求函數(shù)值域的方法探析

筅廣西南寧市第四十二中學(xué)　潘普昂

求函數(shù)值域的方法探析

筅廣西南寧市第四十二中學(xué)潘普昂

函數(shù)的基礎(chǔ)性強(qiáng)，特征明顯，是高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的部分，習(xí)題中對(duì)函數(shù)的考查也是必不可少的，求函數(shù)的定義域和值域的問題是考查的重中之重，研究函數(shù)的值域問題不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.對(duì)于求函數(shù)值域的問題一直是學(xué)生比較頭疼的問題，實(shí)際上此類問題并不難，方法得當(dāng)，會(huì)起到事半功倍的效果，但是方法不當(dāng)，就會(huì)成為學(xué)生的難關(guān)，無(wú)法跨越.因此，我們有必要專門探討求函數(shù)的值域的方法，根據(jù)不同函數(shù)的特點(diǎn)總結(jié)不同的解題方法，將之分門別類，提高學(xué)生對(duì)這一問題的認(rèn)識(shí)和解決值域問題的能力.本文通過對(duì)典型例題的講解來(lái)歸納函數(shù)值域（最值）的求法，幫助學(xué)生開闊眼界，拓寬思路，掌握解題技巧，提高解題能力.

一、觀察法

觀察是思維的窗口，是認(rèn)識(shí)的開始，是解決問題的基礎(chǔ).觀察能力是學(xué)好自然科學(xué)應(yīng)具有的一項(xiàng)基本素質(zhì).觀察法是指帶著一定的目的，用自己的感官直接觀察，從而獲得答案的一種方法.高中數(shù)學(xué)題中無(wú)論是題設(shè)還是結(jié)論，不管是數(shù)值還是圖像都隱藏著無(wú)限的玄機(jī)，善于觀察才能發(fā)現(xiàn)其中的秘密，分辨出真假，剝下神秘的外衣，你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)原來(lái)題目并不難.所以，解決數(shù)學(xué)問題首先要細(xì)心觀察，找出問題的突破口，抓住解題的關(guān)鍵，理出解題的思路，這樣問題就迎刃而解了.觀察法求值域適合那些比較簡(jiǎn)單或者比較明顯的函數(shù)（比如根式里的數(shù)值大于等于零，分母不能為零等），通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，直接能觀察出函數(shù)的值域.

分析：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)——正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，先求出的值域，接下來(lái)3＋的值域就很好解決了.

本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)（算數(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)的非負(fù)性，②值的非負(fù)性）而獲得解題思路，這種方法適合一類函數(shù)值域的求法，簡(jiǎn)潔明了，不失為一種好辦法.

本題根據(jù)“二次根式中被開方數(shù)只能是正數(shù)”這個(gè)特點(diǎn)，直入主題，簡(jiǎn)單快捷.

二、反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以采用反函數(shù)法.反函數(shù)法體現(xiàn)逆向思維的思想.了解這種方法之前，首先要了解反函數(shù)的一條重要性質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域.當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，我們利用則其反函數(shù)的定義域就可以輕松求得原函數(shù)的值域.

分析：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，將原函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)y=f（x），化為x關(guān)于y的函數(shù)（即反函數(shù)）x=f-1（y），利用觀察反函數(shù)的定義域，來(lái)求原函數(shù)的值域.本題的思路就是先求出原函數(shù)y＝的反函數(shù)，即x＝，再求出這個(gè)反函數(shù)x＝的定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)，最后根據(jù)反函數(shù)的定義域就能輕松求得原函數(shù)的值域｛y｜y≠1，y∈R｝.

利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域有一個(gè)局限，就是必須在原函數(shù)存在反函數(shù)的前提下，此方法才可用.

三、配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的題型，可以利用配方法求值域.此種方法關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，即y＝ax2＋bx＋c（c≠0）經(jīng)過配方得到y(tǒng)＝a（x-m）2＋n的形式，由此可直接觀察出值域.

分析：此題不是二次函數(shù)，我們首先將其變形，變成二次函數(shù).將函數(shù)y=x+變形得y-x＝，兩邊平方得y2-2yx＋x2＝2x-x2，再變形得2x2-2（y＋1）x＋y2＝0，被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求解.

例5和例6殊途同歸，同樣都是采用配方法求值域，但是配方方式完全不同.做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，隨時(shí)改變思路，千萬(wàn)不能教條，否則，方法反而成為絆腳石.配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，希望同學(xué)們能夠靈活運(yùn)用.

四、單調(diào)性法

函數(shù)的單調(diào)性也可以叫作函數(shù)的增減性，它是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一.當(dāng)函數(shù)（fx）的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減?。r(shí)，函數(shù)值（fx）也隨著增大（或減?。?，則稱該函數(shù)在該區(qū)間上具有單調(diào)性.如果函數(shù)y＝（fx）在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)求出值域.

分析：為了方便起見，可以令t＝sinx，t∈（0，1］，原函數(shù)變形為y＝t+（t∈（0，1］），利用單調(diào)性分情況加以說(shuō)明.

解：令t＝sinx，t∈（0，1］，則原函數(shù)變形為y＝t+（t∈（0，1］）.當(dāng)t＞0時(shí)，t+＝4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時(shí)，取“＝”.

有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)，此題當(dāng)t∈（0，2）時(shí)和當(dāng)t∈（2，+∞）時(shí)增減情況就不一樣，一定要分別加以說(shuō)明.

五、換元法

換元法主要是把題目中出現(xiàn)多次的一個(gè)復(fù)雜的部分看作一個(gè)整體，通過簡(jiǎn)單的換元把復(fù)雜函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，通過這個(gè)換元后得來(lái)的簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)就可以求函數(shù)的值域.這種方法適用于形如y＝ax+b±a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù).換元的方法主要有代數(shù)換元法和三角換元法，我們使用換元法時(shí)，要特別注意換元后新元的范圍（即定義域）.

例10求函數(shù)y=4x-6×2x+1，x∈（2，3）的值域.

分析：令t=2x，原函數(shù)就變?yōu)閥=t2-6t+1，引進(jìn)這個(gè)過渡函數(shù)在題中起到橋梁的作用.

解：令t=2x，則4x=t2，且x∈（2，3）時(shí)，t∈（4，9）.

所以y=t2-6t+1=（t-3）2-8.

那么，當(dāng)t∈（4，9）時(shí)，ymax=（9-3）2-8=28，ymin=（4-3）2-8=-7.

所以所求值域?yàn)椋?7，28］.

熟練掌握求函數(shù)值域的方法是考試大綱的明確要求，也是高考?？嫉念}型.上面介紹的幾種方法都具有很強(qiáng)的針對(duì)性，不能普遍使用，因此，選擇方法之前要審慎觀察，找出問題的顯著特點(diǎn)，根據(jù)其特點(diǎn)對(duì)癥下藥，才能快速準(zhǔn)確地解決問題.這就要求學(xué)生平時(shí)多練習(xí)，多積累，方法用多了，技能熟練了，自然就熟能生巧，信手拈來(lái)了.F