數(shù)學教師對定義性概念教學的適應性研究*

□鞏子坤李寧寧汪 勝

（1.杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036；2.杭州第四中學，浙江杭州 310018）

數(shù)學教師對定義性概念教學的適應性研究*

□鞏子坤1李寧寧1汪 勝2

（1.杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036；2.杭州第四中學，浙江杭州 310018）

通過對兩位高中數(shù)學學科帶頭人有關異面直線所成的角的概念教學研究發(fā)現(xiàn)，有的教師對于定義性概念教學，存在不適應的問題，沒有整體把握概念形成的大思路，沒有理清概念引入、形成、引出的邏輯脈絡.因此，教師在定義性概念教學中，要區(qū)分不同的概念類型，開展符合認知規(guī)律與數(shù)學邏輯規(guī)律的針對性教學.

定義性概念教學；適應性；異面直線所成的角

一、問題的提出

（一）研究的背景

實現(xiàn)課程改革目標的關鍵在于教師.有研究表明，現(xiàn)有高中數(shù)學教師的教學思想、教育技能與新課程理念還是比較接近的[1].但也有研究指出，從理論上講，新課程理念能夠為一線教師所接受，但是理念要轉化為行為，在課堂實施中不走樣，尚需一段時日.如今，阻礙改革順利進行的問題重心已經(jīng)從理解“為什么”轉到了思考“怎么做”[2].

以上研究，大都從宏觀的視角，探查了數(shù)學教師對課改的適應性，缺乏對于“怎樣做”的微觀思考.本文基于兩位數(shù)學教師“異面直線所成的角”課堂教學案例，微觀探查教師對概念教學的適應性.

（二）主要概念的界定

概念是對一類事物在數(shù)量關系和空間形式方面本質(zhì)屬性的簡明、概括反映.按照加涅的分類方法，數(shù)學概念可以分成具體概念與定義性概念.

具體概念指一類事物的共同本質(zhì)特征，這些特征可以直接通過觀察獲得.獲得具體概念就意味著能識別事物的“類別”.比如，通過對幾個三角形的觀察，獲得“三角形有三條邊，三個角，三個頂點”.

定義性概念指一類事物的共同本質(zhì)特征，這些特征不能通過直接觀察獲得，必須通過下定義來揭示.定義性概念是對屬性及屬性間關系的言語陳述.比如，三角形的定義是“由三條線段首尾相接構成的封閉的平面圖形”.

（三）研究問題的闡述

異面直線是高中數(shù)學的核心概念[3].為了進一步刻畫該概念，必須引入異面直線所成角的概念．異面直線所成的角是定義性概念，定義性概念可以通過概念的形成來教學.定義性概念是怎樣形成的？教學環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)的順序是否符合概念形成的認知規(guī)律？是否符合定義性概念定義的邏輯順序？教學用時能保證這些環(huán)節(jié)的順利展開嗎？

二、研究的設計

（一）理論基礎

數(shù)學概念的學習，主要有兩類過程，一是概念的形成，二是概念的同化.就概念形成而言（本研究主要涉及概念的形成），其實質(zhì)是抽象出某一對象共同本質(zhì)特征的過程.其一般過程包括：辨別、分化、類化、抽象、檢驗、概括、形成.

對于數(shù)學概念（或者原理）的學習，可以從以下三個維度進行分析：引入，即為什么、用什么樣的情境來引入概念；形成，即如何探究形成該概念；引出，一方面應用該概念解決問題，另一方面，該概念又引出了哪些新概念，如若引出了新概念，則該概念就成為了新概念引入的情境[4].

（二）研究對象

2015年上半年，來自浙江省內(nèi)的30名高中數(shù)學帶頭人聚集一堂，開展主題為“數(shù)學課堂教學設計與實踐能力提升”的學習與實踐.這些教師的概念教學具有代表性.

本文的研究對象是兩位學科帶頭人，研究載體是異面直線所成角的概念教學.

（三）數(shù)據(jù)收集與分析

兩位教師于同一天，在一所省級重點高中，先后進行了“空間中直線與直線之間的位置關系”一節(jié)課的教學.我們進行了視頻拍攝，然后將這兩節(jié)課的視頻轉錄成文字.我們從定性、定量兩個維度，分析兩位教師的教學.定性的維度是教學環(huán)節(jié)亦即教學安排；定量的維度是教學環(huán)節(jié)的用時.

三、結果與分析

（一）概念形成的順序、邏輯

1.教師A概念形成的順序（教師A概念形成的思路見圖1）

圖1

教師A：（學習了異面直線的概念后）認識異面直線，有兩個維度，一個是不平行，一個是不相交.要認識不平行的話，我們可以去認識平行.同樣的道理，要認識不相交，我們也可以從相交開始.同樣，要認識空間的幾何圖形，可以從平面開始.

（1）類比得到平行線的傳遞性

回顧平面中平行線的傳遞性；引出平行線的傳遞性公理（公理4）.

（2）直觀把握等角定理

教師A：以上介紹了公理4的簡單運用.公理4除了有這樣的用處以外，還有怎樣的用處呢？（教師明白，可以用公理4來證明等角定理）

回顧二維平面的等角定理；類比得到三維空間等角定理，不予證明.

（3）定義異面直線所成的角

教師A：剛才我們從平行著手，經(jīng)歷了公理4的發(fā)現(xiàn)過程和等角定理的發(fā)現(xiàn)過程.那還有一個主線是不相交，我們要從相交上去認識.

①回顧：二維平面中直線與直線所成的角.

教師A：在異面直線中，我們是否也可以用一個角來刻畫它們的傾斜程度呢？

②三維空間：異面直線所成的角.

③鞏固.

動手做，直觀看：空間角變成平面角，傾斜程度不變；給出定義，然后動手畫異面直線所成的角（引出唯一性問題）.用等角定理，說明所成角的唯一性.

2.教師B概念形成的順序（教師B概念形成的思路見圖2）

圖2

（1）平行線的傳遞性

首先，引導學生說明AA1，BB1，CC1，DD1之間的位置關系（見圖3）.得到公理4.

圖3

然后，鞏固練習如下.

問題1：如圖4，E，F(xiàn)，G，H是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的中點，證明四邊形EFGH是平行四邊形.

圖4

問題2：如果BD=AC，四邊形EFGH是什么圖形？

問題3：AC與BD再附加什么條件，四邊形EFGH是正方形？

（2）異面直線所成的角

①感受夾角.在解決問題3的過程中，主觀感受AC和BD之間有一個夾角.

②定義.教師B：初中我們怎樣定義平面上兩條相交直線的夾角的？同樣把異面直線移過來，對應到這里有一個角，這個大于0°小于等于90°的角，叫做異面直線AC和BD所成的角.

③作出異面直線所成夾角.

④說明角的唯一性.教師B：所作的角有很多個，我們有沒有理論來支持這些角的大小是一樣的？

類比平面等角定理，得到空間等角定理.應用等角定理，說明唯一性.

⑤鞏固.

3.兩位教師概念形成過程的異同

（1）相同之處：概念形成的順序與邏輯

兩位教師大致按照教材的順序來進行教學：即從公理4，到等角定理，再到異面直線所成角的定義.

大都遵循這樣的認知思路：從二維推廣到三維，類比平面的公理（平行線的傳遞性）、定理（等角定理）、定義（所成的角），引出空間的公理、定理、定義；把三維轉化到二維，將空間問題轉化成平面問題.

大都遵循了概念定義的邏輯：對于定義性概念，要說明概念引入的必要性，要說明概念所言說對象的存在性，要證明概念所言說對象的唯一性.其中，存在性常常是不言自明的.兩位教師均類比平面相交直線所成的角，給出了異面直線所成角的概念；然后，在作角的過程中，感受證明唯一性的需求；最后，應用等角定理，證明角的唯一性.對于角的存在性，兩位教師均隱性處理.

這表明兩位教師對教材的理解、對定義性概念的教學，達到了應有的理論自覺與教學水準.

（2）相異之處：概念的引入、形成

然而仔細分析后，我們發(fā)現(xiàn)，兩者還是有著較大的區(qū)別的.

①概念引入的必要性.

教師A提出“認識異面直線，有兩個維度，一個是不平行，一個是不相交”這句話很關鍵，也很深刻.一方面，以下的學習仍然是對異面直線的深入認識，這是對整個認知的定位.另一方面，指出了認知的思路，即從平行來認知不平行，從相交來認知不相交.這是整個認知的大思路，也是教師的大智慧.這樣的認知思路，為引入公理4，為引入異面直線所成的角，做了自然的鋪陳與導引.同樣，在回顧了平面相交直線所成的角后，教師A講到，“夾角反映了一條直線相對于另一條直線的傾斜程度.在異面直線中，是否也有類似的問題”.這就從定量的角度，說明了引入所成角的必要性.言簡意賅.

相比而言，教師B概念引入的必要性就顯得牽強，顯得膚淺.說其牽強，是因為他是在解決具體問題時提出異面直線所成的角，該問題涉及異面直線所成的角的大小（見教師B的問題3）.四邊形是菱形了，只需一個角是直角，該菱形就成為了正方形，何須轉彎抹角，將“菱形的一個角是直角”轉換成“異面直線所成的角”.說其膚淺，是因為沒有抓住“所成角”的本質(zhì)——對異面直線的量的刻畫.

②概念形成的思路.兩位教師均按照“二維推廣到三維”與“三維轉化成二維”這樣一個思路來進行概念認知的.

但是，如上分析所示，教師A展現(xiàn)了其概念形成的大思路.這個大的思路同時將整個認知過程、教學過程串了起來：從平行上來認識不平行，自然地引出了公理4，從平行線傳遞性的應用中，自然引出了等角定理，這為說明角的存在性（需應用公理4）與唯一性（需應用等角定理），做好了理論儲備；從相交來認識不相交，自然引出了平面相交直線所成的角，引出所成角的本質(zhì)，進而引出了異面直線所成的角.

教師B缺乏這樣的思路，概念形成缺乏層次性.其教學過程表明，不清楚為什么要進一步認識異面直線所成的角，不清楚異面直線所成角的本質(zhì)，不清楚怎樣認識異面直線所成的角.從公理4的應用中引出異面直線所成的角很牽強；為了證明所成角的唯一性，而進一步引入等角定理，也顯得突兀.

4.教學環(huán)節(jié)用時分析（兩位教師的教學環(huán)節(jié)用時見表1）

表1

從表1可以看出，兩位教師用了大致相同的時間形成異面直線所成角的概念.在練習鞏固環(huán)節(jié)，教師A用時接近整個課時的五分之二.在概念鞏固的環(huán)節(jié)，教師A安排了3個練習：一是認識特殊的角，即異面直線垂直的情形；二是在正方體中，認識容易理解、計算的角；三是在長方體中，求一般情形下異面直線所成的角.而教師B僅僅認識了異面直線垂直的情形.相比教師B，教師A安排的概念鞏固任務層次分明，概念鞏固時間充分，概念鞏固效果良好.

四、結論與建議

（一）研究結論

異面直線所成的角是一個定義性概念，適于按照概念的形成進行教學，教學過程要把握住概念形成的邏輯思路.

對比教師A與教師B的教學，我們發(fā)現(xiàn)教師A概念形成的思路更加大氣、深刻，概念形成的整個邏輯脈絡更加清晰、合理，概念、公理、定理引入的必要性體現(xiàn)得更加自然、順暢，其對于異面直線所成角的認識更加深刻、本質(zhì)，對于思想方法的貫徹更加準確、清晰.

教師A對于定義性概念教學的大思路，本質(zhì)上也是對教材的補充與完善.想一想，教材的思路是清晰的：引入公理4，潛在地說明了異面直線所成角的存在性，同時，為證明等角定理提供了鋪墊；類比引入、直觀感受等角定理；類比平面引入空間異面直線所成的角；思考說明角的唯一性.但是，要理解這樣的思路，要把這個思路轉化成學習的路徑、教學的設計，還是十分困難的[5].這個思路的中間，還有許許多多需要再加工的內(nèi)容.

正如講一個故事，故事的情節(jié)、人物已經(jīng)有了，但是，要把這個故事整體地聯(lián)接起來，要把這個故事的“起承轉合”處理好，還要下許多功夫.雖然，從公理4開始，是對異面直線這個具體概念、模糊概念的深入認識，但是，教材沒有交代清楚.當然，按照我們的理解，要對異面直線這個模糊概念有一個深入的認知，就需從兩個維度展開：不平行，從而有夾角，即有傾斜程度（所以，認知不平行就從夾角開始，這也許是對教師A教學思路的補充與完善）；不相交，就有距離（事實上，平行線距離的認知，就是這樣開始的.這些觀點與梁麗平的觀點不謀而合[6]）.由于教材中只介紹夾角，而不介紹距離，因而，如何串聯(lián)起上述內(nèi)容，需要大的思路、大的智慧.進一步，公理4是引入了，但是由于教材中沒有用這個公理證明異面直線所成角的存在性，也沒有用這個公理來證明等角定理，因而，這個公理的作用是潛在的.如何理解并處理這個公理的作用，值得思考.

如此看來，在“起”——即引起異面直線所成的角概念，在“承與轉”——即公理4的引入與引出，等角定理的引入與引出，公理4、等角定理與所成角的概念的承上啟下，在“合”——即與異面直線的距離整合在一起，全面地、定量地認識異面直線的概念內(nèi)涵，等等方面，教材的處理是有問題的，是模糊的.即教材沒有把“異面直線”這個故事寫好，教師所需要的劇本存在瑕疵，教師這位導演需要對教材再理解、再編劇，因而，教師要講好這部分內(nèi)容就十分困難了.

（二）教材編寫建議

長方體是學習空間幾何最好的載體.教材在介紹等角定理時也是以長方體為載體的（如圖5）.為了說明兩個角的兩邊分別對應平行，除了兩角相等外，還有互補的情況，于是找了∠ADC和∠A1B1C1.但是這兩個角都是90°，可以說它們互補，但也可以說它們是相等，因此不能以此來說明等角定理.

圖5

圖6

我們可以采取另一種方法，仍然以長方體為載體（如圖6），添加輔助線A1F1和AF，使得A1F1∥AF，這樣∠A1F1B1和∠AFB的兩邊平行，兩個角相等；∠A1F1B1和∠AFC的兩邊也平行，而這兩個角互補.□◢

［1］邵婷婷，邵光華.新課程高中數(shù)學教師適應性研究［J］.數(shù)學通報，2005，44（1）：15-18.

［2］鞏子坤，李忠如.數(shù)學教師對新課程理念的適應性研究［J］.數(shù)學教育學報，2005，14（3）：67-71.

［3］馬寧.高中數(shù)學核心概念及其教學的調(diào)查研究［D］.西安：陜西師范大學，2015.

［4］孫旭花.問題變式：中國數(shù)學教材問題設計之特色［J］.數(shù)學教育學報，2012，21（3）：54-59.

［5］MALONEY A P,et al.Learning over time:Learning trajectories in mathematics education［M］.Charlotte,NC:Information Age Publishing,2014.

［6］丘成桐，等.數(shù)學與人文（第一輯）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

*本文系教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目 （15YJA880020）：6~15歲兒童的概率概念認知策略及其發(fā)展研究、浙江省哲學社會科學規(guī)劃課題（16NDJC004Z）:兒童的概率概念認知策略及其發(fā)展研究的研究成果