強化幾種意識 破解向量最值問題*

□郭建華 于 健

（南京市第二十九中學，江蘇南京 210036；南京市金陵中學，江蘇南京 210005）

強化幾種意識 破解向量最值問題*

□郭建華 于 健

（南京市第二十九中學，江蘇南京 210036；南京市金陵中學，江蘇南京 210005）

學生遇到較靈活的向量最值問題時還是會出現(xiàn)思維受阻的情況.教師在教學中應(yīng)該強化六種意識，幫助學生形成向量解題意識，突破向量最值問題的解題“瓶頸”.同時引導學生總結(jié)提煉向量最值問題中所蘊含的數(shù)學思想方法，讓學生進一步理解和把握變量分離法、數(shù)形結(jié)合方法（基于幾何表示的幾何法，基于坐標表示的代數(shù)法）、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的實質(zhì)，積累解題經(jīng)驗，發(fā)展思維能力.

意識；向量；最值問題

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種有效工具，有著極其豐富的實際背景.平面向量是高考考查的重點知識之一，特別是與最值相關(guān)的題目，更是備受命題者的關(guān)注.其設(shè)計精巧、入口寬、解法靈活，可有效考查學生用向量的語言和方法表述和解決一些問題，同時也發(fā)展學生的運算能力以及分析問題、解決問題的能力.但學生遇到較靈活的向量最值問題時還是不知所措，思維受阻，錯誤率高.筆者認為在平時的教學中應(yīng)該著重培養(yǎng)學生的“幾種意識”，讓學生形成“向量思想”，以此突破向量最值問題.下面筆者試舉例加以分析.

一、“坐標”意識

所謂“坐標”意識，是指通過構(gòu)建直角坐標系，將向量改用坐標表示，將要求解的目標轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的一種思維方式.“坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑，依據(jù)題設(shè)條件中所給的等邊三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，很容易想到建立直角坐標系求解.其優(yōu)點是思維方式比較“固定”，學生很容易掌握[1]3.關(guān)鍵是合理建立直角坐標系，準確求出關(guān)鍵點的坐標.特別是處理與向量相關(guān)的最值問題時，若利用向量和函數(shù)的相關(guān)知識求解使得運算復雜，解題過程較煩瑣時，則可以考慮用“坐標法”來嘗試一下，會達到事半功倍的效果.

例1在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P在直線EF上，則的最小值是_____.

解析由題設(shè)易知，△PBC的面積為1，以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，過點B與直線BC垂直的直線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，設(shè)則，當且僅當時取等號，所以的最小值為

圖1

評析 充分利用平面幾何圖形的幾何特征，恰當建立直角坐標系，將幾何問題坐標化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，突出了問題求解的通性通法.通過引入?yún)?shù)和坐標運算，立即得目標函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.這樣求解可以大大降低思維難度，同時也能起到化難為易的效果.

二、“基底”意識

所謂“基底”意識，是指有預見性地選擇適當?shù)摹盎住保⒂谩盎住眮肀硎居嘘P(guān)向量，以實現(xiàn)化歸的一種思維方式．“基底”意識的本質(zhì)是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選擇“基底”有利于簡化運算[1]4.對于處理與向量相關(guān)的最值問題時，適當選擇基底，將未知向量用基底表示，再進行線性運算，將幾何問題代數(shù)化，會使復雜問題簡單化.

例2在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且，則的最大值為 ．

評析 用基底意識解題，首先要有預見性地、恰當?shù)剡x擇基底，其次要用基底正確地表示圖形中的其他相關(guān)的向量，它是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的一種有效形式，也是解題的難點和關(guān)鍵之處.本題依據(jù)題設(shè)條件選擇以為一組基底，設(shè)BN=x，通過線性運算，將目標轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題.

三、“投影”意識

所謂“投影”意識，是指能自覺運用向量的“投影”來解決實際問題的一種思維方式．其實，它是對向量數(shù)量積本質(zhì)的理解和把握．向量的數(shù)量積是向量知識中非常重要的核心知識，但許多學生對它的掌握往往只停留在膚淺運用的層面，只會機械地套用公式[1]1，缺乏對公式中隱含的“本質(zhì)信息”——向量“投影”的意義和價值的認識.要想讓學生較深刻地理解和把握向量數(shù)量積的概念，必須強調(diào)對向量“投影”概念的理解與應(yīng)用．即讓學生理解數(shù)量積a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.利用投影意識處理與向量相關(guān)的最值問題，則可以回避煩瑣的代數(shù)運算.

例3如圖2所示，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量（m，n為實數(shù)），則m+n的取值范圍是_______.

圖2

圖3

評析 利用“投影”意識，把m+n的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為向量在向量上的投影問題，然后再利用數(shù)形結(jié)合思想求解.借助于這種方式處理問題有利于學生更好地使用代數(shù)的方式求解幾何問題，同時也讓學生體會使用投影法求距離的優(yōu)越性.

四、“構(gòu)造”意識

“構(gòu)造”法解題對學生的思維能力要求較高，是指通過對試題結(jié)構(gòu)特征的分析，聯(lián)想以前做過的熟悉的題型，對原題進行重組、推廣、替換等，使其變成一個情景新穎、處理方法常規(guī)的問題.所謂向量中的“構(gòu)造”意識，是指在一個含有向量關(guān)系的等式兩邊同時“點乘”一個恰當?shù)姆橇阆蛄?，把含有向量關(guān)系的等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，“點積”的對象要依據(jù)題意適當?shù)倪x擇，才能達到求解的目的.因此，加強“構(gòu)造”意識的培養(yǎng)可以提升學生思維的廣闊性和解題的靈活性.

圖4

評析 抓住要求解的目標，利用向量數(shù)量積將題設(shè)中向量等式“量化”，讓目標中x，y的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征凸顯出來，使得解題具有思路清晰、方法簡捷、趣味性強等特點.加強這種解題意識的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性大有益處.

五、“幾何”意識

所謂“幾何”意識，是指能主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題的一種思維方式．這種解題方法稱之為“幾何法”．向量不僅具有數(shù)的特性，還有形的特征，比如向量的加法、減法和數(shù)量積的運算都具有幾何意義[1]2，若，則向量的幾何背景可以與圓建立聯(lián)系．因此，在求解與向量相關(guān)的最值問題時，如果能將向量問題置于適當?shù)膸缀伪尘爸校湍軌蚴钩橄髥栴}直觀化，實現(xiàn)快速解題之目的．關(guān)鍵是要啟發(fā)學生主動挖掘向量的幾何背景和總結(jié)向量問題中常用的一些幾何圖形和幾何元素，將它和平面幾何、解析幾何、函數(shù)、不等式等知識結(jié)合起來解題.

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+y2-6x+5=0，點A，B在圓C上，且AB=，則的最大值是 ．

六、“特殊”意識

所謂“特殊”意識，是指當已知條件中含有某些不確定的量，但結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值（或特殊角、圖形的特殊位置、特殊點、特殊模型等）進行處理，從而得出探求結(jié)論的一種思維方式．特別是對于求解與向量相關(guān)的最值問題，這樣可大大地簡化推理、論證的過程，加強“特殊”意識解題，對提升學生的解題速度和準確度有一定的幫助.

圖5

解析 將梯形特殊化為直角梯形，設(shè)∠ADM=θ，∠A=90°，取M為AB的中點，則四邊形BMDC為平行四邊形，由故點P的軌跡是以D為圓心DA為半徑的圓在梯形內(nèi)部的弧，易知M（6sinθ，0），B（12sinθ，0），D（0，6cosθ），C（6sinθ， 6cosθ），再設(shè)P（x，y），則，得（6x-12sinθ，6y-24cosθ）=（0，0），而的最小值為點P的橫坐標，即6x=12sinθ，得x=2sinθ，又6y-24cosθ=0，即y=4cosθ，即得點P的軌跡是以原點為中心焦點在y軸上的橢圓（在第一象限內(nèi)），于是得點 P是橢圓和圓 x2+（y-6cosθ）2=（6cosθ）2的交點（在第一象限內(nèi)），將P（2sinθ，4cosθ）代入圓方程得，從而

評析 結(jié)合已知條件，將已知圖形特殊化為直角梯形，題目就顯得更容易解決了.

學習的本質(zhì)是學生將信息與頭腦中的已有信息重新整合、建構(gòu)的過程.對于求解與向量相關(guān)的最值問題，平時訓練時要抓住題目的本質(zhì)和特征，引導學生展開積極的思維活動，尋找問題解決的突破口、切入點，更應(yīng)該拓展學生思維的廣度和深度，引導學生深入理解數(shù)學知識和方法，真正做到既知其一更知其二，最終揭示問題的本質(zhì).只要不斷積累解題經(jīng)驗，形成“向量思想”，多角度審視問題，便會使問題迎刃而解.□◢

［1］盧明.平面向量復習要強化“五種意識”的培養(yǎng)［J］.中學教研（數(shù)學），2014（4）.

［2］郭建華，孫西洋.重視借題“發(fā)揮”提高學生學習效能［J］.中學教研（數(shù)學），2015（12）：7.

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題：信息技術(shù)環(huán)境下高中數(shù)學“問題—探究—解決”教學模式的應(yīng)用研究（D/2013/02/445）的研究成果之一