對2016年江蘇高考壓軸題的探究、溯源與啟示

☉江蘇省宜興中學(xué) 劉國祥☉江蘇省太湖高級中學(xué) 張 敏

對2016年江蘇高考壓軸題的探究、溯源與啟示

☉江蘇省宜興中學(xué) 劉國祥☉江蘇省太湖高級中學(xué) 張 敏

一、問題的提出

解答江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷后，讓筆者眼睛一亮，也讓筆者難以釋懷的是一道填空壓軸題.

題目 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________.

本題以解三角形為載體，考查學(xué)生綜合運(yùn)用三角變換、基本不等式等相關(guān)知識分析、解決問題的能力，考查函數(shù)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，同時也考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).仔細(xì)品味該試題，不論是從試題的背景、試題難度、命題立意，還是對數(shù)學(xué)思維能力的考查都很到位，可謂簡約而不簡單.

二、多視角探究

視角一：函數(shù)法

析果聯(lián)因，即在結(jié)果和已知之間尋找內(nèi)在聯(lián)系.由于本題目標(biāo)是求tanAtanBtanC的最小值，條件sinA= 2sinBsinC為正弦、余弦，變形方向：化弦為切，三元問題，自然聯(lián)想到消元.

由sinA=2sinBsinC，得sin（B+C）=2sinBsinC，展開后等式兩邊同除以cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC，而目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)了兩個變量：tanBtanC和tanB+tanC，利用條件消元，可得一元函數(shù).

解法一：設(shè)tanBtanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成等號成立的條件是x=2，由解得tanA=4，所以故tanAtanBtanC的最小值是8.

解法二：設(shè)tanB+tanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為等號成立的條件是x=4，以下同上.

視角二：基本不等式法

本題是一個三元變量的最值問題，如何轉(zhuǎn)化成二元變量是關(guān)鍵.依據(jù)三角形中的結(jié)構(gòu)特征，不難想到教材上的一道經(jīng)典關(guān)系式（例題）：在斜三角形中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.因此下列解法就順理成章了.

視角三：解析幾何法

題中的三角形是變化的，揭示在約束條件sinA= 2sinBsinC下的變化規(guī)律是問題的本質(zhì)所在.

解法四：化邊為a=2bsinC，變形為a2=2absinc=4S△ABC.設(shè)邊BC上的高為h，易得a=2h，由此問題中的幾何背景是邊BC的長度是邊BC上的高的2倍.設(shè)邊BC=2，則高AD=1，以BC為x軸，邊BC中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的軌跡方程為y=1（-1＜x＜1，且x≠0），設(shè)點(diǎn)A（x，1）

上述幾種解法的共同點(diǎn)是把三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)（幾何）問題，再利用代數(shù)（幾何）方法予以解決.這幾種解法的思路也比較自然，涉及一些基本方法：代入、消元、換元，但作為壓軸題，對考生的思維要求較高，需要對信息做一些整合.可見，這道試題既注重通性通法也兼顧能力要求，那多彩的解答背后有豐富的內(nèi)涵.

三、尋根溯源，拓展探究

“問渠那得清如水，為有源頭活水來”，這道考題的原形在哪里呢？我們翻翻課本，做做往年的高考題就知道了.

1.高考題背景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)建議指出：重視三角恒等變形在數(shù)學(xué)中應(yīng)用，因為三角恒等變形有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力.以三角函數(shù)的恒等變形為背景來命制能力題，已經(jīng)成為江蘇高考的一大特色，而且?？汲Ｐ?

例如，“2010年江蘇高考第13題：在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則和“2014年江蘇高考第14題：若△ABC的內(nèi)角滿足則cosC的最小值是__________”.

可見，2010年是邊角混合的求值問題，側(cè)重于余弦定理與三角恒等變換的結(jié)合；2014年看似是三角問題，但齊次式整體轉(zhuǎn)化為邊，側(cè)重于余弦定理與基本不等式的結(jié)合；而2016年高考第14題是一個三角的最值問題，可以視為上面兩題的姊妹題，它側(cè)重于三角變換與基本不等式的結(jié)合，由于轉(zhuǎn)化為邊了，因此，思路更開闊，內(nèi)涵更豐富.

2.課本題背景

2016年高考第14題是對教材中有關(guān)三角函數(shù)、解三角形、基本不等式的一些相關(guān)點(diǎn)進(jìn)行重組、引伸、拓展，在知識的交匯點(diǎn)處巧妙設(shè)計，具體而言，它是由“必修5第17頁第5題：在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，判斷△ABC的形狀”、“必修4第116頁例4：在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.同時課本給出探究題：一般地，當(dāng)角A、B、C滿足什么條件，能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立”和“必修5第88頁例2：已知函數(shù)求此函數(shù)的最小值”三題整合而成，可謂源于課本又高于課本，起點(diǎn)低而落點(diǎn)高.其中，若能熟練掌握tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC這一經(jīng)典結(jié)論，視角二的解法就很容易想到了.

3.變式與拓展

變式1：在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對的邊長，則4tanB+tanC的最小值是____________.

變式2：在△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對的邊長，則角A的范圍是__________.

變式3：在△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對的邊長，則的取值范圍是____________.

變式4：在銳角△ABC中，若sinA=2sinBcosC，則tanAtanBtanC的最小值是____________.

其中，變式1～3是變化結(jié)論，變式4是變化條件.

四、高三復(fù)習(xí)教學(xué)的三點(diǎn)啟示

1.回歸課本

筆者以為，2016年江蘇高考數(shù)學(xué)試題平穩(wěn)、平和，注重基礎(chǔ)，兼顧能力，回歸課本，不少試題都是在知識交匯處命制.

數(shù)學(xué)課本既是教師上課、學(xué)生學(xué)習(xí)之本，也是數(shù)學(xué)知識、思想方法的重要載體；近年高考命題顯示，課本也是高考命題之本.教材是高考試題的基本來源，是中、低檔試題的直接來源，許多能力要求較高的試題也是對課本基礎(chǔ)知識、典型例習(xí)題的再加工、重組、拓展和賦予新的背景的結(jié)果.它啟示我們，高三復(fù)習(xí)應(yīng)回歸課本，不是簡單的看課本，而是要深度挖掘課本例習(xí)題的功能，對其進(jìn)行加工重組、拓展，打通課本與高考的綠色通道.

2.對接高考

高三復(fù)習(xí)必須重視對往年真題的研究.首先，高考真題具有典型性、代表性、嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性；其次，高考真題凝聚著高考命題專家的智慧，有的看似簡約但不簡單，立意深遠(yuǎn)，有的背景深刻，有的內(nèi)涵豐富.在研究的過程中，需要我們弄清其思想方法，領(lǐng)悟其典型的解題思路.再次，要探究高考題與課本題的結(jié)合點(diǎn)，善于在課本中找高考題的原型，通過分解、整合、拓展，引導(dǎo)學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，如此也能給我們的高三復(fù)習(xí)注入活力，避免簡單重復(fù)的乏味，從而提升復(fù)習(xí)教學(xué)的效能.

3.局部探究

因江蘇卷每年都有一些試題對探究性的能力要求較高，這既符合高考的考查方向，也符合新課程的基本理念：倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.它啟示我們：從高一開始，就要轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，對教材每一課后面的“探究·拓展”問題，每學(xué)期要選擇性地進(jìn)行幾次.而在平常教學(xué)中，不妨讓局部探究成為數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)，即根據(jù)教材的特點(diǎn)，圍繞某個小專題或者是某個具體的數(shù)學(xué)問題，從一堂課中拿出5～15分鐘的時間，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生用自我探究與合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗過程，獲取知識，培養(yǎng)能力.可以對新授課的難點(diǎn)概念，對重要的公式、定理實(shí)施局部探究，以充分展示數(shù)學(xué)知識的形成過程，理解規(guī)律；對習(xí)題課、復(fù)習(xí)課實(shí)施局部探究，有利于尋求解題突破口，構(gòu)建便于提取的信息網(wǎng)絡(luò)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

1.李鴻昌.2015年高考全國卷解析幾何試題的深入思考［J］.數(shù)學(xué)通訊，2015（9）.

2.王安寓.對一道月考試題的研究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2016（1）.

3.王華民.讓局部探究成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2008（8）.