諧和與氣動噪聲聯(lián)合激勵下碰撞振動系統(tǒng)的響應分析

張憲政，張里偉，梅李霞，李森，胡益富

（中航工業(yè)洪都，江西南昌，330001）

諧和與氣動噪聲聯(lián)合激勵下碰撞振動系統(tǒng)的響應分析

張憲政，張里偉，梅李霞，李森，胡益富

（中航工業(yè)洪都，江西南昌，330001）

借助飛行器表面氣動噪聲環(huán)境特性的工程估算公式，對諧和與氣動噪聲聯(lián)合激勵下飛行器內(nèi)部單邊約束的碰撞振動系統(tǒng)的響應問題進行了分析。

諧和激勵；氣動噪聲；碰撞振動

0 引言

由于飛行器在高速飛行過程中需經(jīng)歷復雜的動力環(huán)境，特別是非定常的飛行擾流，將導致飛行器表面產(chǎn)生脈動壓力(氣動噪聲)。這種脈動壓力,成為飛行器結(jié)構(gòu)所承受的隨機載荷,有可能引起飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)的碰撞振動(Vibro-Impact)，即零部件之間（或零部件與邊界間）的往復碰撞。為使越來越精密的飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)安全可靠地運行，必須深入研究系統(tǒng)的碰撞振動。碰撞振動系統(tǒng)是復雜的強非線性系統(tǒng)，目前已有大量的文獻涉及單、多自由度碰撞振動系統(tǒng)響應的穩(wěn)定性、分岔及混沌，但其絕大多數(shù)是討論確定性的碰撞振動系統(tǒng)，而對涉及隨機因素的碰撞振動系統(tǒng)，特別是多自由度碰撞振動系統(tǒng)響應的研究成果并不多見[1]。本文基于工程實際的需要，利用數(shù)值模擬對諧和激勵與氣動噪聲聯(lián)合作用下系統(tǒng)的動力學行為進行了探究。

1 力學模型

在飛機的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中，常常會遇到這樣一種模型，它由一個簡單的振子和位于振子一側(cè)的一個彈性壁共同構(gòu)成，如圖1所示[2]。假設系統(tǒng)振子的運動可以由具有約束的Duffing方程來表示，則該系統(tǒng)的運動方程為：

圖1 具有單側(cè)約束面的機械振子

式中：c，ω1分別表示系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率，F(xiàn)，ω分別表示系統(tǒng)外激勵力的幅值和頻率，a0為振子靜平衡位置到約束面的距離，約束條件為x＜a0，約束面為∑={(x,x˙)｜x=a0}，躍變方程為x˙+=-ex˙-，e為系統(tǒng)的碰撞恢復系數(shù)，ε?1為一個小參數(shù)，ξ(t)是氣動噪聲導致的隨機載荷，其譜密度函數(shù)取為：

其中:prms為均方根脈動壓力，為當?shù)馗矫鎸雍穸?，Rex為當?shù)乩字Z數(shù)；Vc=0.6V∞為邊界層外緣速度。下面將通過數(shù)值仿真來研究此類系統(tǒng)的動力學行為和氣動噪聲對于這類系統(tǒng)動力學行為的影響。

2 系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

圖2 振幅F=1.3,系統(tǒng)1-1響應

圖3 振幅F=1.5，系統(tǒng)2-1響應

基于上述系統(tǒng)，首先來考慮沒有隨機激勵的情形，即ξ(t)=0，這時系統(tǒng)僅有外部的諧和激勵[4]。在以下的數(shù)值模擬中，取系統(tǒng)參數(shù)分別為：系統(tǒng)阻尼系數(shù)c=0.3，系統(tǒng)自然頻率ω1=1.0，小參數(shù)ε=0.3，系統(tǒng)碰撞恢復系數(shù)e=0.7，振子平衡位置到約束面的距離，系統(tǒng)初始條件為：t=0時，x=-4.0，x˙=0.0。

當系統(tǒng)諧和激勵的頻率ω=0.5，振幅F=1.3時，利用數(shù)值模擬求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應，可知系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期響應，系統(tǒng)周期為T=2π，繪制系統(tǒng)穩(wěn)定周期下的相軌跡和時間歷程如圖2所示，由圖2(b)可知，系統(tǒng)在一個周期內(nèi)有一次位移到達碰撞面，則可知系統(tǒng)在一個周期內(nèi)發(fā)生了一次碰撞，可將其記作1-1運動。其他參數(shù)不變，增大振幅F，當F=1.5時，由圖3（b）知，系統(tǒng)在一個周期內(nèi)有兩次位移到達碰撞面，即有兩次機會使得位移x=1，則可知系統(tǒng)在一個周期內(nèi)發(fā)生兩次碰撞，可將其記作2-1運動。繼續(xù)增大振幅F，當系統(tǒng)激勵振幅F=2.1時，如圖4所示，系統(tǒng)運動變?yōu)?-1運動，繼續(xù)增加振幅F，可以知道系統(tǒng)的運動將出現(xiàn)4-1運動，如圖5所示，繼續(xù)增大振幅F，則會出現(xiàn)5-1運動，6-1運動等等。取系統(tǒng)振幅F為變量，可得到系統(tǒng)的分叉圖，如圖6所示，取系統(tǒng)碰撞面為Poincare截面，根據(jù)這個Poincare截面圖，可以清晰的看到振幅F變化時系統(tǒng)的運動趨勢。

圖4 振幅F=2.1，系統(tǒng)3-1響應

圖5 振幅F=2.7，系統(tǒng)4-1響應

圖6 振幅F變化時系統(tǒng)運動的分叉圖

分析上述得到的碰撞振動系統(tǒng)響應（即相軌圖，時間歷程圖，分叉圖），不難發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)發(fā)生了一種很特別運動現(xiàn)象，即擦邊碰撞，不難看出，其原因是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生的，這類系統(tǒng)的分叉也叫做擦邊分叉，與一般光滑系統(tǒng)的分叉有著明顯的區(qū)別。同時，根據(jù)系統(tǒng)的時間歷程圖容易看出，系統(tǒng)在碰撞面不斷分生這種擦邊碰撞，但從分叉圖又可以看出，每相鄰兩次碰撞發(fā)生的時間間隔是遠小于一個外激勵周期T的，由此，學者們把這種現(xiàn)象統(tǒng)稱為“磕碰運動”(chatting impact),這種運動也是碰撞振動系統(tǒng)中存在的一種重要現(xiàn)象。

另一方面，再來考慮系統(tǒng)外激勵頻率變化時對系統(tǒng)運動的影響，取系統(tǒng)的初始條件同上，諧和激勵的振幅F=4.0，頻率ω從1.7遞減到0.2，利用數(shù)值模擬可求得系統(tǒng)的分叉圖，如圖7所示，取系統(tǒng)碰撞面為Poincare截面，根據(jù)這個Poincare截面圖，可以很容易的得到系統(tǒng)的運動狀態(tài)，當系統(tǒng)的頻率遞減時，該系統(tǒng)的響應從1-1運動變換為2-1運動、3-1運動、4-1運動……n-1運動,也就是說系統(tǒng)不斷發(fā)生碰撞，產(chǎn)生了擦邊分叉，但其產(chǎn)生的原因與上述提到的產(chǎn)生原因有所不同，它不是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生，而是由系統(tǒng)本身的非線性與碰撞產(chǎn)生的，如圖8所示，可以清晰的看到頻率不同時系統(tǒng)的1-1運動、2-1運動、3-1運動、4-1運動。同時，這種現(xiàn)象也可以導致“磕碰運動”的發(fā)生。

圖7 頻率ω變化時系統(tǒng)運動的分叉圖

從上述數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，擦邊分叉這種特殊的分叉是普遍存在于這個系統(tǒng)當中的，但是它們的產(chǎn)生原理卻是不同的，值得注意，第一種擦邊分叉是由于系統(tǒng)軌線不斷地在零速度時刻與彈性壁（系統(tǒng)右側(cè)約束面）發(fā)生碰撞而產(chǎn)生的；第二種擦邊分叉是由于系統(tǒng)本身的非線性與碰撞產(chǎn)生的，這里不在贅述。如果考慮系統(tǒng)響應關于約束面的周期性的話，上述兩種分叉均具有相似的地方，都可以稱為“加周期分叉”。上述所看到的擦邊分叉現(xiàn)象是非光滑碰撞系統(tǒng)當中所特有的，而一般光滑系統(tǒng)不存在此現(xiàn)象。

圖8 不同頻率時系統(tǒng)的運動

現(xiàn)在來考慮系統(tǒng)在隨機激勵下響應的變化情況，以振幅F=1.7,頻率ω=0.5時系統(tǒng)的響應做進一步的研究，當隨機激勵譜密度S(ω)=S0=0.00001時，可得到系統(tǒng)的響應，如圖9所示，圖(a)為相軌跡，圖(b)為時間歷程的局部放大圖，觀察發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的運動并沒有明顯的變化，這是由于隨機激勵的強度比較小的原因，繼續(xù)增加隨機激勵的強度，當S(ω)=S0=0.00005時，系統(tǒng)的運動如圖10所示，圖(a)為相軌跡，圖(b)為時間歷程的局部放大圖，仔細觀察時間歷程放大圖可知，系統(tǒng)在一個周期內(nèi)有兩次位移到達碰撞面，即有兩次機會使得位移x=1，則可知系統(tǒng)在一個周期內(nèi)發(fā)生兩次碰撞，可將其記作2-1運動，比較圖9與圖10可以發(fā)現(xiàn)，隨著隨機激勵強度的變化，系統(tǒng)的運動發(fā)生了本質(zhì)的變化，這種變化的原因主要是由于系統(tǒng)的軌線本來就靠近碰撞約束面，隨著隨機激勵強度的增加，系統(tǒng)受到隨機擾動作用，使得系統(tǒng)的軌線發(fā)生擴散，從而與彈性壁發(fā)生碰撞，這與光滑系統(tǒng)中隨機噪聲對系統(tǒng)響應的影響也是完全不同的，而對于圖3原系統(tǒng)的2-1運動等類似情形，則沒有多大的影響，只是系統(tǒng)軌線發(fā)生了擴散，這是因為2-1運動的軌線與碰撞面相距較遠，即不是在系統(tǒng)發(fā)生擦邊分叉的臨界情形，只有在更大的強度激勵時才可能由于擾動而再次發(fā)生碰撞，但如果是在將要發(fā)生擦邊分叉的臨界情形，則會出現(xiàn)類似于圖10的情形。

圖9 譜密度時系統(tǒng)的響應

圖10 譜密度時系統(tǒng)的響應

3 結(jié)論

本文從客觀實際抽象出的模型出發(fā)，研究了在諧和與氣動噪聲聯(lián)合激勵下單邊約束的Duffing系統(tǒng)碰撞振動系統(tǒng)的響應問題，發(fā)現(xiàn)這類碰撞振動系統(tǒng)中不僅具有一般光滑動力系統(tǒng)所能產(chǎn)生的現(xiàn)象，而且具有自己本身獨特的現(xiàn)象，如：擦邊分岔、倍周期分岔等，并且發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象是互相伴隨產(chǎn)生的。同時還發(fā)現(xiàn)隨機噪聲對于這類系統(tǒng)響應的影響并不像對于光滑系統(tǒng)那樣單純，在某些臨界的情況下，隨機噪聲對于系統(tǒng)響應的影響是非常明顯的，甚至能改變系統(tǒng)的運動性質(zhì)。

[1]丁旺才,謝建華.碰撞振動系統(tǒng)分岔與混沌的研究進展[J].力學進展,2005,35(4):512-524.

[2]馮進鈐,徐偉,王蕊.隨機Duffing單邊約束系統(tǒng)的倍周期分岔[J].物理學報，2006,55(11)：5733-5739.

[3]戎海武,徐偉,孟光，等.諧和與隨機噪聲聯(lián)合作用下非線性系統(tǒng)的響應[J].應用力學學報,2001, 18(4):32-36.

[4]李高杰.隨機非光滑動力系統(tǒng)的分岔和混沌研究[D].西北工業(yè)大學碩士學位論文,2008.

[5]戎海武，王向東，羅旗幟.有界隨機噪聲激勵下碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.振動學報，2013.

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[7]Peterka F.Introduction to Vibration of Mechanical System with Internal Impact[M].Prague:A－cademia,1981.

>>>作者簡介

張憲政，男，1983年出生，2007年畢業(yè)于哈爾濱工程大學，工程師，現(xiàn)從事飛機結(jié)構(gòu)強度設計工作。

Analysis on Response of Vibro-Impact System under United Excitation of Consonance and Aerodynamic noise

Zhang Xianzheng,Zhang Liwei,Mei Lixia,Li Sen,Hu Yifu

(AVIC-HONGDU,Nanchang,Jiangxi,330024)

By using the engineering estimation formula for environment characteristic of surface aerodynamic noise from flying vehicle,this paper makes an analysis on the response of vibro-impact system restricted unilaterally inside the flying vehicle under united excitation of consonance and aerodynamic noise.

Consonance;Aerodynamic noise;Vibro-impact

2016-10-18）