作為數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)處理的方差

■華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院　徐章韜■大連大學(xué)師范學(xué)院　趙　弘

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作為數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)處理的方差

■華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院徐章韜
■大連大學(xué)師范學(xué)院趙弘

一、引言

對于實證取向的數(shù)學(xué)教育研究來說，追求的是現(xiàn)象結(jié)果背后的原因，即以尋找因果關(guān)系為己任.而這種因果關(guān)系是能夠用數(shù)據(jù)來說明，能從經(jīng)驗層面得到證明的.這種實證研究方法還得到了心理學(xué)、社會學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等眾多學(xué)科的推崇.其中，統(tǒng)計方法在其中扮演了重要角色.對于教育科學(xué)及其他學(xué)科中的數(shù)據(jù)為什么能用統(tǒng)計方法處理，進而得到規(guī)律，是一個非常復(fù)雜的問題，需要做系列研究.本文是該系列研究中的一部分，主要闡明方差在處理數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)時的原理及應(yīng)用.

二、從誤差的角度認識方差

實證取向的數(shù)學(xué)研究的第一步就是要對抽象的教育學(xué)概念，比如，數(shù)學(xué)素養(yǎng)等，進行操作化處理，得到經(jīng)驗層面的可測量的概念.然后，再根據(jù)所列的各項指標(biāo)進行測量.在測量過程中，總會產(chǎn)生誤差.誤差是測量值與真實值之間的差異.真實值只是一個理論值，實際上得不到，只好用各種值來逼近它.例如，“多次測量取平均值”就是把測量值作為真實值的代表.我們把誤差的平方，叫做平方誤.對平方誤取均值得到方差，是非常精彩的一筆，使得方差能夠正交分解，具有鮮明且豐富的幾何意義.

例如，把學(xué)生分組，分別按傳統(tǒng)方法、翻轉(zhuǎn)課堂的方法、探究式方法進行教學(xué)，現(xiàn)在要研究的問題是教學(xué)方法對教學(xué)質(zhì)量的影響.實證取向的數(shù)學(xué)教育研究，首先要回答兩個量之間是否相關(guān)，然后再看這兩個量之間有無因果關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）.因此，對這個問題而言，就要回答教學(xué)方法（這是分類控制變量）與教學(xué)質(zhì)量（一般用學(xué)生成績來衡量，這是定距觀測變量）這兩個變量是否相關(guān)，也就是如何求相關(guān)系數(shù)的問題.

設(shè)總體自變量共分為m類，每類共有nm個個體，n1+ n2+n3=n.如本例中，共有m=3類教學(xué)法，每類分別有n1= 50，n2=53，n3=64.對觀測變量教學(xué)質(zhì)量y進行了n次檢測，也就是共有n個學(xué)生參加實驗，教學(xué)質(zhì)量由每個學(xué)生的成績來衡量.當(dāng)不知道教學(xué)質(zhì)量y與分類控制變量教學(xué)方法x有關(guān)系時，對真實值的估計最好用平均值，就是“多次測量取平均值”，因為這時所產(chǎn)生的誤差最小，這時，自然地形成了一個n維向量α=（y11-y，…，y1n1-y，y21-y，…，y2n2-y，…，ym1-y，…，ymnm-y）；當(dāng)知道教學(xué)質(zhì)量y與自變量教學(xué)方法x有關(guān)系時，就會采用各組的平均值來估計真實值，而不會用總平均值來估計真實值，這時，自然地形成一個n維向量前后兩次對真實值的估計是有區(qū)別的，這時，自然地形成一個n維向量注意到α=β+γ，可以證明β，γ的數(shù)量積為零，且兩者相互獨立.這時，由勾股定理就有，從而得到，D（α）=D（β）+ D（γ）（*）.

測量值與真實值的誤差總是一定的，即（*）式的左端是一個定值D（α）；教學(xué)方法與教學(xué)質(zhì)量越相關(guān)，表明單純地用測量值的平均值來估計真實值，不如根據(jù)由與分類控制變量相關(guān)聯(lián)的觀測變量的平均值來估計真實值更好，這就說明越有必要引入分類控制量，D（γ）就應(yīng)越大，D（γ）越大就表明作為真實值的代表，yi比y更好；此時D（β）就應(yīng)越小，這說明即使假定y與x有關(guān)聯(lián)之后，用yi來估計y還是有誤差，這個誤差是其他因素引起，稱之為未被解釋的誤差或不明原因引起的誤差，這個誤差當(dāng)然是越小越好，極端情況是零，這時說明把握了自變量就能把握因變量，就成了一種確定性的關(guān)系了.衡量教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)方法有無關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)是假定它們有關(guān)聯(lián)之后，誤差的改進程度，改進程度越高，擬合效果越好，根據(jù)這一樸素想法，就可以用來衡量回歸直線擬合的好壞程度，這恰好等于cos2〈α，γ〉=r2.

這事實上說明了方差分析的實質(zhì)是分類變量與定距變量之間的相關(guān)性分析.這就是方差分析的基本思想：通過分析研究不同來源的誤差對總誤差的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小.在觀測變量總誤差平方和中，如果組間誤差平方和所占比例較大，則說明觀測變量的變動主要是由控制變量引起的，可以主要由控制變量來解釋，控制變量給觀測變量帶來了顯著影響；反之，如果組間誤差平方和所占比例小，則說明觀測變量的變動不是主要由控制變量引起的，不可以主要由控制變量來解釋，控制變量的不同水平?jīng)]有給觀測變量帶來顯著影響，觀測變量值的變動是由隨機變量因素引起的.

在實際操作上，就用均方（誤差平方和除以自由度）代替誤差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，方差分析就是用組間均方去除組內(nèi)均方的商與1相比較，若F值接近1，則說明各組均值間的差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義，若F值遠大于1，則說明各組均值間的差異有統(tǒng)計學(xué)意義，分類控制是有必要的（采用不同的教學(xué)法對教學(xué)質(zhì)量是有影響的）.

三、進一步的推廣

上述誤差正交分解的原理，還可進一步推廣到多元方差分析和協(xié)方差分析問題.

1.多元方差分析問題

教學(xué)質(zhì)量不但受教學(xué)方法（分類控制變量A），還受教師性格（分類控制變量B）的影響，如何研究不同教學(xué)方法和教師性格對教學(xué)質(zhì)量的影響，就是一個多元方差分析問題.這時不但要分別考慮A、B對觀測變量的影響，有時還要考慮A與B的交互作用對觀測變量的影響.如某種性格的教師特別擅長于某種教學(xué)方法.如分類變量A的取值類型共有a類，分類變量B的取值類型共有b類，在不考慮存在實際干擾或交互作用的情況下，無須進行重復(fù)實驗，只要得到a×b個觀測值，便可以用方差分析方法判斷分類控制變量分別對觀測變量是否有影響.如果考慮實際干擾或交互作用，那么就要進行重復(fù)實驗，要至少得到a×b×r（r≥2）個觀測值，便可以用方差分析方法判斷分類控制變量分別對觀測變量是否有影響.

其步驟如下：（1）把誤差進行正交分解，TSS=BSSA+ BSSB+IA×B+RSS；（2）確定誤差衡量標(biāo)準(zhǔn).

如果交互作用不顯著，則IA×B+RSS可以合并為TRSS，以TRSS的均值作為標(biāo)準(zhǔn)衡量分類控制變量A和B對觀測變量的影響程度.

如果交互作用顯著的話，就要根據(jù)變量的類型確定衡量標(biāo)準(zhǔn)了.根據(jù)變量A和B的性質(zhì)，選用不同的衡量標(biāo)準(zhǔn).固定模型研究固定變量（不具有隨機性的分類變量，如三種教學(xué)方法）對觀測變量的影響，衡量標(biāo)準(zhǔn)是RSS的均值隨機模型研究隨機性分類變量對觀測變量的影響，由于不能排除隨機抽樣誤差，衡量標(biāo)準(zhǔn)是IA×B的均值混合模型研究隨機變量和固定變量對觀測變量的影響，檢驗固定變量的作用時，要考虎隨機變量對其的影響，不能排除隨機誤差的影響，衡量標(biāo)準(zhǔn)是檢驗隨機變量的作用時，衡量標(biāo)準(zhǔn)是

2.協(xié)方差分析

教學(xué)質(zhì)量不但受教學(xué)方法（分類控制變量A），還受教師性格（分類控制變量B）的影響，也受學(xué)生原來的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、智力和興趣（分類控制變量C）的影響，如何在排除C對教學(xué)質(zhì)量影響的前提下，研究不同教學(xué)方法和教師性格對教學(xué)質(zhì)量的影響，就是一個協(xié)方差分析問題.協(xié)方差分析將那些人為很難控制的因素作為協(xié)變量，并在排除協(xié)變量對觀測變量影響的條件下，分析控制變量對觀測變量的作用，從而更加準(zhǔn)確地對控制因素進行評價.觀測變量的變動控制變量的獨立作用、控制變量的交互作用、協(xié)變量的作用和隨機因素的作用等四個因素的影響.協(xié)方差分析沿承方差分析的基本思想，在分析觀測變量的方差時，考慮了協(xié)變量的影響.以單因素協(xié)方差為例，TSS=RSS+BSS+Q控制變量.在扣除協(xié)變量的影響后，再分析控制變量的影響，檢驗統(tǒng)計量仍采用F統(tǒng)計量，它們是各均方與隨機因素引起的均方之比.如

四、教材尋根

統(tǒng)計是數(shù)據(jù)處理的學(xué)問，在實證取向數(shù)學(xué)教育研究中，應(yīng)用數(shù)據(jù)處理的方法體現(xiàn)了研究方法的進步.然而，我們發(fā)現(xiàn)，很多研究者對其背后的原理是不大關(guān)注，以致影響了研究的信度和效度.關(guān)注概率統(tǒng)計的教學(xué)，提高數(shù)學(xué)教育研究者自身的素養(yǎng)是我們每個人必修的功夫之一.

對中學(xué)概率統(tǒng)計課程而言，我們可以在局部深度挖掘教材內(nèi)涵，尋找貫通教材的核心概念.從以上可以看出，方差及其正交分解起到了關(guān)鍵作用.概率論中方差用來度量隨機變量和其數(shù)學(xué)期望之間的偏離程度.統(tǒng)計中的方差（樣本方差）是各個數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù).這是方差的理論意義，然而只有探求其實際意義，把方差當(dāng)作平方誤時，方差與前后概念間的關(guān)聯(lián)才會溝通起來.方差何時取最小值，是“多次測量取平均數(shù)”，確定線性回歸方程的理據(jù)；［2］從誤差的角度出發(fā)，線性相關(guān)系數(shù)的概念自然地產(chǎn)生了.然而，在現(xiàn)行的教材中，方差的地位并不突出，以致學(xué)生不能明白平均數(shù)的典型性、代表性，對線性回歸方程的原理似懂非懂；相關(guān)系數(shù)一筆帶過，學(xué)生看到繁冗的表達式就發(fā)悚.以方差為中心，凝聚了平均數(shù)、線性相關(guān)系數(shù)、線性回歸方程！然而概率中的方差與統(tǒng)計中的方差其著眼點并不一樣，這就要求教師站在尋求課程主線的角度，把前后知識融為一個整體.

對中學(xué)概率統(tǒng)計課程而言，我們可以在更大一點的范圍內(nèi)深度挖掘教材內(nèi)涵，尋找前后教材的有機關(guān)聯(lián).方差的正交分解，涉及一系列知識和概念，有助于我們溝通數(shù)學(xué)知識不同分支間的關(guān)聯(lián).方差的正交分解，涉及向量的合成與正交分解，向量的幾何意義；從表現(xiàn)形式上看，是勾股定理這一優(yōu)美形式的推廣，還可走得更遠，可以看作是n維空間的正交分解；可以用方差的非負性，很好地證明基本不等式等.［3］隨機性數(shù)學(xué)與確定性數(shù)學(xué)之間的橋梁如何架構(gòu)，還需要我們提供更多的素材.方差，也就是平方誤，還架起了數(shù)學(xué)與物理知識之間的橋梁.真是“曲徑通幽處，禪房花木生”.這就要求教師具有大的課程觀，不能囿于一隅.

關(guān)聯(lián)，教材的重要特征之一，學(xué)習(xí)者不能不察.

參考文獻：

1.徐章韜.從測量的角度看線性相關(guān)系數(shù)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2014（12）.

2.章建躍，陶維林.“兩個變量線性相關(guān)”的教學(xué)實踐與思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2015（2）.

3.徐章韜.從和方差公式到平方和公式：教學(xué)意義提升的一則案例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（7）.F