可見的小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“埃及分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例

陳六一，張 浩

（1.蘇州市陽山實驗小學(xué)校，江蘇 蘇州 215151；2.蘇州市高新區(qū)金色小學(xué)，江蘇 蘇州 215000）

教學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)乎著培養(yǎng)什么樣的人。可是，如果只有理念沒有行動，教育就是海市蜃樓。雖然我們在普遍性中進行思考，但卻生活在細(xì)節(jié)之中。所以小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，要看得見學(xué)生“對數(shù)學(xué)的持久興趣，對數(shù)學(xué)思想的融會貫通”[1]。當(dāng)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地，成為學(xué)生的自覺，教與學(xué)才可謂“君子不器”。

一、可見的教：平衡表層理解與深層理解

表層理解涉及對觀念或事實的認(rèn)知，深層理解的兩個過程——關(guān)系加工和精細(xì)加工，造成了思維性質(zhì)的變化。關(guān)系加工的問題需要學(xué)生把一種組織模式施予既有材料之上；精細(xì)加工需要學(xué)生超越既定信息、知識觀念，提出適用于所有情況的更為普遍的規(guī)則或者證明。從這些表層的和深層的認(rèn)知與理解當(dāng)中，學(xué)生能夠建構(gòu)觀念，進而形成他們參與表層和深層學(xué)習(xí)的方法。

但并不是說，表層理解必然是劣質(zhì)的，深層理解則完全是好的。正確的觀點是強調(diào)在兩者之間的平衡：因為學(xué)習(xí)的過程是一段從觀念走向理解再走向建構(gòu)，并繼續(xù)往前走的旅程；是一段學(xué)習(xí)、遺忘學(xué)習(xí)、融通學(xué)習(xí)的旅程。[2]

【案例1：認(rèn)識埃及分?jǐn)?shù)】

師：同學(xué)們，今天我們一起來研究一節(jié)課本上沒有的數(shù)學(xué)知識，愿不愿意挑戰(zhàn)？

生：愿意。

師：出示大屏幕，研究什么？

生：埃及分?jǐn)?shù)。

師：對于埃及分?jǐn)?shù)，你有什么提問的嗎？

生：分?jǐn)?shù)還分國度嗎？

生：什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？

師：容我賣個關(guān)子，先插播一道數(shù)學(xué)問題，3塊同樣大小的餅，平均分給4個同學(xué)，每人分得多少塊餅？

生：3÷4=（塊）

師：懂了，我們五年級時，是這樣思考的，可是四五千年前的埃及人可不是這樣分餅的，他們先將2塊餅都均分成2份，這樣每個同學(xué)可以取走其中的1份，即塊餅；再將剩下的1塊餅均分成4份，每個同學(xué)再取走4份中的1份，即塊餅。（老師邊動畫演示，邊敘述。）重點來了哦，誰來回答剛才那位同學(xué)的提問：什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？

生：分子是1的分?jǐn)?shù)，例如等。

無疑，案例中呈現(xiàn)的“研究什么？”“什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？”“每人分得多少塊餅？”等問題的思考都是表層理解，但正是這種表層理解，激發(fā)著學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望——“什么，分?jǐn)?shù)還有國度之分？這到底是怎么回事？”對過往學(xué)習(xí)的回憶也是表層理解，縱然過往的學(xué)習(xí)過程也許是深層理解。這樣學(xué)生已然熟知的分餅策略，就與古代埃及人的分餅方法發(fā)生了沖撞，這種思維的沖撞必然引起學(xué)生的好奇，數(shù)學(xué)就這樣如同孩子的游戲，步步驚心。當(dāng)然，教師也要具備一種能夠在學(xué)生的學(xué)習(xí)朝著成功標(biāo)準(zhǔn)邁進時適時“抽身”的技巧。[3]

【案例2：研究】

老師發(fā)起問題：我們先來研究一下，誰能將它拆分成兩個不同的埃及分?jǐn)?shù)之和？學(xué)生陷入思索之中，兩分鐘之后，有些許同學(xué)有了點眉目。老師一邊巡視，一邊與寫出正確答案的同學(xué)做個別交流：

生：我先試著將的分子、分母同時擴大，得到；這樣可有

生：我先想到比小一點的埃及分?jǐn)?shù)，再用，結(jié)果得到，這樣剛好湊成了

學(xué)生明白了埃及分?jǐn)?shù)的含義，但能像古代埃及人那樣靈活運用埃及分?jǐn)?shù)嗎？原來我們不比四五千年的人聰明多少，埃及分?jǐn)?shù)的秘密需要付出思維的代價。案例二在老師適時“抽身”之后，學(xué)生通過挖掘自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，哪怕不乏學(xué)生沒有尋找出答案，也是在試圖平衡表層理解與深層理解，以便成功建構(gòu)合理的認(rèn)知和現(xiàn)實的理論。于是，當(dāng)教師成為他們自己教學(xué)的學(xué)習(xí)者，學(xué)生成為他們自己的教師的時候，對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會產(chǎn)生最大的效果。

二、可見的學(xué)：被學(xué)生所感知的教學(xué)質(zhì)量

1.可見的挑戰(zhàn)

把拆分成兩個不同的埃及分?jǐn)?shù)之和，對于剛剛接觸埃及分?jǐn)?shù)的學(xué)生來說，無疑是從興趣升級到了挑戰(zhàn)。而這個看似簡單但又不能輕松獲得的答案，反而更加刺激著學(xué)生的感官。隨后，課堂中挑戰(zhàn)接踵而至。

第一步，老師將大家的結(jié)果整理如下：；讓學(xué)生觀察這三組算式中的數(shù)字，提問能找到什么秘密嗎？

第二步，教師出示讓學(xué)生自己探求。

第三步，等號右邊第一個加數(shù)的分母如何確定呢？3，2；5，3；15，8……規(guī)律是什么？

每一次歷經(jīng)挑戰(zhàn)，學(xué)生都能清晰地感受到自己仿佛學(xué)功夫，又精進了一步。原來，挑戰(zhàn)和學(xué)習(xí)被學(xué)生所感知，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要要素，所以張景中院士說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣類似于下棋，是思考之樂，是挑戰(zhàn)之樂?！盵4]課堂，不斷丟給學(xué)生問題，讓學(xué)生花些力氣去解決，并品嘗到挫折；直到他們亟須一個想法時，再給他們一些技巧。但不要給太多。學(xué)生樂于其中，并借此不斷積累思維的經(jīng)驗。

2.可見的娛樂

數(shù)學(xué)不在“真相”里，而在“搜尋真相”的經(jīng)歷之中、“創(chuàng)造真相”的過程之中。本來看不出來的，突然間就看見了。能夠從“無”當(dāng)中創(chuàng)造出簡單的純粹的美麗，并且在這個過程中，豐盈了自己的思維，這不正是至上的娛樂嗎？一如數(shù)學(xué)家保羅·拉克哈特的興奮之詞：“我純粹就是在玩。這就是數(shù)學(xué)——想知道、游戲、用自己的想象力來娛樂自己。”[5]

【案例3：歸納公式】

師：你們獲得花了5分鐘，而你們考我，我答出只用了不到5秒鐘，不覺得似乎有什么竅門嗎？

生：后一個加數(shù)的分母是前兩個分母的乘積。

師：對的。那等號右邊第一個加數(shù)的分母如何確定呢？

生：……

師：看，3，2；5，3；15，8。規(guī)律是什么？

生：先將所要拆分的分母+1，再將結(jié)果除以2，商就是第一個埃及分?jǐn)?shù)的分母。

師：棒極了！那

生：

師：

生：

這就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺：對于我們想象的創(chuàng)造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意而又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界，令人著迷、充滿趣味。

3.可見的改進

再回過頭來，審視案例2和案例3的學(xué)習(xí)。面對問題，學(xué)生們并不是總能立即反應(yīng)出答案，甚至在獲得答案的過程中，常常伴隨著錯誤。例如有學(xué)生寫出，可是這不符合兩個不同的埃及分?jǐn)?shù)的要求；然而，面對錯誤，學(xué)生沒有氣餒，嘗試著將一個加數(shù)的分母調(diào)整為3，眼睛豁然一亮，另一個埃及分?jǐn)?shù)不就是嗎？再例如，學(xué)生對所內(nèi)含的規(guī)律產(chǎn)生了困窘，只能判定等號右邊第二個埃及分?jǐn)?shù)的分母，是這個埃及分?jǐn)?shù)的前面兩個分?jǐn)?shù)分母的乘積；不過，一旦老師提醒大家聚焦分母“3，2；5，3；15，8”，思路頓時打開了。所以說，學(xué)習(xí)是可錯的，更是能夠被改進的，每個學(xué)生都能看得見這種改進。

還有，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非總是大聲的、興奮的，但是又很少有沉郁、壓抑的時候，常常是緊湊的、富有活力和冒險的。一旦學(xué)生進入了數(shù)學(xué)冒險、興奮，還有些許的不確定的探究緊張，走彎路，乃至錯誤自然出現(xiàn)，然而，就像上文的兩個案例，哪一次錯誤不是數(shù)學(xué)成功的基石？

4.可見的思想

【案例4：特殊到普通】

生：老師，你教我們體驗的都是比較特殊的分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)都可以寫成幾個埃及分?jǐn)?shù)的和嗎？例如。

生：

師：但是問題又來了，古埃及人可不懂這樣將分子、分母同時乘一個數(shù)再去拆分，他們只會實物操作，我們再以分餅為例，可以變成什么樣的問題？

生：5塊餅平均分給6位同學(xué)，每人分得多少塊？

師：那我們穿越到四千多年前，像古埃及人那樣實際操作一下如何？

生：先取出3塊餅，每塊平均分成2份，每人取1份，即得塊；再將剩下的2塊餅平均分成3份，每人取1份，即得塊。所以

在課被設(shè)計好以后，在內(nèi)容被傳授以后，在課堂被組織起來以后，就出現(xiàn)了教學(xué)成果的完整概念。在案例4中，學(xué)生習(xí)得了同學(xué)的經(jīng)驗，可以通過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子、分母同乘一個數(shù)，將改寫成，從而發(fā)現(xiàn)需要的埃及分?jǐn)?shù)。毋庸置疑，學(xué)生掌握了類比推理的數(shù)學(xué)思想。

同時，用畫草圖的方式，將數(shù)學(xué)知識形象化，又有數(shù)形結(jié)合的意思。更重要的是，這些方法雖然呈現(xiàn)了一定的推理與模型思想，可是所得的推理與模型并不能解決所有的分?jǐn)?shù)如何轉(zhuǎn)化為埃及分?jǐn)?shù)。那古老的埃及人是怎樣使得的呢？

是的，學(xué)生歷經(jīng)重重挑戰(zhàn)與挫折，通過改進自己的錯誤，探究出了分子是1和分子是2的分?jǐn)?shù)，拆分成不同的兩個埃及分?jǐn)?shù)的一般表達式：和。不過，分子是3、4、5……的分?jǐn)?shù)呢？因為分子的不同，都有一個不同的表達式嗎？有沒有一個統(tǒng)一的表達式？

這就是數(shù)學(xué)思想的力量，既能解決問題，又是下一個問題的孵化器。當(dāng)然，下一個問題還得依靠數(shù)學(xué)抽象思想、推理思想、模型思想。學(xué)生的解題策略吻合上了數(shù)學(xué)家的問題解決方式。吸引了幾千年來的數(shù)學(xué)家們的埃及分?jǐn)?shù)問題，竟成了學(xué)生需要直面的問題。于是就有了接下來的場面：盡管下課了，學(xué)生還在關(guān)心著斐波那契的貪心求法。

綜上所述，教師是學(xué)生學(xué)的促進者以及審慎的引領(lǐng)者。但學(xué)習(xí)終歸需要內(nèi)化成學(xué)生素養(yǎng)的表現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三要素是：數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想。[6]三要素中每個要素都是必要的，但是單獨哪一個要素對于有效學(xué)習(xí)來說又都是不夠的。缺少某一個要素，哪怕是很小一部分的缺乏，學(xué)生也可能幾乎什么都沒學(xué)到。因此，數(shù)學(xué)不是名詞，而是動詞，甚至是生活方式?！?/p>

參考文獻：

[1][6]劉曉萍，陳六一.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論分析[J].今日教育，2016（3）：24-26.

[2][3]約翰·哈蒂.可見的學(xué)習(xí)[M].彭正梅，鄧?yán)颍咴?，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2015：28-36.

[4]張景中.怎樣才能快樂地學(xué)數(shù)學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級數(shù)學(xué)）（人教版），2008（3）：6-8.

[5]保羅·拉克哈特.一個數(shù)學(xué)家的嘆息[M].高翠霜，譯.臺北：經(jīng)濟新潮社，2013：17.