靈活變通　事半功倍——例談不等式恒成立的解題技巧

■江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué)　鄒敬宇

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靈活變通事半功倍——例談不等式恒成立的解題技巧

■江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué)鄒敬宇

不等式恒成立問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，由于涉及的知識(shí)面廣，制約條件復(fù)雜，參變量的潛在約束比較隱蔽，因而一直是一個(gè)難點(diǎn).恒成立問題，涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.不等式恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；圖像求解型.下面筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐對(duì)解題中常用的解題方法逐一剖析，以期拋磚引玉.

一、更換主元構(gòu)造函數(shù)法

有些數(shù)學(xué)問題構(gòu)思新穎，同時(shí)有其實(shí)際背景，按習(xí)慣思維，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境.如果打破思維定勢(shì)，反“客”為“主”，把原來處于相對(duì)次要地位的“客元”突出出來，常常能收到意想不到的效果.通過更換主元措施可以將二次不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式，達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的.當(dāng)一道題中有多個(gè)變量時(shí)，要敢于把其中的一個(gè)變量作為自變量，其余的變量作為參數(shù)處理，此法稱為“更換主元法”，可達(dá)到逐步減少參數(shù)使問題獲得解決.“更換主元法”是將二次函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)恒成立問題的一種重要措施，在解題時(shí)要注意靈活運(yùn)用.

例1對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+ px+1＞2p+x恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母x、p，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在［-2，2］內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.

解：不等式x2+px+1＞2p+x可化為（x-1）p+x2-2x+1＞0，設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則f（p）在［-2，2］上恒大于0，故有即解得

所以x＜-1或x＞3.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一次函數(shù)f（x）=kx+b，若f（m）＞0，f（n）＞0，則當(dāng)x∈［m，n］時(shí)，恒有f（x）＞0；對(duì)于一次函數(shù)f（x）=kx+b，若f（m）≥0，f（n）≥0，則當(dāng)x∈［m，n］時(shí)，恒有f（x）≥0.

二、反客為主分離變量法

若在不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.具體措施為：函數(shù)的單調(diào)性法、區(qū)間最值法、基本不等式法等.

不等式f（x）＞A在區(qū)間D上恒成立等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）min＞A；不等式f（x）＜B在區(qū)間D上恒成立等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）max＜B.

例2若不等式x2-2mx+2m+1＞0對(duì)0≤x≤1內(nèi)的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍.

解析：分離變量，當(dāng)x=1時(shí)，原不等式即2＞0恒成立；當(dāng)0≤x＜1時(shí)，原不等式即，故只需

點(diǎn)評(píng)：由于原不等式是關(guān)于x的二次不等式，所以也可以利用函數(shù)圖像來解決，設(shè)g（x）=x2-2mx+2m+1，開口向上，要在區(qū)間［0，1］上恒大于零，必須或或解得m＜0或m＞1或.故

因此，涉及不等式中恒成立變量的取值范圍問題，可根據(jù)a＞f（x）恒成立?a＞f（x）max，a＜f（x）恒成立?a＜f（x）min，利用分離變量的方法求解，變形時(shí)，一定要注意x=0的情況，即要注意分類討論，不能遺漏任何可能情況.