巧用“1”解不等式

☉湖北省武漢二中 黃亦達(dá)

巧用“1”解不等式

☉湖北省武漢二中 黃亦達(dá)

不等式在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要作用，高中數(shù)學(xué)“課標(biāo)”要求會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的不等式問題，由于基本不等式既具有定性功能，又具有定理功能，還具有工具性的作用，應(yīng)用面非常廣泛，涉及高中數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容，因此在每年高考試卷中出現(xiàn)頻率特高，可以說是每年高考的必考點(diǎn).但是同學(xué)們利用基本不等式解題時(shí)，對(duì)部分題型已知條件中出現(xiàn)“1”情況如何進(jìn)行代換，應(yīng)用上還存在困惑.本文結(jié)合常見問題進(jìn)行了分析和解答，希望能幫助同學(xué)們理解和掌握相關(guān)的知識(shí).

分析：為對(duì)（x+y）配式，根據(jù)1乘以任何一個(gè)式子大小不變，可將1整體代換，從而湊出定積的條件.

【針對(duì)練習(xí)】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1.

分析：為對(duì)左式進(jìn)行變換，可將各分式的分子中的1用a+b+c來代換.

證明：因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，

根據(jù)不等式性質(zhì)，得

分析：為了挖掘出定積的情況，根據(jù)“1乘以任何一個(gè)式子大小不變”，利用代換法，變換所求式子，可得到定積條件.

解答：因?yàn)閍＞0，b＞0，且a+2b=1，

當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2，即當(dāng)時(shí)，取最小值

例3已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1.求證：（a+1）（b+1）（c+1）≥8.

分析：左邊是3個(gè)因式的乘積，右邊是數(shù)字，結(jié)合已知條件abc=1，如果能將左邊轉(zhuǎn)化為abc的乘積，根據(jù)“1的n次方仍是1”，問題就能解決.

由不等式的性質(zhì)，得

因?yàn)閍bc=1，所以（a+1）（b+1）（c+1）≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

針對(duì)練習(xí)：已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1.證明

分析：左邊是根式，右邊是分式，結(jié)合已知條件，根式中每項(xiàng)除1，根式大小不變，再由基本不等式，去掉根號(hào)，轉(zhuǎn)化為分式，問題就能解決.

證明：因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且abc=1，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.Z