跨界思維：打開初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一扇窗
——以“一元二次方程”教學(xué)為例

☉南京市中華中學(xué)上新河初級中學(xué)　黃玉華

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跨界思維：打開初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一扇窗
——以“一元二次方程”教學(xué)為例

☉南京市中華中學(xué)上新河初級中學(xué)黃玉華

一、背景

所謂跨界思維，就是以跨越自身學(xué)科、專業(yè)界限的知識及思維，多視角、多層面來審視問題與解決問題的一種思考方式.要跨界，必須拆除思想的藩籬，打破行業(yè)界限，以跨行業(yè)、無邊界的思維來思考問題.

受跨界思維的啟發(fā)，在一次數(shù)學(xué)教研活動中，我們邀請到了幾位其他學(xué)科的老師來參加聽課、評課活動.由一位數(shù)學(xué)老師進行“一課兩上”的同課異構(gòu)活動，授課內(nèi)容是蘇科版九年級上“一元二次方程”（第1課時），本節(jié)課是初中數(shù)學(xué)中一種常見的概念型課.由教師A上先行課，然后大家（包括各學(xué)科教師）評議，教師A再根據(jù)大家的建議重新設(shè)計，進行同課異構(gòu)，通過這樣的教研活動引發(fā)大家思考，其中一位語文特級教師的評議如一石擊起千層浪，掀起了大家的聽課、評課、上課的激情，讓與會者耳目一新，筆者聽后收獲頗多，數(shù)學(xué)概念課也可以這樣上出精彩！現(xiàn)擷取其中的片段與大家分享！

二、跨界思維下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的嘗試

1.教師A的先行課的流程

根據(jù)教材順序，首先通過四個實際問題（正方形桌面面積問題、矩形花圃圍欄面積問題、圖書館藏書的年增長率問題、梯子靠墻問題）引導(dǎo)學(xué)生探索、分析、列出四個一元二次方程，然后讓學(xué)生觀察、討論所列出的四個方程，尋找所列方程在形式上的共同點，從而抽象、概括出一元二次方程的定義和一般形式，然后進行概念的辨析、鞏固與運用.

2.先行課結(jié)束后，大家進行如下評議

教師B：本節(jié)課是數(shù)學(xué)概念課型.教師A根據(jù)概念課的一般授課模式，即“概念的引入—概念的形成—概念的表示—概念的辨析—概念的鞏固—概念的提升”，目的在于突出一元二次方程的本質(zhì)特征，強調(diào)概念的一般性與具體例子之間的聯(lián)系，并使學(xué)生認識到一元二次方程有著廣泛的實際背景，它可以作為許多實際問題的數(shù)學(xué)模型.

教師C：我來談?wù)劚竟?jié)課的地位.整式方程一般按照其中未知數(shù)（元）的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)分類，一元二次方程與前面所學(xué)整式方程相比，變化在于未知數(shù)的最高次數(shù)由一次升為二次，由此帶來了方程解法的新變化.一般地，解任何一個代數(shù)方程（組）時最終都要化歸為一元一次方程來解.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)教材中所學(xué)習(xí)的最后一種方程，是以前所學(xué)方程知識的延續(xù)和深化，是解決其他數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，本節(jié)課作為章節(jié)起始課，我覺得教師A整個教學(xué)過程突出了學(xué)生的主體地位，是一節(jié)常態(tài)下的概念課.

教師D：蘇科版教材（義務(wù)教材）在方程概念部分的內(nèi)容安排從初一到初三總是遵循“實際問題情境—建立方程模型—概括抽象形成概念”這樣的模式.這種千篇一律的設(shè)計模式，忽視學(xué)生認知心理特點與思維的發(fā)展變化，學(xué)生往往感覺單調(diào)，學(xué)習(xí)缺乏激情.這種課讓人總感覺缺乏以數(shù)學(xué)概念的抽象過程為載體的學(xué)生認知過程分析，照本宣科地“灌輸”概念，學(xué)生被老師“牽著鼻子”走，缺乏以數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的揭示過程為載體的思維探究活動，不知道大家是否有這樣的感覺.

……

教師W（語文特級教師）：聽了剛才大家的評議，我對本節(jié)課有這樣的一種設(shè)想：“本節(jié)數(shù)學(xué)課能否借鑒語文課上分析文章的思維方法，緊扣標題，因為標題是文章的眼睛和標志，它常常透露出作者的觀點或感情傾向，暗示文章的主旨，串連文章的結(jié)構(gòu)，起到揭示主旨和貫穿全文的線索作用.本節(jié)數(shù)學(xué)課是否也可以先讓學(xué)生解讀標題“一元二次方程”，你覺得什么樣的方程叫作一元二次方程？你能否舉出幾個例子來說明？你覺得我們應(yīng)該怎樣來研究一元二次方程？……”

經(jīng)過交流、評議，大家形成了這樣的共識：在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)分兩次學(xué)習(xí)過整式方程，即一元一次方程（七年級上），二元一次方程（七年級下），并且學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程（八年級下）.學(xué)生對于方程的相關(guān)概念、解方程的基本思路已經(jīng)比較熟悉.之前學(xué)習(xí)方程概念時，總是遵循“實際問題情境—建立方程模型—概括抽象形成概念”這樣的模式，如果到了初三學(xué)習(xí)一元二次方程還采用這種模式會讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥無味的感覺，容易形成思維定勢，況且初三學(xué)生的心理較初一、初二時期有了很大的發(fā)展，他們的推理能力、抽象能力、概括能力都有了一定的提高，根據(jù)初中數(shù)學(xué)課程標準的要求：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是富有挑戰(zhàn)性的，要有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流，內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求.數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

教師W的這種建議是一種開放式設(shè)計，能很好地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的類比、抽象、猜想、概括等能力，能很好地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣泛性、深刻性和獨特性，于是，融合不同學(xué)科思維產(chǎn)生了以下第二種設(shè)計方案.

3.教師A第二次上課片段實錄（概念引入和同化部分）

師：什么叫方程？我們以前研究過哪些種類的方程？它們有怎樣的特點？試舉例.

生1：含有未知數(shù)的等式叫方程，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和二元一次方程，還有分式方程.一元一次方程的特點是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程，如2x+1=0；二元一次方程的特點是含有兩個未知數(shù)并且所含未知數(shù)項的最高次數(shù)是1的整式方程，如3x-2y=5；分式方程的特點是分母中含有未知數(shù)，如

師：（一邊板書課題一邊提問）今天我們一起來認識一種新的整式方程——一元二次方程.當(dāng)你看到這個課題時，你覺得需要研究一元二次方程的哪些內(nèi)容？

生2：應(yīng)該研究它的定義、解法，還有應(yīng)用.

師：對，這是研究方程的一般套路，哪個同學(xué)能類比前面所學(xué)方程的定義，給一元二次方程也下個定義，并舉例說明.

生3：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫作一元二次方程，如x2=1.

師：（一邊板書一元二次方程的概念一邊提問）一元二次方程與以前所學(xué)的一元一次方程有何異同？

生4：不同點是一元二次方程所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2，而一元一次方程所含未知數(shù)的最高次數(shù)是1，相同點是都只含有一個未知數(shù)，并且都是整式方程.

師：請小組內(nèi)每人寫一個一元二次方程，相互交流，看看哪一小組的形式多樣？（教師巡視）

小組1：①2x2=1，②x2+2x=0，③3x2+2x-1=4，④x2=0，⑤（x-1）2=2.

師：請同學(xué)們把這些方程變形，使等號右邊變成0，左邊按照未知數(shù)的次數(shù)由高到低順序排列.你們能發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程有什么共同點，有什么不同點？你能用字母系數(shù)來表示出一元二次方程嗎？思考后寫出來，小組交流.

小組2：我們發(fā)現(xiàn)變形后的這些一元二次方程左邊第一項都含未知數(shù)的二次項，但有的方程缺一次項，如方程①；有的方程缺常數(shù)項，如方程②；有的方程既缺一次項，又缺常數(shù)項，如方程④.我們這一小組用字母系數(shù)來表示出的一元二次方程的形式是mx2+nx+p=0.

師：這里的字母系數(shù)m、n、p能取任意實數(shù)嗎？為什么？

生5：m≠0，否則未知數(shù)的最高次數(shù)就不是2次了，方程也就不是一元二次方程了.

師：n和p呢？

生6：n、p可以任意取.

師：（板書）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0.這種形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

……

三、聽課后的感受

1.課堂氣氛

整個教學(xué)過程，以問題引領(lǐng)思維，以猜想發(fā)展思維，以交流優(yōu)化思維，課堂氣氛活躍，學(xué)生熱情高漲、積極主動，學(xué)生的思維如行云流水，自然流淌.

2.課堂效果

在當(dāng)堂練習(xí)中設(shè)計了這樣的兩道試題：①若關(guān)于x的方程（a+1）x|a|+1-ax-3是一元二次方程，則a=_______；②若關(guān)于x的方程mx2-2x+1=2x（x-1）是一元二次方程，那么m的取值范圍是_______.從反饋的情況發(fā)現(xiàn)，這兩道試題相對于其他平行班級正確率較高，尤其是第②小題，填錯誤答案“m≠0”的人數(shù)較少，學(xué)生對一元二次方程的概念掌握較牢固，理解較深刻.

3.學(xué)生發(fā)展

學(xué)生在描述一元二次方程的概念過程中，初步形成了類比的思想方法，學(xué)生親歷概念的同化過程，產(chǎn)生積極的研究欲望，學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與老師思維進行碰撞，學(xué)生的思維得到了升華，創(chuàng)新意識也凸顯出來了，學(xué)生不再是知識的接受者，而成為知識的發(fā)現(xiàn)者，學(xué)生的思維得到了充足的發(fā)展，尤其到最后歸納小結(jié)時，教師問你還有什么新的想法或發(fā)現(xiàn)時，有個學(xué)生回答：“我也能說出一元三次方程、一元四次方程的定義了”，學(xué)生那種作為成功發(fā)現(xiàn)者的喜悅之情洋溢在臉上.

四、反思

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ).［2］無論是數(shù)學(xué)方法，還是解決數(shù)學(xué)問題，都必須運用數(shù)學(xué)概念，可以說，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基石.正確而深刻地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和形成基本技能的前提.數(shù)學(xué)概念是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)研究對象的眾多屬性中抽象出其本質(zhì)屬性，經(jīng)高度概括而成的.因此，數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這是數(shù)學(xué)概念難教、難學(xué)的原因之一.另外眾多的數(shù)學(xué)概念構(gòu)成一個龐大的體系，每一個概念都可以視作這一體系的一個節(jié)點，不同的概念有不同的抽象概括過程和程度.教學(xué)時只有根據(jù)概念的特點和課標的要求，結(jié)合學(xué)生的認知基礎(chǔ)，靈活采用教學(xué)方法，才能創(chuàng)造出課堂的精彩.

1.猜想是培養(yǎng)學(xué)生形成概念的一種重要思維方法

數(shù)學(xué)概念是科學(xué)思維的總結(jié)，它是在人類歷史的進程中逐步形成和不斷發(fā)展的.數(shù)學(xué)概念不僅產(chǎn)生于客觀世界中的具體事物，而且也產(chǎn)生于數(shù)學(xué)的“思維結(jié)果”.［3］引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ).概念引入時教師要鼓勵學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識做出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段.牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的強大動力，因此，在概念引入時培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生形成概念的一種重要思維方法.

2.根據(jù)學(xué)情靈活采用概念的兩種學(xué)習(xí)形式

概念有兩種基本形式：概念形成和概念同化.從學(xué)習(xí)過程來看，概念形成主要依靠對具體事物的抽象，通過對正反例證的不斷辨析，提出假設(shè)，并進行檢驗，最后發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性；而概念同化主要依靠新舊知識的聯(lián)系，判別學(xué)習(xí)的概念與原有認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的異同，并組成概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).因此，概念的形成往往與人類自發(fā)形成的概念相近，可以憑借對事物的具體形象和表象進行抽象而成概念，它適用于原始概念和一些層次較低的概念的學(xué)習(xí).如三角形、四邊形、平行線等概念的學(xué)習(xí)，就宜采用概念形成的方式.概念的同化則是具有一定心理水平的學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方式，比較適合中高年級.對于發(fā)展性概念，一般采用同化的形式.因為隨著學(xué)生年齡的增長，認知結(jié)構(gòu)中的知識不斷積累，智力不斷發(fā)展，就應(yīng)借助學(xué)生已有的概念去認識新的概念.在課堂教學(xué)條件下，概念同化就逐漸成為學(xué)生獲得新概念的主要方式，采用這種方式引入新概念時，要充分復(fù)習(xí)已有的概念，使新概念在已有的概念中生長和發(fā)展，從而產(chǎn)生新的認識.如一元二次方程、二次根式、二次函數(shù)等概念是純數(shù)學(xué)抽象物，是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，就應(yīng)該采用同化的方法引入，能更好地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，更好地發(fā)展學(xué)生的思維.

3.跨界思維下概念課的上課模式

對不同形式的概念的教學(xué)，可以采用不同的上課模式.概念教學(xué)主要是完成概念的形成和概念的同化這兩個環(huán)節(jié).新知識的概念是學(xué)生初次接觸或較難理解的，所以在教學(xué)時應(yīng)先列舉大量具體的例子，從學(xué)生實際經(jīng)驗的肯定例證中，歸納出這一類事物的特征，并與已有的概念加以區(qū)別和聯(lián)系，形成對這一特性的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程，這種概念的上課模式一般是：問題情境（抽象）—新概念分析（內(nèi)涵、外延、正（反）例）—應(yīng)用—反饋.其具體的實施步驟為：①構(gòu)建問題情境，創(chuàng)設(shè)心理環(huán)境.針對新概念構(gòu)建相應(yīng)的問題情境，隱含新概念所描述事物的本質(zhì)，觀察、認識到提出新概念的必需和合理，以形成合理心情，積極、大膽地進行思維.②考查本質(zhì)屬性，抽象形成概念.分析問題情境，概括出它所反映事物的共同屬性，由此逐步抽象而提出新概念.③設(shè)計多向分析，深化概念理解.對新概念可從揭示內(nèi)涵、外延、定義方式、合理性（和諧性）、正反例證等方面分析.④及時測試反饋（應(yīng)用），評價思維訓(xùn)練.這種模式一般適用于概念的形成，是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程.

在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，當(dāng)學(xué)生接觸的新概念與認知結(jié)構(gòu)中原有概念相互聯(lián)系、作用時，學(xué)生會經(jīng)過類比、遷移、對比、辨析等對新問題的特性形成陳述性的理解，領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，獲得新概念，這就是概念的同化.這種概念上課模式一般為：已有概念（類比、遷移）—新概念—比較（共性、異性）—創(chuàng)造（形成新概念體系）—應(yīng)用—反饋.其具體的實施步驟為：①精選已有概念，設(shè)置問題情境.數(shù)學(xué)概念體系的形成過程具有一定的層次性，如方程經(jīng)歷了一元一次方程—二元一次方程—一元二次方程—高次方程—整式方程—分式方程—有理方程—無理方程.教學(xué)中應(yīng)選擇最近的源概念，通過升維、加權(quán)、反向思考等設(shè)置.②擬定類比方案，遷移形成概念.考查概念情境的變化，擬定提出新概念的類比方案（概念誘發(fā)、類比途徑、類比可能的結(jié)果、驗證并完善）.③重比較促創(chuàng)造，強化概念理解.對類比、遷移提出的新概念，需與問題情境中的已知概念比較，弄清與原概念的共性、與已知概念的異性.④及時測試反饋，評價思維訓(xùn)練.［4］這種模式一般適用于概念的同化，是一種創(chuàng)新的學(xué)習(xí)過程.

以上是針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的兩種上課模式，在日常概念教學(xué)中，我們只有對概念進行全面理解與合理把握，不斷探索新模式，做到目標明確、方法正確，才能使學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)概念.

跨界思維打開了概念教學(xué)的一扇窗，教師拆除思想的藩籬、打破思維的界限，學(xué)生獲得了思想的自由，思維的靈動.跨界的主要目的是為了“借智”，跨界最難跨越的不是技能之界，而是觀念之界.跨界是思維模式的轉(zhuǎn)變，思維跨越?jīng)]有界限，教學(xué)創(chuàng)新才永無止境.

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