rèn)識，動(dòng)手且動(dòng)腦。

除此之外，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中還可以嘗試以數(shù)學(xué)軟件為載體將圖形、數(shù)值分析等工程應(yīng)用的技術(shù)介紹給學(xué)生，幫助學(xué)生形成一套科學(xué)實(shí)用的解決問題的方法，以便適應(yīng)將來的工作和科研環(huán)境。

相關(guān)主題包括極限、拋射體運(yùn)動(dòng)、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、空間圖形等等，通過這一方法，不僅使學(xué)生在概念學(xué)習(xí)的初期建立起對它們的清晰印象，幫助學(xué)生克服過去在概念抽象過程中常常覺得困惑的難點(diǎn)，鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦能力，使得學(xué)生與數(shù)學(xué)更加親近。

綜上，針對大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)所面臨的挑戰(zhàn)及困難，教師應(yīng)不斷進(jìn)行大膽有效的突破性嘗試，及時(shí)調(diào)整教學(xué)理念，認(rèn)真思考解決方案，靈活運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，積極探索和研究《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的改革，既不能丟失數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)與功能，又要不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，進(jìn)而努力培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)需求的高素質(zhì)人才。

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A breakthrough teaching attempt on“higher mathematics” teaching difficulties in universities

XI Ya-li，et al.

(SchoolofScience，ChangchunInstituteofTechnology，Changchun130012，China)

To meet the requirements of higher mathematics teaching reform in universities，in order to improve the students’ learning interest study effect，this paper aiming at the difficulty in the teaching content system，carries on the breakthrough thinking to teaching practice，puts forward some effective methods to help students further understand the teaching focus，master key calculating skills as well as foster the innovation ability.

higher mathematics；the reform of teaching content；the reform of teaching methods

10.3969/j.issn.1009-8976.2016.04.037

2016-06-24

吉林省高等教育教學(xué)研究課題“《高等數(shù)學(xué)》課程特色教學(xué)方法的研究與實(shí)踐”

席雅麗(1980—)，女(漢)，吉林長春，講師，碩士 主要研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)與實(shí)踐理論。

G642.0

A

1009-8976(2016)04-0136-03