善辟蹊徑，優(yōu)化解題——例談必要條件在解題中的運(yùn)用

筅江蘇省南通市通州灣三余中學(xué)　施春輝

善辟蹊徑，優(yōu)化解題——例談必要條件在解題中的運(yùn)用

筅江蘇省南通市通州灣三余中學(xué)施春輝

眾所周知，化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，也是高考重點(diǎn)考查的方法之一.而大多數(shù)考題或者是大家的解題習(xí)慣多是實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化，即尋找題目求解的充要條件，很少涉及不等價(jià)轉(zhuǎn)化.其實(shí)，在尋找充要條件即實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化有困難時(shí)，也可以先找出使結(jié)論成立的必要條件，然后再驗(yàn)證其充分性即可.

一、善用必要條件求參數(shù)值

例1設(shè)a∈R，若x>0時(shí)，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析：當(dāng)x>0時(shí)，不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0恒成立的必要條件是當(dāng)x=2時(shí)成立，即［2（a-1）-1］（22-2a-1）≥0，得（2a-3）2≤0.又（2a-3）2≥0，故（2a-3）2=0，解得a=（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）.

點(diǎn)評(píng)：本例若按常規(guī)思路，機(jī)械地令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），把問(wèn)題看作f（x）≥0在（0，+∞）上的恒成立問(wèn)題，然后用解決恒成立問(wèn)題的常規(guī)思路求解，過(guò)程煩瑣，難以繼續(xù)，甚至半途而廢，而利用必要條件縮小范圍，避免了不必要的討論，簡(jiǎn)潔輕巧.

二、善用必要條件求參數(shù)的范圍

例2設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若坌x>0，f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法一（參考答案）：函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），坌x>0都有f（x）≥0成立，等價(jià)于ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.

（1）當(dāng)x=1時(shí)，ln2≥0，則a∈R.

（2）當(dāng)x>1時(shí)，因?yàn)閤2-x>0，所以等價(jià)于+a≥ 0圳a≥圳max；令h（x）=x-ln（x+1），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）>h（0）=0，x-ln（x+1）>0，所以ln（x+1）1時(shí)，+∞），-∈（-∞，0），則只需a≥0.

（3）當(dāng)00均有l(wèi)n（x+1）

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需取交集得0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)化尤其是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值一直是高考命題的一個(gè)落點(diǎn)，且圍繞著母函數(shù)ex≥x+1即x≥ln（x+1）的考題屢屢出現(xiàn)，如2010年全國(guó)卷高考理科第22題，2011年湖北卷高考理科第21題，2015年山東卷高考第21題等.所以針對(duì)這種趨勢(shì)，關(guān)于三步走法，有可能走不通了，尤其是導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)方程的根不方便求解，后續(xù)的列表調(diào)查，得出結(jié)論就難以求解，這就需要咱們通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)，以達(dá)目標(biāo).訓(xùn)練學(xué)生挖掘知識(shí)結(jié)合的深度與廣度，拓展學(xué)生思維，同時(shí)鍛煉學(xué)生知難而進(jìn)、逢山開(kāi)道、遇水搭橋的意志品質(zhì).

解法二（利用必要條件）：設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ a（x2-x），因?yàn)閒（0）=0，所以要使坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可（求出范圍之后，要對(duì)這個(gè)范圍之外的取值進(jìn)行分析驗(yàn)證），于是只需坌x>0，f′（x）=+a（2x-1）≥0成立即可.

于是取交集得0≤a≤1.

又當(dāng)a>1時(shí)，g（0）<0，x2>0，所以函數(shù)f（x）在（0，x2）單調(diào)遞減，而f（0）=0，則當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，f（x）<0，不符合題意；（驗(yàn)證的重要性）

當(dāng)a<0時(shí)，設(shè)h（x）=x-ln（x+1），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）>h（0）=0，ln（x+1）1-時(shí)，ax2+（1-a）x< 0，此時(shí)（fx）<0，不符合題意.

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題一般從兩個(gè)方面進(jìn)行：一是直接求解，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性，明確參數(shù)的范圍；二是分離參數(shù)，分離后再研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生容易出錯(cuò)的地方是：只根據(jù)f（0）=0和f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求出a的取值范圍是0≤a≤1.殊不知f（x）在（0，+∞）上不單調(diào)遞增，也有f（x）≥0恒成立的情況出現(xiàn)，所以這樣解是不夠完備的，故這樣求出a的取值范圍之后必須再予以驗(yàn)證其他范圍的a都不合適才行.

三、善用必要條件探求存在性問(wèn)題

例3已知函數(shù)f（x）=x3+1-a）x2-3ax+b.

（1）求（fx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得不等式-1≤（fx）≤1對(duì)x∈［0，］恒成立？若存在，試求出所有的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）①當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無(wú)遞減區(qū)間；

②當(dāng)a>-1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（a，+∞），遞減區(qū)間為（-1，a）；

③當(dāng)a<-1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，a）和（-1，+∞），遞減區(qū)間為（a，-1）.

（注：也可由g（a）=a3+3a2-9a-6a+6+5=（a-1）（a2+4a-5-6）≤0得a≥1）

點(diǎn)評(píng)：本例第（2）問(wèn)常規(guī)思路是分a≤0，0

（注：也可通過(guò)作出不等式組所表示的區(qū)域獲得答案）

以上幾道例題有一定難度，而善于利用必要條件，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易，避免了分類(lèi)討論，實(shí)現(xiàn)大題小做.因此，利用必要條件解題，可以縮小參數(shù)范圍，開(kāi)闊解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升思維品質(zhì).F