發(fā)揮課本例習題的教學能力

☉江蘇省如皋中學沙涓

發(fā)揮課本例習題的教學能力

☉江蘇省如皋中學沙涓

課堂教學除完成教學計劃及傳授知識，筆者認為數(shù)學課堂教學，最主要的目的就是讓學生的思維得到最充分的發(fā)展，只有這樣才能促進有效教學，從而提高學生的數(shù)學能力.對于學生的關注，無論花多少時間，都是值得的.在課堂上，我們一定要給學生充分的思維空間，作為教師只有緊緊圍繞培養(yǎng)和提高學生思維能力來實施教學，才算是抓住了教學的本質和核心.抓住課本例習題，可以發(fā)揮其最大的功能.本文筆者結合近年高中數(shù)學教學的實踐，談談自己在利用課本例習題培養(yǎng)學生探究能力方面的一些體會.

一、關注一題多解，激發(fā)學生的探究興趣

課本中的例題，基礎性與典型性極強，而且有很深的內涵.大部分是一題一解，解題的目標明確，符合大多數(shù)學生的認知要求.如果我們在教學中能充分挖掘例題的潛能，放手讓學生大膽探索，引導學生從多角度思考問題，廣泛、綜合地應用所學的知識，找到多種解題方法.這樣能更有效地發(fā)揮學生的邏輯思維、發(fā)散思維，提高全面分析問題、解決問題的能力，起到把所學知識融會貫通的作用.一題多解不僅體現(xiàn)了解題能力的強弱，更重要的是其具有開放式思維的特點，是一種培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要思維方法.因此，一題多解應當成為學生掌握數(shù)學知識和探索數(shù)學思維規(guī)律的重要手段.

案例1已知一個等差數(shù)列前10項和是310，前20項的和是1220，求前30項的和.

在此之前已經學習了等差數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式.請同學們運用所學知識解決下面問題，并要求學生從多角度思考，可以得出不同的解法.多數(shù)學生由于之前通過預習，再加上剛剛學習了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，抓住等差數(shù)列的基本量a1和d，通過解方程，進而求出結果.這正是我們學習數(shù)列要深刻體會的思想和方法，應牢固掌握.于是不難想到的第一種方法：

所以S30=3×302+1×30=2730.

這時引導學生進一步思考，得用等差數(shù)列的性質，大膽猜想，前10項、前20項、前30項有其中的規(guī)律，看看還有沒有其他的解法呢？學生議論紛紛，有人發(fā)現(xiàn)了如下的解法.

解法三：猜想數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20也是等差數(shù)列.（可以證明）

所以2（S20-S10）=（S30-S20）+S10，

即S30=3（S20-S10）=3（1220-310）=2730.

這正是后面習題中要求我們證明的一個結論.這一結論反映了等差數(shù)列的又一個性質，用它處理有關問題簡潔而明快.此時學生的探究問題的興趣和熱情更加高漲，思維活躍起來，大家積極思考，大膽猜想，由解法二和解法三的啟示，會得到又一解.

解法四：由解法二知，Sn=an2+bn，兩邊同時除以n得求出a1和d，就可求出S30=2730.（詳解略）

這的確是一種非常好的解法，但我們如果仔細觀察等差數(shù)列的前n項和公式的特點，再與我們學過的函數(shù)結合起來，引導學生進一步思考.這時學生會想到采用待定系數(shù)法可以解決.于是得出下面的解法二：

解法二：設Sn=an2+bn（a，b為待定系數(shù)），得，從而構造一個新的數(shù)列｝，且也是一個等差數(shù)列.

此法構造了一個新的數(shù)列，靈活運用了課本上的結論，處理問題干凈利索，思維有深度，見解獨特，構造合理.看來探究是沒有止境的.還有更好的解法嗎？請同學們課后認真思考.其實還可以證明如下結論：

在數(shù)列｛an｝中，如果Sm=a，Sn=b，則

利用此結論也可以解決以上問題.

解法五：因為S10=310，S20=1220，即m=10，n=20，

以上方法中雖不是解決該問題的最簡單最直接的方法，但通過這樣的廣泛思考，大膽探索，讓學生發(fā)現(xiàn)了新的結論，也進一步加深了學生對概念的理解和掌握，激發(fā)了同學們探究知識的欲望，培養(yǎng)了他們的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.教材中的例題是編者從茫茫題海中精挑細選后才確定的，不僅具有問題的典型性、代表性和示范性，更具有學后反思的探索性和創(chuàng)造性.因此教師應對例題進行深挖掘，幫助和引導學生進行再創(chuàng)造、綜合運用所學知識，把所學知識融會貫通，找出不同的解題方法.在這樣的理念下，通過一道普通例題的多角度多方位反思、提練，促使學生從例題進行自主探索，進而提高學生自己解決問題的能力、對知識的遷移能力，達到觸類旁通的效果.

二、引導變式推廣，培養(yǎng)學生的探究習慣

在數(shù)學教學中，從課本例習題出發(fā)，進行變式教學，無論從內容還是方法上都有著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”的效果.通過例習題的變式練習，學生不僅可以全面、深刻地掌握和理解知識，還能在很大程度上提升學生的思維品質，有利于培養(yǎng)學生探索、研究問題的能力.所以，有效的例習題變式訓練也是培養(yǎng)學生探究習慣的途徑之一.

案例2如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（人教版選修2-1第41頁）

解：設M（x，y），P（x0，y0），則x20+=4.

圖1

代入上述方程得x2+（2y）2=4，即

所以點M的軌跡為橢圓.

點評：問題本身并不難，但我們可以進一步的理解：橢圓是圓按一定方向的壓縮，圓是橢圓按一定方向的拉伸.從這一角度理解，筆者發(fā)現(xiàn)很多題目可以是這道題目的變式.

變式1已知定直線l與平面α成60°角，點P是平面α內的一動點，且點P到直線l的距離為3，則動點P的軌跡是什么？

變式3已知橢圓C與橢圓C的公共點個數(shù)為多少？

由以上的知識可知，橢圓和圓之間確實存在一些類似的關系，在圓中有kPA·kPB=-1，那么在橢圓中，kPA1·kPA2的值呢？帶著這樣的疑惑、猜測以及嚴格的推理論證.筆者得到橢圓中如下的性質：

性質2：若AB是橢圓（當斜率存在時）.

由此可見，變式教學是提高課堂效率的有效途徑，它可以改善當前數(shù)學教學中的機械使用例習題教學的現(xiàn)狀，有利于提高學生分析問題、解決問題的能力，從而培養(yǎng)數(shù)學探究的習慣.

教材始終是最重要的第一手教學資源.教師要能夠充分利用第一手資源，就要深入潛心仔細研究教材，復習中，采用一題多解的方法，多層次、多角度地思考問題，把單薄的知識系統(tǒng)化，織成較寬的知識面.通過一題多解、多題一解的方法，了解知識的內在聯(lián)系，深入理解及掌握所學的知識.只有這樣才能真正實現(xiàn)“把數(shù)學冰冷的美麗轉化為火熱的思考”.

三、引導學生大膽猜想，提升學生的探究能力

高中數(shù)學新教材增加了有關“合情推理”的內容.這不僅能夠使學生相對完整地接觸各種推理方式，而且能使學生學會歸納、類比、猜想.其中，歸納猜想是高中生應掌握的一種很重要的推理能力，而以往的教學常常對此有所忽視.著名的“四色猜想”、“費馬猜想”、“哥德巴赫猜想”等命題就曾在極大程度上推動了數(shù)學科學的發(fā)展，書寫出輝煌的歷史.因此，在中學教學階段，教師不但要有意識地鼓勵學生大膽地進行歸納猜想，還應該努力指導他們實現(xiàn)從猜想到證明的過程，從而加深對問題的認識，提升探究數(shù)學問題的能力.

案例3觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.

（人教版必修4第128頁習題3.1B組第3題）

這是立意深刻、內涵豐富的一道好題，它以特殊角的三角函數(shù)證明題為基礎，考查一類三角恒等式的證明和推廣，進而檢測學生思維的靈活性和歸納、總結、猜想、研究、探究能力.本題證法很多，限于篇幅，筆者不一一列出，現(xiàn)給出部分推廣，供讀者參考：

推廣1：若兩角β-α=30°或β-α=150°上式仍成立，

推廣2：若兩角α+β=30°或α+β=150°上式仍成立，

推廣3：若兩角β-α=60°或β-α=120°上式仍成立，

推廣4：若兩角α+β=60°或α+β=120°上式仍成立，

推廣5：若兩角β-α=45°或β-α=135°上式仍成立，

推廣6：若兩角α+β=45°或α+β=135°上式仍成立，

以上幾個變式推廣與原題的本質基本相同，角度差都是我們常見的特殊角，類似的結論還可以推廣出很多，證明方法和前面證明方法也是類似的，那么上述規(guī)律是否還可以繼續(xù)推廣呢？我們觀察上述兩種形式的公式，

三角恒等式一：sin2α+cos2β-2sin（α+β）sinαcosβ= cos2（α+β）.

三角恒等式二：sin2α+cos2β-2sin（α-β）sinαcosβ= cos2（α-β）.（限于篇幅，證法略）

上述證明推廣變式引申出三角恒等式則考查了學生觀察、思考、歸納、總結、探究的類比能力和歸納總結能力.所以我們要樹立對問題和習題探究理念，面對一個具體的課本上的問題或高考題，透過表象，揭示出問題的規(guī)律和本質，這不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生的探究數(shù)學能力，還可以培養(yǎng)學生對數(shù)學的美好情感.

四、關注學生類比遷移，培養(yǎng)學生的探究意識

類比遷移是利用已有問題的解答思路來解決相類似問題的一種解題策略.通過“類比遷移”例習題的訓練，可以使學生在類比中模仿、探究、創(chuàng)新，有利于學生看透相類似問題的本質，激發(fā)學生的發(fā)散性思維，提高分析與解決問題的能力，從而培養(yǎng)學生的探究意識.

案例4類比直角三角形的勾股定理，提出猜想——在直角三棱錐（3個面兩兩垂直的三棱錐）中，斜面面積的平方等于三個直角面面積的平方和.（人教A版選修2—2第74頁）

偉大的數(shù)學家波利亞曾經說過：類比是一個偉大的引路人，許多立體幾何問題可以從平面幾何中的類比得到.立體幾何是建立在平面幾何的基礎上，平面內許多的概念、公式與性質可以類比推廣到空間幾何中，得到許多美麗的結論和性質，實現(xiàn)“空間問題平面化”.因此，教師應借助該例題所包含的數(shù)學思想方法，類比直角三角形的其他性質，引導學生提出直角三棱錐相類似的結論，并給予證明.

類比遷移：針對“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊邊長的一半”，提出猜想：直角三棱錐中，中面面積等于斜面面積的，其中“中面”表示過直角三棱錐的直角頂點及斜面任意兩邊中點的截面.

解析：如圖2，在三棱錐P-ABC中，直線PA，PB，PC互相垂直，且D、E分別是線段AC、BC的中點，那么PD=AC，PE=BC，DE∥A AB，DE=AB，因此△PDE≌△CDE，所以面積比為

圖2

拉普拉斯認為“甚至在數(shù)學，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具，也是歸納和類比”.為此，筆者為了鞏固得到的成果，布置學生課后嘗試將三角形其他性質類比聯(lián)系到直角三棱錐中，“使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創(chuàng)造’過程”.

對照教材中的例習題，教師設計的例題應該精一點、活一點，這樣學生就能學得好一點.數(shù)學教師在教學中，重視一題多解、習題變式、歸納猜想、類比遷移等教學方式的應用，可以促進學生思維的遷移，培養(yǎng)學生學習探究的良好習慣.Z