小議評課的視角——以“直線和圓”為例

☉江蘇省連云港市厲莊高級中學柏貴業(yè)

小議評課的視角——以“直線和圓”為例

☉江蘇省連云港市厲莊高級中學柏貴業(yè)

課堂教學水平是教師最基本的教學訴求，是一個教師立足講臺最根本的點.在很多不同場合，人教版教材編者北師大錢躍鈴教授多次提出對當下課堂教學的看法：第一，要把教材中編者的編寫意圖通過教學設(shè)計進行滲透；第二，教師要不斷提高對教材的閱讀能力，這就需要教師多走出去、多交流探討、多評評課，相互切磋才有提高；第三，課堂教學宜慢不宜快，現(xiàn)在有些課不能說是數(shù)學課，而是訓練課，因為教師對于知識的不理解造成了只有通過大量訓練去理解數(shù)學，這樣的課堂需要改變.

無獨有偶，從學生層面我們也感受到另一種看法：數(shù)學課非?？菰?，就是不斷的做題，不好玩，讓人提不起興趣.而且課堂教學中也沒有什么順序性，題目編排隨意，問題千變?nèi)f化，總之與其他學科相比，興趣不大.

要解決上述問題，只有提高課堂教學才是關(guān)鍵.筆者認為，這不僅提高了學生對課堂教學的興趣，而且也提高了教師對教材中知識的理解，一舉兩得.本文從筆者聆聽的一堂“直線和圓”的復習課入手，與大家一起剖析評價看看課堂教學如何才能更高效、更有效，不當之處請讀者批評指正.

一、教學回顧

筆者簡單介紹本復習課的流程：

1.知識回顧

該教師羅列直線和圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離，并用代數(shù)和幾何雙重角度引導學生復習直線和圓問題解決的一般方向，并從題型教學的角度給出了一般需要解決的類型：求弦長、求圓方程、求切線、求圓心角、求弦心距、求點線距離、求最值范圍等.

2.新課簡介

該教師羅列三種問題類型，第一類型是弦心距的使用，第二類型是切線問題求解，第三類型是圓心到直線距離的問題，最后給出高考真題再現(xiàn).問題如下：

例1已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0.（1）判斷直線kxy+8=0和圓的位置關(guān)系，并說明理由.（2）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

例2已知圓C1：x2+y2=1，C2：（x-3）2+（y-4）2=4，由點M向C1，C2所引切線長相等，求動點M的軌跡方程.

例3點P是直線2x+y+10=0上一點，PA，PB與圓x2+ y2=4分別相切于A，B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值，并求此時P點的坐標.

3.高考真題再現(xiàn)

例4（2015年湖南文13）若直線3x-4y+5=0與圓x2+ y2=r2（x＞0）相交于A、B兩點，且∠AOB=120°（O為坐標原點），則r=__________.

例5（2013年湖北文14）已知圓O：x2+y2=5，直線l： xcosθ+ysinθ=1）.設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k=_____________.

例6（2016年江蘇18）在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4），設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程.

4.課堂小結(jié)

請學生回顧本課所使用直線和圓的基本知識和基本技能.

二、評價視角

對于課堂教學的評價，結(jié)合上述案例，可以從這么幾方面入手：

1.情境視角

本課并未在復習環(huán)節(jié)使用情境，筆者認為這也無可厚非，畢竟情境不是任何知識都需要的.但是從數(shù)學具備運用價值這一角度來看，有情境總比沒有來得更好，尤其是在一些公開展示課環(huán)節(jié)，筆者認為還是不宜缺失情境的引入.此處讓筆者想起的是曾經(jīng)觀摩的一堂省級展示課，教師就本課使用過的一個情境——“駕校繞鐵餅的視頻”來引入，顯然這樣的生活實例比較貼近生活，經(jīng)過課件上形象的圖片展示，讓學生又產(chǎn)生了“原來如此”的感嘆，使學生了解了數(shù)學在生活中是無處不在的，引發(fā)了之后的學習興趣，既合理地引入了知識，又體現(xiàn)了數(shù)學的生活之用.

2.設(shè)計視角

這里對于某些例題的設(shè)計和掌控，筆者認為有些商榷之處：本課時所要教授的直線與圓位置關(guān)系判斷的幾何法與代數(shù)法并不難，是不是可以把前半節(jié)課到例2為止的內(nèi)容都設(shè)計成學生的小組合作探究活動，讓學生充分參與到知識的生成過程中來，并在各練習與例題的解答上作展示與補充，筆者想是不是更能讓學生體會到學習的動力與成就感.因為新課程的理念就是要注重學生知識體系的自我生成，單純的講授可能會帶來更多教師的理解而不是學生的理解.

比如該老師在講例1時，解題過程中關(guān)于“為什么先要判斷點在圓外？為什么會出現(xiàn)分類討論？為什么數(shù)形結(jié)合更直觀”的結(jié)論都給出的很快，可能學生課后想想是對的，但在課堂上學生的體驗并不如表達的那么流暢，其實，這些并不一定要老師來講明，是可以通過學生的自主探究來體驗和默會的，這就是數(shù)學學習為什么“悟性”很重要的原因.

其次，筆者拿到這份學案，第一感覺是沒有課本例題，后半段全是題型教學，當然這是有老師的用意的，但筆者覺得教材中問題是我們上課時不能丟棄的.課本兩個例題是體現(xiàn)本課時教學目標的典型例題，即“如何判斷直線與圓位置關(guān)系”和“已知位置關(guān)系如何求方程”.其中例2的課本解答在學生預習時是會產(chǎn)生遺留問題的，它是已知過定點的直線被圓截得的弦長，求直線方程，課本解答是從設(shè)直線方程為點斜式開始，最后幾何法求出了兩解.答案正確，但不能展現(xiàn)思維過程，因為直線斜率是否存在是需要考慮的，而課本過程易誘導學生忽視這一點，那么我們可以在探究過程中請學生自己去發(fā)現(xiàn)它的問題，以及思考如何正確解決？也就自然引出了作圖，說明數(shù)形結(jié)合是最好的辦法.

再次，筆者不太贊同該老師在本課時教學中去強調(diào)幾何法相對代數(shù)法的簡潔，這點教師不說，學生也知道，上臺板演的兩位學生就同時選擇了幾何法.而從單元設(shè)計的角度來看這課時的地位與作用：幾何法是初中就已學的，這里主要是利用點到直線的距離公式，起到的是“承上”的作用，教師應(yīng)強調(diào)它的本質(zhì)還是解析幾何的“坐標法”.代數(shù)法則是從方程入手把握線圓位置關(guān)系，真正涉及了解析幾何的核心，它比幾何法煩瑣是代數(shù)法求解解析幾何問題的特征，“不一定很難卻一定很繁”，很繁為什么還要講，因為它具有一般性，它是為之后講圓錐曲線與直線位置關(guān)系做鋪墊的，起到的是“啟下”的作用，在此教師應(yīng)說明現(xiàn)在學習代數(shù)法不是雞肋，而是為今后學習中需要的幾何問題代數(shù)化的抽象思維來預熱，目的是使得學生學到圓錐曲線與直線位置關(guān)系時有一種豁然開朗的頓悟：噢，現(xiàn)在才是主題，才是適用性更廣、更一般化的思考方式.在學生熟練了代數(shù)法之后，再來提及幾何法在解題上的優(yōu)越性，又是一般到特殊的思維變遷，更突顯了幾何法的靈動.

3.創(chuàng)編視角

當然本課也不是毫無優(yōu)點，以例3為一個引子，展開的一系列探究展示了該老師的個人修養(yǎng)與教學魅力，將學生與在場老師都深深吸引，漸進式的探究也讓學生感嘆原來前半節(jié)課簡簡單單的幾何判斷法竟有如此大的作用，得到了這一系列優(yōu)美結(jié)論，學生的心靈再次受到震撼，這種展示數(shù)學美的教育功能正是我們平時追求和尋找的，在此堂課上得到了完美的詮釋.另外，筆者認為學生與教師形成了一種默契，不論是個別回答還是齊聲作答都顯示了該老師在平時注重啟發(fā)引導學生思考的習慣，同時學生的預習也很到位.

整體而言，就筆者來看，上述對于教材問題處理的不合理，以及問題間聯(lián)系的不緊密，使得整個課堂教學比較松散，也沒有明確的主線.因此可以課后做出一些反思、評價，為后續(xù)提升教學有效性和教師專業(yè)化水準繼續(xù)努力.

從現(xiàn)階段很多觀摩課中，筆者發(fā)現(xiàn)對于復習課的教學設(shè)計需要做精心的準備，這種準備是歷經(jīng)教師教學經(jīng)驗的一種積淀，并尊崇下列原則：對教材例題進行深加工.以本課為例，筆者以為可以從教材的例題出發(fā)，結(jié)合高考問題進行深加工：

例7（教材必修2）已知直線l：3x+y-6=0與圓心為C的圓C：x2+y2-2y-4=0.判斷直線l和圓C的位置關(guān)系；若相交，求出它們的交點坐標.

使用建議：學生探究，代數(shù)和幾何兩種方式求解.

創(chuàng)編問題1：若直線l：3x+4y-m=0與圓C：x2+y2-2y-4= 0相切，則m=______________.

創(chuàng)編問題2：若直線l：3x-4y+5=0與圓C：x2+（y-1）2=r2相交于A、B兩點，且∠ACB=120°（C為圓心），則r= ___________.

問題探究：直線l：x+2y-10=0，設(shè)圓C：x2+（y-1）2=5上到直線l的距離為Δ=1的點的個數(shù)為k，則k=__________.

（3）請你說說看，k值有多少種可能呢？（五種，k=0、1、2、3、4均有可能，請同學們課后做詳細的探究）

有興趣的讀者可以對比下筆者給出的創(chuàng)編問題1、2和問題探究，都是基于高考真題的一種改編（分別是2015年安徽文8、2015年湖南文13、2013年湖北文14、2016年江蘇18），這種基于教材的改編和源自高考真題的結(jié)合，使得教學往往來得更具張力.

4.反思視角

從應(yīng)試角度而言，本課原有的課堂設(shè)計、實施、練習達到了一定的預期，但從課堂教學發(fā)展的方向和新課程實施的理念來說，完全是背道而馳.從這樣的課堂中，筆者也充滿了深深的憂慮：可見很多時候我們的常態(tài)課教學更是如此！其一，內(nèi)容繁雜、沖淡主線，該老師本課所涉及的知識其實并非一堂課可以完成，將其開發(fā)成一個專題或系列更好，從本課作為復習的第一課時而言，其重點依舊側(cè)重于用幾何法研究直線和圓的位置關(guān)系，因此可以刪減類型一中求直線方程、類型二中相關(guān)求切線方程、切線長等問題.本課明線在于dr，暗線在于數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，即幾何法.其二，數(shù)學訓練試題的設(shè)計結(jié)構(gòu)缺乏一體化，體現(xiàn)在問題間的連貫性不足、審題耗時較多等.以上文中，筆者提供的問題串創(chuàng)編一體化設(shè)計的改編方式，大大提高了復習課教學的利用效率.

總之，從一堂課的評價中，筆者也反思了數(shù)學教學不僅在于應(yīng)試，更要有高一層次的境界追求，這也是教師專業(yè)化發(fā)展對于教師課堂教學水平、教學藝術(shù)的一種提煉，對于自身不斷提高課堂教學的水平有著極大的作用.

1.喻國勇.“研究”與“成長”齊飛秋水共長天一色——談命題研究與教師的專業(yè)化成長［J］.中學數(shù)學（上），2013（8）.

2.沈恒.腳踏實地仰望星空［J］.中學數(shù)學研究，2013（10）.