中考數(shù)學(xué)探究題解析及類型分析

□張宇鑫

（浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州 310012）

中考數(shù)學(xué)探究題解析及類型分析

□張宇鑫

（浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州 310012）

探究題具有很強(qiáng)的綜合性，它考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的同時也考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與解決問題的能力．探究題種類煩雜，因此教師要對其進(jìn)行分類，充分了解各類型的特點(diǎn)，并指導(dǎo)學(xué)生有針對性地解答，從而提高學(xué)生解答探究題的能力.

初中數(shù)學(xué)；探究題；開放型；新信息型；存在型

初中畢業(yè)和高中階段招生數(shù)學(xué)考試是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，直接反映數(shù)學(xué)課程設(shè)計和數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的新思想、新理念，是反映數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的一個重要因素.縱觀歷年各省中考數(shù)學(xué)試卷，探究問題出現(xiàn)的頻率很高，而且探究題知識面的覆蓋越來越廣，具有很強(qiáng)的綜合性，在考查基礎(chǔ)知識的同時也檢驗學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與解決問題的能力．

探究題類型比較煩雜，以問題表現(xiàn)形式來分，大致可歸類為開放型、新信息型、存在型等.本文以2015年浙江各地探究題為例，從探究題的類型特征及解析特點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行一些探討，為教師和學(xué)生提供一些借鑒．

一、開放型探究題

開放型探究題按題型結(jié)構(gòu)分為條件開放型、結(jié)論開放型與策略開放型.此類探究題注重考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和培養(yǎng)發(fā)散思維的能力.

例1（2015年紹興卷）正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連結(jié)DF，BF，如圖1.

（1）若α=0°，則DF=BF，請加以證明，如圖2；

（2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；

（3）對于（1）中命題的逆命題，如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件，不必說明理由.

評析 第（3）小題屬于條件開放型探究題，題目中要求補(bǔ)充一個條件，使得（1）中命題的逆命題成立，即若DF=BF，則α=0°.處理此類問題的手段應(yīng)以逆向思維為宜，正方形AEFG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，我們只需關(guān)注F點(diǎn)，其在以AF為半徑的圓弧上運(yùn)動.顯然存在兩種情況，如圖2，圖3，使DF=BF.那么我們得補(bǔ)充一個條件用來限制圖1這種情況.圖2和圖3的差別在于F點(diǎn)的位置，即可補(bǔ)充F點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)的條件；若從α角度方面考慮，圖3情況下α為180°，即可提出α<180°的條件.

二、新信息型探究題

在新課標(biāo)改革不斷向前推進(jìn)的形勢下，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點(diǎn)，這類題目通常都會出現(xiàn)一些新的概念、規(guī)則、運(yùn)算等，如何理解和運(yùn)用題中提供的新信息是處理此類問題的關(guān)鍵.2015年嘉興卷的“等鄰邊四邊形”、寧波卷的“智慧角”、臺州卷的“勾股分割點(diǎn)”都屬于新信息探究題.

例2（2015年嘉興卷）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解

如圖4，在四邊形ABCD中，添加一個條件，使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”，請寫出你添加的一個條件.

（2）問題探究

圖4

圖5

①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由；

②如圖5，小紅畫了一個 Rt△ABC， 其 中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠B的平分線BB'方向平移得到△A'B'C'，連結(jié)AA'，BC'.小紅要使平移后的四邊形ABC'A'是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB'的長）？

（3）應(yīng)用拓展

如圖6，在“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，.試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系.

圖6

評析 本題屬于新定義題型，情景新穎，靈活多變，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個陌生而又熟悉的問題情景.其中第（1）小題為概念理解，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠得分.第（2）小題涉及平移問題，抓住平移后對應(yīng)線段平行且相等的特點(diǎn)，根據(jù)定義即可迎刃而解.第（3）小題屬于選拔題，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理、勾股定理等內(nèi)容，同時考查學(xué)生的構(gòu)造思想、分類思想、方程思想.由AB=AD，可將△ABF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF，構(gòu)成全等三角形:△ADC?△ABF，從而得到∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，進(jìn)而證明△ACF∽△ABD，得到，通過角的轉(zhuǎn)換，證明，根據(jù)勾股定理即可得出BC2+CD2=2BD2.其難點(diǎn)在于如何構(gòu)造三角形BCF，尋找邊與邊、角與角之間的關(guān)系，需要一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

三、存在型探究題

存在性探索問題歷來都是考查的重點(diǎn)，幾何與代數(shù)都有涉及.解決此類問題的一般思路為假設(shè)結(jié)論成立或存在.結(jié)合已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，仔細(xì)分析，層層推進(jìn)，如果能獲得相應(yīng)的結(jié)論，則假設(shè)成立，如果出現(xiàn)矛盾則說明原假設(shè)并不成立.

例3（2015年衢州卷）如圖7，在△ABC中，AB=5，AC=9，，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.以PQ為邊作正方形PQEF（P，Q，E，F(xiàn)按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH.

圖7

（1）求tanA的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t，正方形PQEF的面積為S，請?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時，正方形PQEF的某個頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上，請直接寫出t的值．

評析 第（2）問是典型的存在性問題，我們應(yīng)先假設(shè)S存在最小值，在初中階段，求解最大值和最小值問題比較常用的方法是二次函數(shù)最值的運(yùn)用，首先應(yīng)想到用PQ的長度來表示正方形PQEF的面積，構(gòu)造△PNQ，根據(jù)勾股定理得出PQ的長度，那么其正方形面積是一個含變量t的二次函數(shù)，建立函數(shù)模型，注意t的范圍，該函數(shù)對稱軸所在的點(diǎn)即為最小值.

筆者認(rèn)為，以上分析對探究題教學(xué)有以下幾點(diǎn)啟發(fā).一是要注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).探究性問題的條件往往不少，關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，分解問題，歸納解題步驟，只有分析透徹，掌握解題框架，遇見新的問題才能有所思.二是要注重學(xué)生良好閱讀習(xí)慣的養(yǎng)成.在日常的教學(xué)活動中，教師應(yīng)避免唱“獨(dú)角戲”，要引導(dǎo)學(xué)生去閱讀課本和相關(guān)資料，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.三是要善于總結(jié)歸納.由于探究題基本作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大，這就需要師生共同總結(jié)歸納，此類問題屬于哪種探究題，那么對于這種類型的題型，我們首先應(yīng)想到什么，再想到什么，層層推進(jìn)，久而久之，學(xué)生腦海里會形成一定的邏輯步驟，看到難題不至于毫無思緒.□◢