合理對(duì)話，層層深入，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之妙——以“反比例函數(shù)（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué)　朱國(guó)生

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合理對(duì)話，層層深入，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之妙——以“反比例函數(shù)（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué)朱國(guó)生

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們對(duì)新知識(shí)的引入，有時(shí)從現(xiàn)實(shí)生活中的事例，有時(shí)從學(xué)生原有基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)從小游戲增加趣味性等，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中拋磚引玉、層層深入的教學(xué)方法.筆者以新近執(zhí)教“反比例函數(shù)（第1課時(shí)）”為例，談?wù)劇皩訉由钊?、激發(fā)思維”在教學(xué)中的應(yīng)用.

一、學(xué)情分析

在前面我們學(xué)過(guò)“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”，我們的學(xué)生對(duì)函數(shù)的研究探討仍處于初級(jí)階段，但我們的學(xué)生已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的基本套路，積累了函數(shù)學(xué)習(xí)的一些基本經(jīng)驗(yàn).教材呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)：函數(shù)概念，畫(huà)函數(shù)圖像，總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)，用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)中的“數(shù)形結(jié)合”思想方法有多次體驗(yàn)和認(rèn)識(shí).

但是，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)與我們之前學(xué)過(guò)的函數(shù)有所不同，圖像從“一條”到“兩支”，分布在兩個(gè)象限；由“連續(xù)”到“間斷”；由與坐標(biāo)軸“相交”到“無(wú)限靠近”，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)與已學(xué)的不同與聯(lián)系，從而對(duì)函數(shù)的理解進(jìn)一步升華.

二、教學(xué)流程

活動(dòng)1：拋磚引玉（PPT展示）

下列函數(shù)解析式中，正比例函數(shù)有（）；一次函數(shù)有（）；二次函數(shù)有（）.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)這一題幫助學(xué)生再現(xiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，有助于學(xué)生形成概念系統(tǒng)，初步了解本章的基本內(nèi)容和研究套路.同時(shí)也初步了解建立函數(shù)模型，為掌握新的知識(shí)打好基礎(chǔ).特別指出：（5）是學(xué)生以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的函數(shù)，讓學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動(dòng)2：情境引入（PPT展示）

下列問(wèn)題中，變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎？若有，求出函數(shù)關(guān)系式.

（1）已知甲、乙兩地相距20千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時(shí)間t（單位：小時(shí)）與速度v（單位：千米/小時(shí)）之間的關(guān)系式是_________.

（2）某住宅小區(qū)種植一個(gè)面積1000 m2的草坪，草坪的長(zhǎng)y（m）隨寬x（m）的變化而變化.

（3）已知北京市總面積為1.68×104平方千米，人均占有面積s（平方千米/人）隨全市人口n（人）的變化而變化.

課堂對(duì)話片斷如下所示.

師：大家觀察這三個(gè)解析式，各有幾個(gè)變量？

生4：兩個(gè)變量.

師：你能從解析式的結(jié)構(gòu)上找出它們的共同特征嗎？小組成員間可討論.

注：如果小組不能討論出結(jié)果，教師可以提示：從等號(hào)左邊和右邊，或從分子和分母來(lái)總結(jié).

生5：左邊是一個(gè)變量，右邊是一個(gè)不為0的常數(shù)除以另一個(gè)變量.

師：這就是小組合作的力量啊.

師：讓我們回頭看看情境引入中的三個(gè)函數(shù)解析式，它們是反比例函數(shù)嗎？

生眾：是.

師：反比例函數(shù)中自變量的取值范圍是什么呢？請(qǐng)大家思考.

生6：x≠0的一切實(shí)數(shù).

師：反比例函數(shù)還有其他的表達(dá)方式嗎？

生7：還有y=kx-1，xy=k，其中k是不為0的常數(shù).

師：大家應(yīng)該有點(diǎn)兒掌聲.

活動(dòng)3：開(kāi)心練一練1（PPT展示）

限于篇幅，略去.

活動(dòng)4：例題講解（PPT展示）

例1已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求當(dāng)x=4時(shí)y的值.

課堂對(duì)話片斷如下所示.

師：如何求函數(shù)的解析式呢？

師：這位同學(xué)講得很好.這種方法叫待定系數(shù)法.我把解題過(guò)程寫給大家看看.

教學(xué)解讀：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟：（1）設(shè)出反比例函數(shù)的解析式；（2）把擇定的自變量與函數(shù)值代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程；（4）寫出解析式.

活動(dòng)5：開(kāi)心練一練2（PPT展示）

師：誰(shuí)能說(shuō)出這三道題的答案.

生9：（1）k=-2，（2）y=2，（3）k=-1.

教學(xué)解讀：這是例題基礎(chǔ)上的提升，能使學(xué)生進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的概念，讓學(xué)生掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法，并能用反比例函數(shù)解決問(wèn)題.

變式1：（PPT展示）已知y與x2成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.

（1）寫出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求x=-2時(shí)y的值.

師：這道題大家是如何思考的呢？

生10：把x2看成一個(gè)整體，設(shè)y=，再把x=3和y=4代入，求k.

師：你回答得非常好，請(qǐng)大家自己做一做，我請(qǐng)一位同學(xué)把解題過(guò)程寫到黑板上來(lái).

教學(xué)解讀：學(xué)生要根據(jù)“y是x的某某函數(shù)”等已知條件，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，當(dāng)變量不是單獨(dú)的字母時(shí)，學(xué)生要能正確寫出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)模型和已知條件建立方程（組），并正確求解.

變式2：（PPT展示）如果y是z的反比例函數(shù)，當(dāng)z=3時(shí)，y=4；z是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，z=4，那么y與x具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？求出函數(shù)關(guān)系式.

師：我們來(lái)看變式2，該如何思考？y與z成反比例怎樣設(shè)？

師：z與x成正比例怎樣設(shè)？

生12：設(shè)z=kx，把x=1、z=4代入，求出k=4，所以z=4x②，把②代入①，得y=

師：大家想一想，在同一題中，這兩個(gè)k的值能設(shè)成一樣嗎？

生13：不能相同，應(yīng)加以區(qū)別，可分別設(shè)為k1、k2.

（生板書(shū)，教師巡視）

教學(xué)解讀：通過(guò)學(xué)生自己求解的過(guò)程，親自感受在同一題目中，兩個(gè)常量不可以設(shè)成相同的字母，應(yīng)加以區(qū)別對(duì)待，這是學(xué)生常見(jiàn)的一種錯(cuò)誤.

想一想：（出示投影片6）如果y是z的反比例函數(shù)，z是x的正比例函數(shù)，且x≠0，那么y與x有怎樣的函數(shù)關(guān)系.

師：同學(xué)們小組討論，并與同伴們交流.

（生討論.交流得出結(jié)果）

教學(xué)解讀：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要保證每一個(gè)學(xué)生都有參與活動(dòng)的機(jī)會(huì)，獨(dú)立思考與小組合作相結(jié)合，通過(guò)個(gè)體間的交流，使學(xué)生的思維得到重新的認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)效果.

活動(dòng)6：課堂小結(jié)

師：談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲.

教學(xué)解讀：當(dāng)堂小結(jié)，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)得到鞏固和提升，又使模糊認(rèn)識(shí)得到澄清，對(duì)所學(xué)知識(shí)在第一時(shí)間達(dá)到最清晰的認(rèn)識(shí)，這就是高效課堂的價(jià)值，也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效手段.

三、教后反思

1.情境創(chuàng)設(shè)要重視與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系

在引入環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)出學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境，通過(guò)多個(gè)與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的實(shí)例引導(dǎo)，通過(guò)類比方法探究反比例函數(shù)的概念.學(xué)生用數(shù)學(xué)思想重新認(rèn)識(shí)日常生活中的變量關(guān)系.在課尾，學(xué)生的歸納總結(jié)也對(duì)此作了呼應(yīng)，進(jìn)一步明晰本章的研究方法和內(nèi)容.

2.關(guān)注反比例函數(shù)概念的生成過(guò)程

執(zhí)教者沒(méi)有選擇直接給出概念，而是根據(jù)概念教學(xué)的規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在反比例函數(shù)的概念生成上下足了功夫，充分利用學(xué)生已有的社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)和已學(xué)知識(shí)為背景，挖掘問(wèn)題中變量間的關(guān)系和變化規(guī)律，再加上由淺入深的例題和練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握本節(jié)課所學(xué)知識(shí).

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透式教學(xué)

類比思想是貫穿本課始終的邏輯鏈條，通過(guò)類比能促進(jìn)新舊知識(shí)間的積極遷移.本節(jié)課的教學(xué)由淺入深，循序漸進(jìn)，逐步深入，教師適當(dāng)點(diǎn)撥和學(xué)生充分討論形成共識(shí)，探究的問(wèn)題由淺入深有挑戰(zhàn)性，設(shè)置的練習(xí)題也是由淺入深，可加深對(duì)本課知識(shí)的理解與掌握.通過(guò)例題、習(xí)題的訓(xùn)練，歸納出求反比例函數(shù)的一般步驟.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.朱國(guó)生.找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)程重生成——以“一元二次方程解法（第2課時(shí)）”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.